63，广东省东莞市东莞中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份63，广东省东莞市东莞中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，5，7B．4，4，8C．4，5，6D．4，5，10
3．（3分）多边形的每个内角均为120°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．8
4．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝40°，∠E＝115°，则∠B的度数是（ ）
A．40°B．30°C．45°D．25°
5．（3分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
6．（3分）已知点A（a，4）与点B（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b＝（ ）
A．﹣6B．6C．2D．﹣2
7．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
A．AD＝CBB．∠A＝∠CC．BD＝DBD．AB＝CD
8．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若AC＝6cm，BC＝7cm，则△BCD的周长为（ ）
A．20cmB．19cmC．13cmD．12cm
9．（3分）康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
10．（3分）如图，D为△BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠ACD．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）等腰三角形的一个内角是120°，则它的顶角的度数是 ．
12．（3分）如图，∠1是五边形的一个外角．若∠1＝50°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为 ．
13．（3分）如图，B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东70° 方向，则∠ACB的度数是 ．
14．（3分）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE＝3cm2，则S△ABC＝ ．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，D，E分别为边BC，AB的中点，AD＝3，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值为 ．
三、解答题（每小题8分，共24分）
16．（8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DF，AB＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝21，EC＝9，则BC＝ ．
17．（8分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线，
（1）证明：△ABD≌△ACE；
（2）证明：∠3＝∠1+∠2．
18．（8分）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，BD，CE相交于点P．
（1）如图1，如果∠A＝60°，∠ACB＝90°，则∠BPC＝ ；
（2）如图2，如果∠A＝60°，∠ACB不是直角，求∠BPC的度数．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）在网格中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标；
（3）若网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若∠A＝135°，∠BCE＝55°，求∠DBC的度数．
21．（9分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12BC，点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F．
（1）求∠E和∠AFD的度数；
（2）求证：DE＝2DF．
五、解答题（本题共2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）（1）如图1，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC，求∠A的大小；
（2）如图2，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于H．
①求证：CD垂直平分EF；
②若△ABC的面积为8，BC＝3，AC＝5，求ED的长．
23．（12分）在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．
（1）如图1，以A为顶点作等腰直角△ABC时，∠BAC＝90°，AC＝AB，若OA＝2，OB＝4，CD垂直于x轴，垂足为D，则D点的坐标为 ；C点的坐标为 ；
（2）如图2，以B为顶点作等腰直角△ABD，∠ABD＝90°，AB＝BD，若OA＝m，OB＝4，求点D的坐标；
（3）如图3，若OA＝OB，OF⊥AB于点F，以OB为边作等边△OBM，连接AM交OF于点N，点E在AM上且EM＝ON，连接BE，求线段AM、BE、ON的数量关系．
2023-2024学年广东省东莞中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，5，7B．4，4，8C．4，5，6D．4，5，10
【分析】根据三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断．
【解答】解：A、2+5＝7，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意；
C、4+5＞6，能组成三角形，符合题意；
D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．
3．（3分）多边形的每个内角均为120°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】首先可求得每个外角为60°，然后根据外角和为360°即可求得多边形的边数．
【解答】解：180°﹣120°＝60°，
360°÷60°＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是正多边形的内角和与外角和，掌握正多边形的一个内角与它相邻的一个外角互补，边数×一个外角＝360°是解题的关键．
4．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝40°，∠E＝115°，则∠B的度数是（ ）
A．40°B．30°C．45°D．25°
【分析】由全等三角形的性质可得∠C＝∠E＝115°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠E＝115°，
∴∠C＝∠E＝115°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝25°．
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．
5．（3分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【分析】如图（见解析），先根据三角板可得∠2＝45°，∠4＝30°，再根据角的和差可得∠3＝45°，然后根据三角形的外角性质即可得．
【解答】解：如图，由题意可知，∠2＝45°，∠4＝30°，
∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，
∴∠3＝90°﹣∠2＝45°，
∴∠1＝∠3+∠4＝45°+30°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
6．（3分）已知点A（a，4）与点B（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b＝（ ）
A．﹣6B．6C．2D．﹣2
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出a，b的值即可．
【解答】解：∵点A（a，4）与点B（﹣2，b）关于x轴对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣4，
则a+b＝﹣2﹣4＝﹣6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．
7．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（ ）
A．AD＝CBB．∠A＝∠CC．BD＝DBD．AB＝CD
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；
B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意；
D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若AC＝6cm，BC＝7cm，则△BCD的周长为（ ）
A．20cmB．19cmC．13cmD．12cm
【分析】由线段垂直平分线的性质得到BD＝AD，因此△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC＝7+6＝13（cm）．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴BD＝AD，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+6＝13（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到BD＝AD．
9．（3分）康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】由E，F分别是AB，AC的中点，AB＝AC，得出AE＝AF；根据三边对应相等，证明△AED≌△AFD．
【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝AC，
∴AE＝AF，
在△AED与△AFD中，
AE=AFED=DFAD=AD，
∴△AED≌△AFD（SSS）．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
10．（3分）如图，D为△BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠ACD．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，然后求出A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC＝∠BAC；∠DAE＝∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD，进而得出∠DAF＝∠DCB，不能得出∠DAF＝∠ACD．
【解答】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF＝∠DCE，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∠DAE＝∠CBD，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠DCB＞∠ACD，
∴∠DAF＞∠ACD，
∴∠DAF≠∠ACD，故④错误；
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）等腰三角形的一个内角是120°，则它的顶角的度数是 120° ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，即可得到答案．
【解答】解：∵2×120°＝240°＞180°，
∴120°是顶角，不是底角，
∴它的顶角的度数是120°，
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，是解题的关键．
12．（3分）如图，∠1是五边形的一个外角．若∠1＝50°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为 410° ．
【分析】利用邻补角定义可得∠AED的度数，再利用五边形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：∵∠1＝50°，
∴∠AED＝180°﹣50°＝130°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×（5﹣2）﹣130°＝410°，
故答案为：410°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和计算公式：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）．
13．（3分）如图，B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东70° 方向，则∠ACB的度数是 80° ．
【分析】先求出∠ABC和∠BAC，再利用三角形内角和求出∠ACB．
【解答】解：∵B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东30°方向，
∴∠BAC＝40°+30°＝70°，∠ABD＝40°，
∵C处在B处的北偏东70° 方向，
∴∠DBC＝70°，
∴∠ABC＝70°﹣40°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣30°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据图正确找出各角之间的关系即可计算．
14．（3分）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE＝3cm2，则S△ABC＝ 12cm2 ．
【分析】根据三角形的面积公式，得△ACE的面积是△ACD的面积的一半，△ACD的面积是△ABC的面积的一半．
【解答】解：∵CE是△ACD的中线，
∴S△ACD＝2S△ACE＝6cm2．
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ACD＝12cm2．
故答案为：12cm2．
【点评】此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，D，E分别为边BC，AB的中点，AD＝3，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值为 3 ．
【分析】作点E关于AD的对称点F，连接BF，交AD于点P，由BP+PE＝BP+PF≥BF，根据AD＝BF即可求得BP+EP的最小值．
【解答】解：如图，作点E关于AD的对称点F，连接BF，交AD于点P，
∵等边三角形为轴对称图形，
∴点F在线段AC上，
∴PF＝PE，
∴BP+PE＝BP+PF≥BF，即BP+EP的最小值为BF的长，且此时AC⊥BF，
根据等边三角形三边上的高相等，即AD＝BF＝3，
∴BP+EP的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，轴对称的性质，掌握轴对称求线段和最小值的方法是解题的关键．
三、解答题（每小题8分，共24分）
16．（8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DF，AB＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝21，EC＝9，则BC＝ 15 ．
【分析】（1）由平行线的性质得∠B＝∠F，再由ASA证明△ABC≌△DFE即可；
（2）由全等三角形的性质得BC＝FE，再证BE＝CF，然后求出BE＝6，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥DF，
∴∠B＝∠F，
在△ABC和△DFE中，
∠A=∠DAB=DF∠B=∠F，
∴△ABC≌△DFE（ASA）；
（2）解：由（1）可知，△ABC≌△DFE，
∴BC＝FE，
∴BC﹣EC＝FE﹣EC，
即BE＝CF，
∵BE+EC+FE＝BF，
∴2BE+9＝21，
解得：BE＝6，
∴BC＝BE+EC＝6+9＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．（8分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线，
（1）证明：△ABD≌△ACE；
（2）证明：∠3＝∠1+∠2．
【分析】（1）先证明∠BAD＝∠1，再由SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）由全等三角形的性质得∠ABD＝∠2，再由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠1，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠1AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2，
∴∠3＝∠BAD+∠ABD＝∠1+∠2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．（8分）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，BD，CE相交于点P．
（1）如图1，如果∠A＝60°，∠ACB＝90°，则∠BPC＝ 120° ；
（2）如图2，如果∠A＝60°，∠ACB不是直角，求∠BPC的度数．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC＝30，再用角平分线的意义求出∠PCB＝45°，∠PBC＝15°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；
（2）先根据角平分线的意义，求出∠ACB＝2∠PCB，∠ABC＝2∠PBC，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝120°，最后用三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，根据三角形内角和定理得，∠ABC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，
∴∠PCB＝∠ACB＝45°，∠PBC＝∠PBC＝15°，
在△PBC中，根据三角形的内角和定理得，
∠BPC＝180°﹣∠PCB﹣∠PBC＝180°﹣45°﹣15°＝120°，
故答案为：120°；
（2）∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，
∴∠ACB＝2∠PCB，∠ABC＝2∠PBC，
∵∠A＝60°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∴2∠PCB+2∠PBC＝120°，
∴∠PCB+∠PBC＝60°，
在△PBC中，∠BPC+∠PCB+∠PBC＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣60°＝120°．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的意义，求出∠BPC＝120°和构造全等三角形是解本题的关键．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）在网格中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标；
（3）若网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据A1，B1，C1的位置写出坐标即可．
（3）避实就虚面积可知矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）A1（3，4），B1（5，2），C1（2，0）；
（3）△A1B1C1的面积＝3×4−12×1×4−12×2×2−12×2×3＝5，
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若∠A＝135°，∠BCE＝55°，求∠DBC的度数．
【分析】（1）由题意，由AAS证明△ABD≌△EDC即可；
（2）由△ABD≌△EDC得∠CED＝∠A＝135°，由三角形的外角性质即可求得结果．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
在△ABD和△EDC中，
∠1=∠2∠ABD=∠BDCAB=ED，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴BD＝CD．
（2）解：∵△ABD≌△EDC（AAS），∠A＝135°，
∴∠CED＝∠A＝135°，
∵∠BCE＝55°，
∴∠DBC＝∠CED﹣∠BCE＝80°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，证明两个三角形全等是解题的关键．
21．（9分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12BC，点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F．
（1）求∠E和∠AFD的度数；
（2）求证：DE＝2DF．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ACB＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC，再利用三角形的外角性质可得∠E+∠CDE＝60°，然后利用线段的中点定义可得CD=12AC，从而可得CD＝CE，再利用等腰三角形的性质可得∠E＝∠CDE＝30°，最后利用三角形内角和定理可得∠BFD＝90°，从而利用平角定义进行计算，即可解答；
（2）连接BD，先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ABD＝∠DBE＝30°，从而可得∠DBE＝∠E＝30°，进而可得DB＝DE，然后在Rt△BFD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD＝2DF，然后利用等量代换可得DE＝2DF，即可解答．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC，
∵∠ACB是△CDE的一个外角，
∴∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°，
∵点D是边AC的中点，
∴CD=12AC，
∵CE=12BC，
∴CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴∠BFD＝180°﹣∠B﹣∠E＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣∠BFD＝90°，
∴∠E的度数为30°，∠AFD的度数为90°；
（2）证明：连接BD，
∵BA＝BC，点D是边AC的中点，
∴∠ABD＝∠DBE=12∠ABC＝30°，
∴∠DBE＝∠E＝30°，
∴DB＝DE，
∵∠BFD＝90°，
∴BD＝2DF，
∴DE＝2DF．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，含30度的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
五、解答题（本题共2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）（1）如图1，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC，求∠A的大小；
（2）如图2，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于H．
①求证：CD垂直平分EF；
②若△ABC的面积为8，BC＝3，AC＝5，求ED的长．
【分析】（1）设∠A＝x，利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACD＝x，再利用三角形的外角性质可得∠CDB＝2x，然后再利用等腰三角形的性质可得∠CDB＝∠B＝∠ACB＝2x，从而利用三角形内角和定理列出方程，进行计算即可解答；
（2）①先利用角平分线的性质可得DE＝DF，然后利用HL证明Rt△CED≌Rt△CFD，从而可得DE＝DF，最后根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答；
②利用①的结论，以及三角形的面积进行计算，即可解答．
【解答】（1）解：设∠A＝x，
∵DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝x，
∵∠CDB是△ACD的一个外角，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2x，
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝∠B＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝2x，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠A＝36°；
（2）①证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵CD＝CD，
∴Rt△CED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∴CD垂直平分EF；
②解：∵△ABC的面积为8，BC＝3，AC＝5，DE＝DF，
∴△ACD的面积+△CBD的面积＝8，
∴12AC•DE+12BC•DF＝8，
∴12×5DE+12×3DE＝8，
解得：DE＝2，
∴DE的长为2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
23．（12分）在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．
（1）如图1，以A为顶点作等腰直角△ABC时，∠BAC＝90°，AC＝AB，若OA＝2，OB＝4，CD垂直于x轴，垂足为D，则D点的坐标为 （﹣6，0） ；C点的坐标为 （﹣6，﹣2） ；
（2）如图2，以B为顶点作等腰直角△ABD，∠ABD＝90°，AB＝BD，若OA＝m，OB＝4，求点D的坐标；
（3）如图3，若OA＝OB，OF⊥AB于点F，以OB为边作等边△OBM，连接AM交OF于点N，点E在AM上且EM＝ON，连接BE，求线段AM、BE、ON的数量关系．
【分析】（1）由已知可证△ADC≌△BOA，由全等三角形的对应边相等可得AD＝BO＝4，CD＝AO＝2，所以OD＝AO+AD＝2+4＝6，即可求得点D和点C的坐标；
（2）作DP⊥OB于点P，可证△AOB≌△BPD，由全等三角形的对应边相等可得AO＝BP＝m，OB＝PD＝4，所以OP＝OB﹣BP＝4﹣m，即可求得点D的坐标；
（3）根据等腰直角三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA＝∠AOF＝45°，根据等边三角形的性质可得∠BOM＝∠OBM＝∠OMB＝60°，OB＝OM＝BM，进而可得∠AOM＝90°+60°＝150°，OA＝OM，可求∠OAM＝∠OMA＝15°，所以∠BAM＝∠OAB﹣∠OAM＝45°﹣15°＝30°，∠BME＝∠OMB﹣∠OMA＝60°﹣15°＝45°，结合已知可证△AON≌△BME，根据全等三角形的性质可得∠MBE＝∠OAN＝15°，所以∠ABE＝∠ABM﹣∠MBE＝45°+60°﹣15°＝90°，根据直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，可得AE＝2BE，所以AM＝AE+ME＝2BE+ON．
【解答】解：（1）∵CD垂直于x轴，
∴∠CDA＝∠AOB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAO，
又∵AC＝AB，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴AD＝BO＝4，CD＝AO＝2，
∴OD＝AO+AD＝2+4＝6，
∴D（﹣6，0），C（﹣6，﹣2），
故答案为：（﹣6，0），（﹣6，﹣2）；
（2）作DP⊥OB于点P，
∴∠AOB＝∠BPD＝90°，
∴∠DBP+∠BDP＝90°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBP+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BDP，
又∵AB＝BD，
∴△AOB≌△BPD（AAS），
∴AO＝BP＝m，OB＝PD＝4，
∴OP＝OB﹣BP＝4﹣m，
∴D（4，m﹣4）；
（3）∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵OF⊥AB，
∴∠OAB＝∠AON＝45°，
∵△OBM是等边三角形，
∴∠BOM＝∠OBM＝∠OMB＝60°，OB＝OM＝BM，
∵OA＝OB，
∴OA＝OM＝BM，
∵∠AOM＝90°+60°＝150°，OA＝OM，
∴∠OAM＝∠OMA=180°−150°2=15°，
∴∠BME＝∠OMB﹣∠OMA＝60°﹣15°＝45°，
∴∠AON＝∠BME，
又∵ON＝EM，
∴△AON≌△BME（SAS），
∴∠MBE＝∠OAN＝15°，
∴∠ABE＝∠ABM﹣∠MBE＝45°+60°﹣15°＝90°，
∵∠BAM＝∠OAB﹣∠OAM＝45°﹣15°＝30°，
∴AE＝2BE，
∴AM＝AE+ME＝2BE+ON，
即AM＝2BE+ON．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键．