2023-2024学年江苏省苏州市重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.方程x2=3x的解是( )
A. 0B. 3C. 0或–3D. 0或3
2.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A. x2−x+1=0B. x2+1=0C. x2+2x+1=0D. x2−3x+1=0
3.二次函数y=(x+2)2−1的顶点坐标是
( )
A. (2,-1)B. (−2,−1)C. (2,1)D. (−2,1)
4.若二次函数y=-x2+3的图像经过点(−3,y1)、(−4,y2)，则y1、y2的大小关系是( )
A. y1y2D. 不能确定
5.2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为x，可列方程为( )
A. 50(1+x)2=182B. 50(1+2x)=182
C. 182(1−x)2=50D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182
6.已知二次函数y=ax2−2ax+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，则关于x的一元二次方程ax2−2ax+c=0的两实数根是
( )
A. x1=-1,x2=1B. x1=-1,x2=2C. x1=-1,x2=3D. x1=-1,x2=0
7.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(4,0).下列结论中：①c>a;②2a−b=0;③方程ax2+bx+c=1(a≠0)有两个不相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(–1,0);⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm≤a+b.其中正确的有( )
A. ①③④B. ②③④C. ①③⑤D. ①④⑤
8.函数y=ax2−bx(a≠0)经点P(m,2)．y≥−1时，x的取值范围为x≤t−1或x≥−3−t．m可能为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.关于x的一元二次方程x2−2x+m−3=0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
10.将抛物线y=12x2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是 ．
11.已知二次函数的表达式为：y=x2−6x+5，将表达式化成y=a(x−h)2+k的形式 ．
12.抛物线y=x2−(t+2)x+1的顶点在x轴正半轴上，则t= ．
13.已知三角形的边长是1和2，第三边的数值是方程2x2−5x+3=0的根，那么这个三角形的周长为 ．
14.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象经过第 象限．
15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 ．
16.在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y=ax2+6x−254(a≠0)的图像上有且只有一个漂亮点．且当−1≤x≤m时，二次函数y=ax2+6x−5(a≠0)的最小值为−12，最大值为4，则m的取值范围是_____．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.解方程：
(1)x2−3x−2=0．
(2)(2x−1)2=4x−2．
四、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8.0分)
已知关于x的方程x2−(k−1)x+2k=0，若方程的一个根是–4，求另一个根及k的值．
19.(本小题8.0分)
已知a是一元二次方程x2+3x−1=0的实数根，求代数式a−33a2−6a÷a+2−5a−2的值．
20.(本小题8.0分)
如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D的坐标为(0,1)，点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．
21.(本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−mx+2m−1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，求m的值．
22.(本小题8.0分)
某数学兴趣小组对函数y=x2−4|x|的图象和性质进行探究，发现自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
(1)补全上表；
(2)根据表中数据，画出函数图象的另一部分；
(3)进一步探究函数图象，回答问题：
①观察图象可以得出，对应的方程x2−4|x|=0有______个实数根；
②关于x的方程x2−4|x|=a有2个实数根时，a的取值范围是______；
③当x取何值时，y随x的增大而增大？
23.(本小题8.0分)
如图，二次函数y1=54x2−(12−5m)x+3m的图像与一次函数y2=kx+3(k≠0)的图像的一个交点为A，点A的横坐标为–2，另一个交点C在y轴上．
(1)求二次函数的表达式;
(2)当x取何值时，一次函数值大于二次函数值?
(3)将点A绕点C顺时针旋转90º后得到点B，请判断点B是否在该二次函数的图像上．
24.(本小题8.0分)
如图，抛物线y=-112x2+23x+53与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，求点P的坐标．
25.(本小题8.0分)
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的最高点到路面的距离为6米．
(1)按如图所示建立平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
(2)一辆货运卡车高为4m，宽为2m，如果该隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
26.(本小题8.0分)
某网店以每件80元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件;后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低2元，其销售量可增加10件．
(1)该网店销售该商品原来一天可获利润 元.
(2)设后来该商品每件售价降价x元，网店一天可获利润y元.
①若此网店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元?
②求y与x之间的函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该网店一天所获利润最大?并求最大利润值．
27.(本小题8.0分)
如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，动点P以2cm/s的速度在△ABC的边上沿A→B的方向匀速运动，动点Q在△ABC的边上沿C→A的方向匀速运动，P、Q两点同时出发，5s后，点P到达终点B，点Q立即停止运动(此时点Q尚未到达点A)，设点P运动的时间为ts，△APQ的面积为Scm2，S与t的函数图像如图②所示．
(1)图①中AC=______cm，点Q运动的速度为______cm/s；
(2)求函数S的最大值；
(3)当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】运用因式分解法求解．
【详解】由x2=3x得x(x−3)=0
所以，x1=0，x2=3
故选D
【点睛】掌握因式分解法解一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式△=b2−4ac，分别计算△的值，逐一进行判断即可．
【详解】解：A.△=1−4=−3<0，方程没有实数根；
B.△=−4<0，方程没有实数根；
C.△=4−4=0，方程有两个相等实数根；
D.△=9−4=5>0，方程有两个不相等的实数根．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据二次函数的性质直接求解．
【详解】解：∵二次函数y=(x+2)2−1，
∴该函数图象的顶点坐标为(−2,−1)，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据：抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．
【详解】因为，抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，−3>−4，
所以，y1>y2
故选C
【点睛】理解二次函数y=ax2+c的基本性质．
5.【答案】D
【解析】【分析】等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×(1+增长率)+4月份销售额×(1+增长率)2=182，把相关数值代入计算求得合适解即可．
【详解】设月增长率为x，根据：等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×(1+增长率)+4月份销售额×(1+增长率)2=182，得
50+50(1+x)+50(1+x)2=182．
故选D
【点睛】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b；得到第二季度的总销售额的等量关系是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据二次函数y=ax2−2ax+c(a≠0)，可以求得该函数的对称轴，再根据该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，从而可以求得该函数图象与x轴的另一个交点，从而可以得到方程ax2−2ax+c=0的两实数根．
【详解】解：∵二次函数y=ax2−2ax+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，
∴该函数的对称轴是直线x=−−2a2a=1，
∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2−2ax+c=0的两实数根是x1=−1，x2=3，
故选C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、函数与方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7.【答案】C
【解析】【分析】从抛物线的图象开口，对称轴，与坐标轴的交点，二次函数与一元二次方程的解等知识进行分析．
【详解】因为抛物线的对称轴是直线x=1，(a≠0)
所以，−b2a=1，整理得：2a+b=0，故②错误；
设抛物线与x轴的另一个交点横坐标是x，则x+42=1，
所以，x=−2，故抛物线与x轴的另一个交点是(−2,0)，
所以，④错误；
因为由图象可知，c>0，a<0，
所以，c>a，故①正确；
因为当x=1时，函数点最大值是：a+b+c，
当x=m时，函数值是am2+bm+c，
所以，am2+bm+c≤a+b+c，
所以，am2+bm≤a+b，故⑤正确．
当y=1时，x有两个值与之对应，
所以，ax2+bx+c=1(a≠0)有两个不相等的实数根;故③正确；
故选C
【点睛】理解二次函数的基本性质，数形结合分析问题．
8.【答案】A
【解析】【分析】由y≥−1，x的取值范围为x≤t−1或x≥−3−t，可以得出x=t−1或x=−3−t是方程ax2−bx+1=0的两个根，则b=−4a，再由y=a(x+2)2−4a，可得−4a≤−1，即a≥14，将点P(m,2)代入函数解析式可得a=2m2+4m，利用a的取值范围确定m的取值范围即可求解．
【详解】解：∵当y≥−1时，ax2−bx≥−1，
∴ax2−bx+1≥0，
∵当y≥−1，x的取值范围为x≤t−1或x≥−3−t，
∴x=t−1或x=-3−t是方程ax2−bx+1=0的两个根，
∴t−1−3−t=−−ba，
∴b=-4a，
∴y=ax2−bx=ax2+4ax=a(x+2)2−4a，
∴x=-2是函数的对称轴，
又∵y≥−1，x的取值范围为x≤t−1或x≥−3−t，
∴−4a≤−1，
∴a≥14，
∵函数y=ax2−bx(a≠0)经点P(m,2)，
∴am2+4am=2，
∴a=2m2+4m≥14，
∴m2+4m≤8，
∴m2+4m−8≤0，
∴−2−2 3≤m≤−2+2 3，
∴m可能取值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
9.【答案】m≤4
【解析】【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac的意义得到△≥0，即(−2)2−4×(m−3)×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2−2x+m−3=0有实数根，
∴△≥0，即(−2)2−4×(m−3)×1≥0，解得m≤4，
∴m的取值范围是m≤4．
故答案为：m≤4．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
10.【答案】y=12(x−1)2−3
【解析】【分析】先根据“左加右减”的原则求出抛物线向左平移1个单位可得到抛物线，再根据上加下减”的原则可知，将抛物线再向下平移3个单位得到的抛物线．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=12x2先向左平移1个单位可得到抛物线y=12(x−1)2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=12(x−1)2再向下平移3个单位可得到抛物线y=12(x−1)2−3．
故答案为y=12(x−1)2−3
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
11.【答案】y=(x−3)2−4
【解析】【分析】利用配方法进行求解即可．
【详解】解：y=x2−6x+5=y=x2−6x+9+5−9=(x−3)2−4，
故答案为：y=(x−3)2−4．
【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，熟知配方法是解题的关键．
12.【答案】0
【解析】【分析】根据抛物线y=x2−(t+2)x+1的顶点在x轴正半轴上，可以得到4×1×1−−(t+2)24×1=0，−−(t+2)2×1>0，从而可以求得t的值，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线y=x2−(t+2)x+1的顶点在x轴正半轴上，
4×1×1−−(t+2)24×1=0−−(t+2)2×1>0
解得，t=0，
故答案为0．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13.【答案】4.5
【解析】【分析】先利用因式分解法解方程得到x=1或x=1.5，再根据三角形三边的关系求出第三边的长，由此即可利用三角形周长公式求出答案．
【详解】解：解方程2x2−5x+3=0得x=1或x=1.5，
∵三角形的边长是1和2，
∴2−1=1<第三边长<2+1=3，
∵第三边的数值是方程2x2−5x+3=0的根，
∴第三边的长为1.5，
∴这个三角形的周长为1+1.5+2=4.5，
故答案为：4.5．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
14.【答案】一、二、三
【解析】【分析】根据二次函数图象可知a>0,b>0，由此根据一次函数图象与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a>0,−b2a<0，
∴b>0，
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：一、二、三．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】【分析】解方程x2+mx=0得A(−m，0)，再利用对称的性质得到点A的坐标为(−1,0)，所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′(1,2)，接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．
【详解】解：当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=−m，则A(−m，0)，
∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
∴抛物线解析式为y=x2+x，
当x=1时，y=x2+x=2，则A′(1,2)，
当y=2时，x2+x=2，解得x1=−2，x2=1，则C(−2,1)，
∴A′C的长为1−(−2)=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标平面内关于某点对称的两点间坐标的关系以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
16.【答案】3≤m≤7
【解析】【分析】根据二次函数y=ax2+6x−254(a≠0)的图象上有且只有一个完美点求出a=−1，再根据函数的解析式可求m的取值范围．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+6x−254(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，
设完美点的坐标为(n，n)，
∴方程n=an2+6n−254即an2+5n−254=0有两个相等的实数根，
∴Δ=52−4a×−254=0，
∴a=−1，二次函数的解析式为：y=−x2+6x−5=−(x−3)2+4，
当x=3时，函数有最大值为4，
又∵当−1≤x≤m时，二次函数最小值为−12，
∴令−x2+6x−5=−12，
则x=7或−1，
∴要使函数最小值为−12，最大值为4，则3≤m≤7，
故答案为：3≤m≤7．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键．
17.【答案】(1)x1=3+ 172,x2=3− 172
(2)x1=12,x2=32

【解析】【分析】(1)根据公式法解一元二次方程即可；
(2)根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】(1)解：x2−3x−2=0，
∵a=1,b=−3,c=−2，
∴b2−4ac=(−3)2−4×1×(−2)=17>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=3± 172，
∴x1=3+ 172,x2=3− 172；
(2)解：(2x−1)2=4x−2，
(2x−1)2−4x+2=0，
(2x−1)2−2(2x−1)=0，
(2x−1)(2x−3)=0，
∴2x−1=0,2x−3=0，
∴x1=12,x2=32．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
18.【答案】1，−2
【解析】【分析】把方程的一个根–4，代入方程，求出k，再解方程可得．
【详解】解：∵x=-4∴16+4(k−1)+2k=0∵k=-2∴x2+3x−4=0∴x1=1,x2=-4∴另一个根是1,k的值为−2.
【点睛】考察一元二次方程的根的定义，及应用因式分解法求解一元二次方程的知识。
19.【答案】13
【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则把原式式子化简为13a2+3a，再根据一元二次方程解的定义求出a2+3a=1，由此即可求出答案．
【详解】解：a−33a2−6a÷a+2−5a−2
=a−33a(a−2)÷a2−4a−2−5a−2
=a−33a(a−2)÷a2−9a−2
=a−33a(a−2)÷(a+3)(a−3)a−2
=a−33a(a−2)⋅a−2(a+3)(a−3)
=13a(a+3)
=13a2+3a，
∵a是一元二次方程x2+3x−1=0的实数根，
∴a2+3a−1=0，
∴a2+3a=1，
∴原式=13×1=13．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义，正确根据分式的混合计算法则把所求式子进行化简是解题的关键．
20.【答案】1− 3,2或1+ 3,2
【解析】【分析】先求出C(0,3)，进而得到线段CD的垂直平分线为直线y=2，再由△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P在直线y=2上，据此求解即可．
【详解】解：在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
∵D(0,1)，
∴CD的中点坐标为(0,2)，
∴线段CD的垂直平分线为直线y=2，
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴PC=PD，即点P在线段CD的垂直平分线上，
∴点P在直线y=2上，
在y=-x2+2x+3中，当y=2时，则−x2+2x+3=2，
解得x=1− 2或x=1+ 2，
∴点P的坐标为1− 3,2或1+ 3,2．
【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，推出点P在直线y=2上是解题的关键．

21.【答案】m=−1
【解析】【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为(x1+x2)2−2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2−mx+2m−1=0的两个实数根，
∴x1+x2=m，x1x2=2m−1，
∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=7，
∴m2−2(2m−1)=7，
解得：m1=5，m2=−1，
又∵方程x2−mx+2m−1=0有两个实数根，
∴Δ=m2−4(2m−1)≥0，
∴当m=5时，
Δ=25−36=−11<0，舍去；
故符合条件的m的值为m=−1．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba,x1x2=ca，以及一元二次方程根的判别式，熟记公式并正确应用是解题的关键．

22.【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①3；②a>0或a=-4；③−2≤x<0或x≥2

【解析】【分析】(1)直接把x=2，x=3带入函数解析式中求出对应的函数值，即可补全表格；
(2)根据表格中的数据，先描点，再连线画出对应的函数图象即可；
(3)根据(2)所画的函数图象进行求解即可；
【详解】(1)解：当x=2时，y=x2−4|x|=22−4×|2|=4−4×2=−4，
当x=3时，y=x2−4|x|=32−4×|3|=9−4×3=−3，
补全表格如下：
(2)解：如图所示，即为所求；
(3)解：①由函数图象可知，x2−4|x|=0有3个实数根，
故答案为：3；
②由函数图象可知，当a>0或a=-4时，直线y=a和函数y=x2−4|x|有两个不同的交点，
∴关于x的方程x2−4|x|=a有2个实数根时，a的取值范围是a>0或a=-4，
故答案为：a>0或a=-4；
③由函数图象可知，当−2≤x<0或x≥2时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查了求二次函数函数值，画二次函数图象，二次函数的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
23.【答案】【答案】(1)y=54x2+92x+3;(2)当−2【解析】【分析】(1)先求出C的坐标，再求m;(2)观察图象分析函数值大小；(3)求A的坐标，根据全等三角形性质求B的坐标即可．
【详解】解：(1)令x=0，则y=0+3=3，
所以C(0,3)，
所以，3m=3
m=1
所以，y=54x2+92x+3
(2)
观察图象可得：
当−2(3)当=−2时，y=54×4+92×(−2)+3=−1，
所以，A(−2,−1)
过点a作AD⊥y轴，垂足为D，过点B作BE⊥y轴，垂足为E，
证得△BEC≌△ADC，
所以，BE=CD=4，CE=AD=2，
所以，点B的坐标为(−4,5)
当x=−4时，y=54×16+92×(−4)+3=5
所以，点B在该二次函数图象上．
【点睛】二次函数的综合运用，数形结合分析问题．
24.【答案】(5,3512)
【解析】【分析】先连接PC，PO，PA，设点P(m,-112m2+23m+53)，再求出点C，点A，点B的坐标，然后结合S△PAC=S△PCO+S△POA+S△AOC得出关系式，再配方讨论最值即可得出答案．
【详解】先连接PC，PO，PA，如图所示．
设点P(m,-112m2+23m+53)，
当x=0时，y=53，
∴点C(0,53)．
当y=0时，−112x2+23x+53=0，
解得x=-2或10，
∴点A(10,0)，点B(−2,0)，
∴S△PAC=S△PCO+S△POA−S△AOC=12×53m+12×10×(−112m2+23m+53)−12×53×10=-512(m−5)2+12512，
当m=5时，△PAC的面积最大值为12512，
当m=5时，−112m2+23m+53=3512，
此时点P(5,3512)．
【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求二次函数图像与坐标轴的交点坐标，求二次函数的最值，求三角形的面积等，用割补法表示出三角形的面积是解题的关键．
25.【答案】(1)y=−14(x−4)2+6；(2)这辆货车能安全通过．
【解析】【详解】试题分析：(1)根据题意可知顶点坐标和点B坐标，设抛物线的函数表达式为顶点式，代入即可求出表达式；
(2)利用宽2m求出高为5m，所以可以通过．
试题解析：解：(1)如图1，由题意得：最高点C(4,6)，B(8,2)，设抛物线的函数表达式：y=a(x−4)2+6，把(8,2)代入得：a(8−4)2+6=2，a=−14，∴y=−14(x−4)2+6；
(2)如图2，当DE=2时，AD=AE−DE=4−2=2，当x=2时，y=−14(2−4)2+6=5>4，∴这辆货车能安全通过．
点睛：本题是二次函数的应用，属于抛物线型隧道或拱桥问题，此类题一般函数表达式求法比较简单，但若货运卡车等是否能通过隧道问题，有两种情况：单向车道或双向车道，要仔细审题，可以利用宽来计算高，也可以利用高来计算宽，把对应的坐标代入即可．
26.【答案】(1)1000；(2)①8；②95；1125
【解析】【分析】(1)用每件利润乘以50件即可；
(2)每件售价降价x元，则每件利润为(100−80−x)元，销售量为(50+5x)件，它们的乘积为利润y，
①利用y=1080得到方程(100−80−x)(50+5x)=1080，然后解方程即可；
②由于y=(100−80−x)(50+5x)，则可利用二次函数的性质确定最大利润值．
【详解】解：(1)该网店销售该商品原来一天可获利润为(100−80)×50=1000(元)，
故答案为1000；
(2)①y=(100−80−x)(50+5x)=−5x2+50x+1000，
当y=1080时，−5x2+50x+1000=1080，
整理得x2−10x+16=0，解得x1=2，x2=8，
答：每件商品的售价应降价2元或8元；
②y=(100−80−x)(50+5x)=−5x2+50x+1000=−5(x−5)2+1125，
当x=5时，y有最大值，最大值为1125，
则100−x=95，
答：当该商品每件售价为95元时，该网店一天所获利润最大，最大利润值为1125元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
27.【答案】(1)8；1
(2)485
(3)当t=167或t=4013时以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似

【解析】【分析】(1)先根据路程=速度×时间，求出AB的长，则由勾股定理氪求得AC的长，再利用当t=5时，△APQ的面积为9，得AQ⋅CP2=9，代入数值计算即可；
(2)过点P作PH⊥AC于H，证明△AHP∽△ACB得APPH=ABBC，求出边长，表示S=AQ⋅PH2=-35(t−4)2+485，利用二次函数的性质进行求解即可；
(3)分两种情况讨论当∠PQA=90°时，当∠QPA=90°时，证明△APQ与△ABC相似，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】(1)解：∵动点P以2cm/s的速度运动了5秒后，从A运动到B点，
∴AB=10cm，
∵∠ACB=90°，BC=6cm，
∴AC= AB2−BC2=8cm，
由图②可知当运动时间为5秒时，△APQ的面积为9，
∴AQ⋅CP2=9，
∵BC=CP=6cm，
∴AQ=3cm，
∴CQ=8−3=5cm，
∴点Q运动的速度为5÷5=1cm/s；
故答案为：8；1；
(2)解：如下图，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠A=∠A,∠ACB=∠AHP，
∴△AHP∽△ACB，
∴APPH=ABBC，
∴2tPH=106，
∴PH=65t，
∵CQ=tcm，
∴AQ=(8−t)cm，
∴S△APQ=AQ⋅PH2=65t⋅(8−t)2=-35t2+245t=-35(t−4)2+485，
∵−35<0，
∴当t=4时，函数S有最大值，最大值为485；
(3)解：分两种情况，当∠PQA=90°时，如下图，
∵∠A=∠A,∠ACB=∠AQP，
∴△AQP∽△ACB，
∴APAQ=ABAC，2t8−t=108，
解得：t=4013；
当∠QPA=90°时，如下图，
∵∠A=∠A,∠ACB=∠APQ
∴△AQP∽△ABC，
∴APAQ=ACAB，2t8−t=810，
解得：t=167；
综上所述，当t=167或t=4013时以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的综合性质，动点与相似三角形的性质，二次函数与动点问题，难度大，综合性强，熟悉相似三角形的判定与性质，建立边长之间的关系，用代数式表示出边长是解题关键．
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
−3
−4
−3
0
−3
______
______
…
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
−3
−4
−3
0
−3
−4
−3
…