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66， 江苏省苏州市教科院附校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）
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这是一份66， 江苏省苏州市教科院附校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2
B．
C．S＝﹣3t2+t+2
D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）
2．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+2顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
3．（3分）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（ ）
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
4．（3分）已知函数y＝3x2﹣6x+k（k为常数）的图象经过点A（0.8，y1），B（1.1，y2），C（，y3），则有（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2
5．（3分）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则ax2+bx+c您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高＝m有实数根的条件是（ ）
A．m≥﹣2B．m≥5C．m≥0D．m＞4
7．（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．6mB．12mC．8mD．10m
8．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3
二、填空题（24分）
9．（3分）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
10．（3分）抛物线y＝x2﹣2在x轴上截得的线段长度是 ．
11．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，向上平移1个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．
12．（3分）已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是 ．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为 ．
14．（3分）如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为 ．
15．（3分）关于x的一元二次方程x2+（a+4）x+3a+3＝0有一个大于﹣2的非正数根，那么实数a的取值范围是 ．
16．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（m，0）两点．若2＜m＜3，则下列四个结论中正确的是 ．（请将所有正确结论的序号都填写到横线上）：①b＞0；②c＜0；③点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，x1+x2＝1，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程x2+bx+c+2＝0必有两个不相等的实数根．
三、解答题
17．（3分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0．
（2）3x2﹣10x+6＝0．
18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）求顶点D的坐标；
（2）求△ABC的面积．
19．（3分）已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为 ；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围 ．
20．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
21．（3分）某商场购进一批单价为4元的商品，若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件；假定每月销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？
22．（3分）若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1和y2＝ax2+bx+2m2+5，其中y1的图象经过点A（1，1），y3＝y1+y2，若y3与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
23．（3分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图（1）所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图（2）所示），请根据所给的数据求出抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
24．（3分）已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；
（3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标．
25．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E是AB上一点，BE＝2．F是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且＝k（k为常数，k≠0），分别过点F，H作EF，BC的垂线，交点为G．设BF的长为x，GH的长为y．
（1）若x＝4，y＝6，则k的值是 ．
（2）若k＝1时，求y的最大值．
（3）在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值．
参考答案与解析
一、单选题（24分）
1．（3分）下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2
B．
C．S＝﹣3t2+t+2
D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）
【解答】解：A．y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
B． ，不是二次函数，故此选项错误；
C．S＝﹣3t2+t+2是二次函数，故此选项正确；
D．当a＝0时是一次函数，不是二次函数，故此选项错误．
故选：C．
2．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+2顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
3．（3分）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（ ）
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2．
故选：C．
4．（3分）已知函数y＝3x2﹣6x+k（k为常数）的图象经过点A（0.8，y1），B（1.1，y2），C（，y3），则有（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2
【解答】解：∵函数y＝3x2﹣6x+k（k为常数），
∴对称轴为x＝1，图象开口向上；
∴A（0.8，y1）在对称轴的左侧，根据二次函数图象的对称性可知，对称点为（1.2，y1），在y轴的右边y随x的增大而增大，
因为1.1＜1.2＜，于是y2＜y1＜y3
故选：C．
5．（3分）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
6．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（ ）
A．m≥﹣2B．m≥5C．m≥0D．m＞4
【解答】解：∵这个函数有最小值﹣2，即 y≥﹣2，
∴ax2+bx+c≥﹣2．
∴当m≥﹣2时，ax2+bx+c＝m 有实数 根．
故选：A．
7．（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．6mB．12mC．8mD．10m
【解答】解：把y＝0代入y＝﹣x2+x+得：
﹣x2+x+＝0，
解之得：x1＝10，x2＝﹣2．
又x＞0，解得x＝10．
故选：D．
8．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，
图象如图所示，
当﹣1≤x≤3时，ax2+c≥﹣kx+m，
∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
二、填空题（24分）
9．（3分）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 2 ．
【解答】解：根据题意得到：m+2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝±2且m≠﹣2，
故答案为：2．
10．（3分）抛物线y＝x2﹣2在x轴上截得的线段长度是 2 ．
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣2在x轴上的交点为：（，0），（﹣，0），
得抛物线y＝x2﹣2在x轴上截得的线段长度是﹣（﹣）＝2．
故答案为：2．
11．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，向上平移1个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 y＝（x+1）2﹣3 ．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，它的顶点坐标是（1，﹣4）．
将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3），
所以新抛物线的解析式是：y＝（x+1）2﹣3．
故答案为：y＝（x+1）2﹣3．
12．（3分）已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是 a≥1 ．
【解答】解：∵函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，
∴当x＝1时，函数取得最大值，此时y＝2，
∴a≥1，
故答案为：a≥1．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为 16 ．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣8，顶点在x轴上
∴顶点纵坐标为0，即＝＝0
解得c＝16．
14．（3分）如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为 y＝x2+4x+5 ．
【解答】解：把y＝x2﹣4x+5中的一次项系数﹣4变成相反数得到：y＝x2+4x+5．
故答案为y＝x2+4x+5．
15．（3分）关于x的一元二次方程x2+（a+4）x+3a+3＝0有一个大于﹣2的非正数根，那么实数a的取值范围是 ﹣1≤a＜1 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（a+4）2﹣4（3a+3）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴x＝，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣a﹣1，
∵方程x2+（a+4）x+3a+3＝0有一个大于﹣2的非正数根，
∴﹣2＜﹣a﹣1≤0，
解得﹣1≤a＜1．
故答案为：﹣1≤a＜1．
16．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（m，0）两点．若2＜m＜3，则下列四个结论中正确的是 ②④ ．（请将所有正确结论的序号都填写到横线上）：①b＞0；②c＜0；③点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，x1+x2＝1，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程x2+bx+c+2＝0必有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（m，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵2＜m＜3，
∴﹣1+m＞1，
∴b＜0，故①错误；
∵抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），
∴1﹣b+c＝0，
∴b＝c+1＜0，
∴c＜0，故②正确；
∵2＜m＜3，
∴1＜﹣1+m＜2，
∴，
即抛物线的对称轴位于直线x＝1的左侧，
∵x1＜x2，x1+x2＝1，
∴点N（x2，y2）距离对称轴比点M（x1，y1）远，
∵抛物线开口向上，
∴y1＞y2，故③错误；
∵，b＝c+1，
∴b＝1﹣m，c＝﹣m，
∵x2+bx+c+2＝0，
∴Δ＝b2﹣4（c+2）＝（1﹣m）2﹣4（﹣m+2）＝（m+1）2﹣8
∵2＜m＜3，
∴9＜（m+1）2＜16，
∴1＜（m+1）2﹣8＜8，
即Δ＞0，
关于x的一元二次方程x2+bx+c+2＝0必有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②④．
三、解答题
17．（3分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0．
（2）3x2﹣10x+6＝0．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5；
（2）3x2﹣10x+6＝0，
∵a＝3，b＝﹣10，c＝6，
∴Δ＝100﹣12×6＝28，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）求顶点D的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）令y＝0，即（x﹣1）2﹣4＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
19．（3分）已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围 ﹣3＜x＜0 ．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，
∴点A（﹣3，0），点B（0，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
∴点C（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），点C（﹣1，0），
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+4x+3；
（3）如图所示：
当﹣3＜x＜0时，二次函数值小于一次函数值，
故答案为：﹣3＜x＜0．
20．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）＝4m2﹣4m2﹣12＝﹣12＜0，
∴方程x2﹣2mx+m2+3＝0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）解：y＝x2﹣2mx+m2+3＝（x﹣m）2+3，
把函数y＝（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y＝x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
21．（3分）某商场购进一批单价为4元的商品，若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件；假定每月销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意，可设y＝kx+b，
把（5，300），（6，200）代入得300，
解得，
所以y与x之间的关系式为：y＝﹣100x+800；
（2）设利润为W，则W＝（x﹣4）（﹣100x+800）
＝﹣100 （x﹣4）（x﹣8）
＝﹣100 （x2﹣12x+32）
＝﹣100[（x﹣6）2﹣4]
＝﹣100 （x﹣6）2+400
所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为400元．
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元．
22．（3分）若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1和y2＝ax2+bx+2m2+5，其中y1的图象经过点A（1，1），y3＝y1+y2，若y3与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
【解答】解：（1）二次函数y＝x2和y＝2x2是“同簇二次函数”（答案不唯一）；
（2）把A（1，1）代入y1＝2x2﹣4mx+2m2+1得2﹣4m+2m2+1＝1，解得m＝1，
则y1＝2x2﹣4x+3，y2＝ax2+bx+7，
所以y3＝y1+y2＝（a+2）2+（b﹣4）x+10，
而y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，即二次函数y1的顶点坐标为（1，1），
因为y3与y1为“同簇二次函数”，
所以二次函数y3的顶点坐标为（1，1），
则a+2+b﹣4+10＝1，﹣＝1，解得a＝7，b＝﹣14，
所以函数y2的表达式为y2＝7x2﹣14x+7，则抛物线y2的对称轴为直线x＝﹣＝1，
当0≤x≤3时，x＝3时，y2的值最大，最大值＝7×9﹣14×3+7＝28．
23．（3分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图（1）所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图（2）所示），请根据所给的数据求出抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【解答】解：（1）根据题目条件A，B，C的坐标分别是（﹣10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，
将B，C的坐标代入y＝ax2+c，
得，
解得．
所以抛物线的表达式y＝﹣x2+6；
（2）可设F（5，yF），于是yF＝﹣×52+6＝4.5，
从而支柱EF的长度是10﹣4.5＝5.5米；
（3）根据题意，三辆汽车最右边到原点的距离为：1+3×2＝7，
当x＝7时，y＝﹣×49+6＝3.06＞3，
故可以并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车．
24．（3分）已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；
（3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标．
【解答】解：（1）∵OC＝3OA，A（﹣1，0），
∴C（0，﹣3）．
把点A，C的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得，
解得，
∴抛物线线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N．
∵抛物线线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴B（3，0），
∴AB＝4，
∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD＝AB×OC+×DM×（BN+ON）＝6+×DM×OB＝6+DM，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得，
故直线BC的解析式为：y＝x﹣3．
设D（x，x2﹣2x﹣3），M（x，x﹣3），则DM＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，DM有最大值，此时四边形ABDC面积有最大值为；
（3）如图，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，
∵∠ACM＝45°，
∴AC＝AK，
∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH，
∴△OAC≌△HKA（AAS），
∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1，
∴K（2，1），
设直线CM的解析式为y＝kx﹣3
∴2k﹣3＝1，
∴k＝2，
∴直线CM的解析式为y＝2x﹣3，
联立，
解得x＝0（舍去），或x＝4，
∴M（4，5）．
25．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E是AB上一点，BE＝2．F是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且＝k（k为常数，k≠0），分别过点F，H作EF，BC的垂线，交点为G．设BF的长为x，GH的长为y．
（1）若x＝4，y＝6，则k的值是 ．
（2）若k＝1时，求y的最大值．
（3）在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵EF⊥FG，GH⊥BC，
∴∠EFG＝∠FHG＝90°，
∴∠BFE+∠GFH＝∠GFH+∠G＝90°，
∴∠BFE＝∠G，
∵∠B＝∠GHF＝90°，
∴△EBF∽△FHG，
∴＝，即＝，
∵x＝4，GH＝6，
∴＝，
∴FH＝3，
∵AD＝BC＝10，
∴CF＝10﹣4＝6，
∴k＝＝＝；
故答案为：；
（2）当k＝1时，FH＝CF，此时H与C重合，如图1，
∵BF＝x，BC＝10，
∴CF＝10﹣x，
由（1）知：＝，即＝，
∴y＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，
∵﹣＜0，
∴y有最大值是；
（3）如图2，
当G在AD上时，y＝6，
∵k＝，
∴FH＝kCF＝k（10﹣x）＝10k﹣kx，
由（1）知：＝，即＝，
∴kx2﹣10kx+12＝0①，
∵线段AD上存在唯一的一点G，
∴方程①有一个解或两个相等的实根，
∴Δ＝（﹣10k）2﹣4k×12＝0，
∴k＝0（舍）或．
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
1．（3分）下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2
B．
C．S＝﹣3t2+t+2
D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）
2．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+2顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
3．（3分）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（ ）
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
4．（3分）已知函数y＝3x2﹣6x+k（k为常数）的图象经过点A（0.8，y1），B（1.1，y2），C（，y3），则有（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2
5．（3分）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则ax2+bx+c您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高＝m有实数根的条件是（ ）
A．m≥﹣2B．m≥5C．m≥0D．m＞4
7．（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．6mB．12mC．8mD．10m
8．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3
二、填空题（24分）
9．（3分）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
10．（3分）抛物线y＝x2﹣2在x轴上截得的线段长度是 ．
11．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，向上平移1个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．
12．（3分）已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是 ．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为 ．
14．（3分）如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为 ．
15．（3分）关于x的一元二次方程x2+（a+4）x+3a+3＝0有一个大于﹣2的非正数根，那么实数a的取值范围是 ．
16．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（m，0）两点．若2＜m＜3，则下列四个结论中正确的是 ．（请将所有正确结论的序号都填写到横线上）：①b＞0；②c＜0；③点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，x1+x2＝1，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程x2+bx+c+2＝0必有两个不相等的实数根．
三、解答题
17．（3分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0．
（2）3x2﹣10x+6＝0．
18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）求顶点D的坐标；
（2）求△ABC的面积．
19．（3分）已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为 ；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围 ．
20．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
21．（3分）某商场购进一批单价为4元的商品，若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件；假定每月销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？
22．（3分）若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1和y2＝ax2+bx+2m2+5，其中y1的图象经过点A（1，1），y3＝y1+y2，若y3与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
23．（3分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图（1）所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图（2）所示），请根据所给的数据求出抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
24．（3分）已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；
（3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标．
25．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E是AB上一点，BE＝2．F是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且＝k（k为常数，k≠0），分别过点F，H作EF，BC的垂线，交点为G．设BF的长为x，GH的长为y．
（1）若x＝4，y＝6，则k的值是 ．
（2）若k＝1时，求y的最大值．
（3）在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值．
参考答案与解析
一、单选题（24分）
1．（3分）下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2
B．
C．S＝﹣3t2+t+2
D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）
【解答】解：A．y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
B． ，不是二次函数，故此选项错误；
C．S＝﹣3t2+t+2是二次函数，故此选项正确；
D．当a＝0时是一次函数，不是二次函数，故此选项错误．
故选：C．
2．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+2顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
3．（3分）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（ ）
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2．
故选：C．
4．（3分）已知函数y＝3x2﹣6x+k（k为常数）的图象经过点A（0.8，y1），B（1.1，y2），C（，y3），则有（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2
【解答】解：∵函数y＝3x2﹣6x+k（k为常数），
∴对称轴为x＝1，图象开口向上；
∴A（0.8，y1）在对称轴的左侧，根据二次函数图象的对称性可知，对称点为（1.2，y1），在y轴的右边y随x的增大而增大，
因为1.1＜1.2＜，于是y2＜y1＜y3
故选：C．
5．（3分）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
6．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（ ）
A．m≥﹣2B．m≥5C．m≥0D．m＞4
【解答】解：∵这个函数有最小值﹣2，即 y≥﹣2，
∴ax2+bx+c≥﹣2．
∴当m≥﹣2时，ax2+bx+c＝m 有实数 根．
故选：A．
7．（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．6mB．12mC．8mD．10m
【解答】解：把y＝0代入y＝﹣x2+x+得：
﹣x2+x+＝0，
解之得：x1＝10，x2＝﹣2．
又x＞0，解得x＝10．
故选：D．
8．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，
图象如图所示，
当﹣1≤x≤3时，ax2+c≥﹣kx+m，
∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
二、填空题（24分）
9．（3分）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 2 ．
【解答】解：根据题意得到：m+2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝±2且m≠﹣2，
故答案为：2．
10．（3分）抛物线y＝x2﹣2在x轴上截得的线段长度是 2 ．
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣2在x轴上的交点为：（，0），（﹣，0），
得抛物线y＝x2﹣2在x轴上截得的线段长度是﹣（﹣）＝2．
故答案为：2．
11．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，向上平移1个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 y＝（x+1）2﹣3 ．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，它的顶点坐标是（1，﹣4）．
将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3），
所以新抛物线的解析式是：y＝（x+1）2﹣3．
故答案为：y＝（x+1）2﹣3．
12．（3分）已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是 a≥1 ．
【解答】解：∵函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，
∴当x＝1时，函数取得最大值，此时y＝2，
∴a≥1，
故答案为：a≥1．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为 16 ．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣8，顶点在x轴上
∴顶点纵坐标为0，即＝＝0
解得c＝16．
14．（3分）如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为 y＝x2+4x+5 ．
【解答】解：把y＝x2﹣4x+5中的一次项系数﹣4变成相反数得到：y＝x2+4x+5．
故答案为y＝x2+4x+5．
15．（3分）关于x的一元二次方程x2+（a+4）x+3a+3＝0有一个大于﹣2的非正数根，那么实数a的取值范围是 ﹣1≤a＜1 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（a+4）2﹣4（3a+3）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴x＝，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣a﹣1，
∵方程x2+（a+4）x+3a+3＝0有一个大于﹣2的非正数根，
∴﹣2＜﹣a﹣1≤0，
解得﹣1≤a＜1．
故答案为：﹣1≤a＜1．
16．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（m，0）两点．若2＜m＜3，则下列四个结论中正确的是 ②④ ．（请将所有正确结论的序号都填写到横线上）：①b＞0；②c＜0；③点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，x1+x2＝1，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程x2+bx+c+2＝0必有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（m，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵2＜m＜3，
∴﹣1+m＞1，
∴b＜0，故①错误；
∵抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），
∴1﹣b+c＝0，
∴b＝c+1＜0，
∴c＜0，故②正确；
∵2＜m＜3，
∴1＜﹣1+m＜2，
∴，
即抛物线的对称轴位于直线x＝1的左侧，
∵x1＜x2，x1+x2＝1，
∴点N（x2，y2）距离对称轴比点M（x1，y1）远，
∵抛物线开口向上，
∴y1＞y2，故③错误；
∵，b＝c+1，
∴b＝1﹣m，c＝﹣m，
∵x2+bx+c+2＝0，
∴Δ＝b2﹣4（c+2）＝（1﹣m）2﹣4（﹣m+2）＝（m+1）2﹣8
∵2＜m＜3，
∴9＜（m+1）2＜16，
∴1＜（m+1）2﹣8＜8，
即Δ＞0，
关于x的一元二次方程x2+bx+c+2＝0必有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②④．
三、解答题
17．（3分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0．
（2）3x2﹣10x+6＝0．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5；
（2）3x2﹣10x+6＝0，
∵a＝3，b＝﹣10，c＝6，
∴Δ＝100﹣12×6＝28，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）求顶点D的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）令y＝0，即（x﹣1）2﹣4＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
19．（3分）已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围 ﹣3＜x＜0 ．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，
∴点A（﹣3，0），点B（0，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
∴点C（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），点C（﹣1，0），
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+4x+3；
（3）如图所示：
当﹣3＜x＜0时，二次函数值小于一次函数值，
故答案为：﹣3＜x＜0．
20．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）＝4m2﹣4m2﹣12＝﹣12＜0，
∴方程x2﹣2mx+m2+3＝0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）解：y＝x2﹣2mx+m2+3＝（x﹣m）2+3，
把函数y＝（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y＝x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
21．（3分）某商场购进一批单价为4元的商品，若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件；假定每月销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意，可设y＝kx+b，
把（5，300），（6，200）代入得300，
解得，
所以y与x之间的关系式为：y＝﹣100x+800；
（2）设利润为W，则W＝（x﹣4）（﹣100x+800）
＝﹣100 （x﹣4）（x﹣8）
＝﹣100 （x2﹣12x+32）
＝﹣100[（x﹣6）2﹣4]
＝﹣100 （x﹣6）2+400
所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为400元．
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元．
22．（3分）若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1和y2＝ax2+bx+2m2+5，其中y1的图象经过点A（1，1），y3＝y1+y2，若y3与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
【解答】解：（1）二次函数y＝x2和y＝2x2是“同簇二次函数”（答案不唯一）；
（2）把A（1，1）代入y1＝2x2﹣4mx+2m2+1得2﹣4m+2m2+1＝1，解得m＝1，
则y1＝2x2﹣4x+3，y2＝ax2+bx+7，
所以y3＝y1+y2＝（a+2）2+（b﹣4）x+10，
而y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，即二次函数y1的顶点坐标为（1，1），
因为y3与y1为“同簇二次函数”，
所以二次函数y3的顶点坐标为（1，1），
则a+2+b﹣4+10＝1，﹣＝1，解得a＝7，b＝﹣14，
所以函数y2的表达式为y2＝7x2﹣14x+7，则抛物线y2的对称轴为直线x＝﹣＝1，
当0≤x≤3时，x＝3时，y2的值最大，最大值＝7×9﹣14×3+7＝28．
23．（3分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图（1）所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图（2）所示），请根据所给的数据求出抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【解答】解：（1）根据题目条件A，B，C的坐标分别是（﹣10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，
将B，C的坐标代入y＝ax2+c，
得，
解得．
所以抛物线的表达式y＝﹣x2+6；
（2）可设F（5，yF），于是yF＝﹣×52+6＝4.5，
从而支柱EF的长度是10﹣4.5＝5.5米；
（3）根据题意，三辆汽车最右边到原点的距离为：1+3×2＝7，
当x＝7时，y＝﹣×49+6＝3.06＞3，
故可以并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车．
24．（3分）已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；
（3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标．
【解答】解：（1）∵OC＝3OA，A（﹣1，0），
∴C（0，﹣3）．
把点A，C的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得，
解得，
∴抛物线线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N．
∵抛物线线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴B（3，0），
∴AB＝4，
∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD＝AB×OC+×DM×（BN+ON）＝6+×DM×OB＝6+DM，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得，
故直线BC的解析式为：y＝x﹣3．
设D（x，x2﹣2x﹣3），M（x，x﹣3），则DM＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，DM有最大值，此时四边形ABDC面积有最大值为；
（3）如图，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，
∵∠ACM＝45°，
∴AC＝AK，
∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH，
∴△OAC≌△HKA（AAS），
∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1，
∴K（2，1），
设直线CM的解析式为y＝kx﹣3
∴2k﹣3＝1，
∴k＝2，
∴直线CM的解析式为y＝2x﹣3，
联立，
解得x＝0（舍去），或x＝4，
∴M（4，5）．
25．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E是AB上一点，BE＝2．F是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且＝k（k为常数，k≠0），分别过点F，H作EF，BC的垂线，交点为G．设BF的长为x，GH的长为y．
（1）若x＝4，y＝6，则k的值是 ．
（2）若k＝1时，求y的最大值．
（3）在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵EF⊥FG，GH⊥BC，
∴∠EFG＝∠FHG＝90°，
∴∠BFE+∠GFH＝∠GFH+∠G＝90°，
∴∠BFE＝∠G，
∵∠B＝∠GHF＝90°，
∴△EBF∽△FHG，
∴＝，即＝，
∵x＝4，GH＝6，
∴＝，
∴FH＝3，
∵AD＝BC＝10，
∴CF＝10﹣4＝6，
∴k＝＝＝；
故答案为：；
（2）当k＝1时，FH＝CF，此时H与C重合，如图1，
∵BF＝x，BC＝10，
∴CF＝10﹣x，
由（1）知：＝，即＝，
∴y＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，
∵﹣＜0，
∴y有最大值是；
（3）如图2，
当G在AD上时，y＝6，
∵k＝，
∴FH＝kCF＝k（10﹣x）＝10k﹣kx，
由（1）知：＝，即＝，
∴kx2﹣10kx+12＝0①，
∵线段AD上存在唯一的一点G，
∴方程①有一个解或两个相等的实根，
∴Δ＝（﹣10k）2﹣4k×12＝0，
∴k＝0（舍）或．
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
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