55，黑龙江省牡丹江市2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷

这是一份55，黑龙江省牡丹江市2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）习近平总书记强调，“垃圾分类工作就是新时尚”．下列垃圾分类标识的图形中，轴对称图形个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．2b+5a＝7ab
C．（a+b）2＝a2+b2D．（a2b3）2＝a4b6
3．（3分）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A．2.8×10﹣10B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣6D．2.8×10﹣9
4．（3分）下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．（3分）将一把直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置放置．若∠1＝65°，则∠2等于（ ）
A．145°B．150°C．155°D．160°
6．（3分）若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（ ）
A．9B．8C．7D．5
7．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC外角平分您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高线交CA延长线于点D，DE⊥BC，垂足是E，若△ABC周长是8，则线段CD的长为（ ）
A．B．9C．8D．7
8．（3分）如果x2﹣2（m﹣1）x+5﹣2m是一个完全平方式，则满足条件的整数m的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（3分）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部，得到图①，将A，B并列放置后构成新的正方形，得到图②．若图①和图②中的阴影面积分别是3和8，则正方形A，B的面积之和是（ ）
A．9B．11C．12D．15
10．（3分）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树20棵，实际植树800棵所需时间与原计划植树600棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）一组按规律排列的式子：，，，，…，第n个式子是（n为正整数）（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3分）在以“长方形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：在长方形纸片ABCD的BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在点B'处，边EB'交AD于点F，第二步：将△ECD沿DE翻折，点C的对应点C′恰好落在线段EB'上．根据以上的操作，若BC＝6，C'是EB'的中点，则线段AF的长为（ ）
A．B．3C．D．4
二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充一个条件 ，就可以根据“ASA”得到△ABC≌△BAD．
14．（3分）若分式的值为0，则m的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝150°，点P，Q分别在边AB，BC上，则AQ+PQ的最小值为 ．
16．（3分）若xm＝4，xn＝6，则x3m﹣n的值为 ．
17．（3分）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A，B，C，D都是格点，AB与CD相交于点P，则∠A+∠D＝ ．
18．（3分）关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ．
19．（3分）等腰三角形ABC中，高BD与一腰所夹的锐角是40°，则等腰三角形ABC底角的度数为 ．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，点F在AB边上，过点D作DE⊥BC，垂足是E，∠FED＝∠B，4∠FDE﹣∠A＝180°．下列结论：①2∠CDE＝∠A；②BC＝BF+CD；③△DEF是等边三角形；④过点D作DM⊥DE，交AB边于点M，若M是AF的中点，DM＝3，则BC＝9．其中正确的是 ．
三、解答题（60分）
21．（18分）（1）计算：（﹣1）2024+（）﹣2﹣（π﹣3）0；
（2）计算：（m﹣n）2﹣2m（m﹣n）；
（3）因式分解：a2（x﹣y）+4（y﹣x）；
（4）解分式方程：﹣3＝．
22．（6分）先化简：，再从﹣2，﹣1，﹣6，中选择一个适合的数x代入求值．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C在格点上．
（1）请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C'；
（2）写出点B'，点C'的坐标，以A'，B，C′为顶点的三角是 三角形；
（3）点P在图中格点上，若△PBC是等腰三角形，则点P的个数是 ．
24．（9分）在△ABC中，∠BAC＝∠BCA，D是平面内一点，∠DAB＝∠ABC＝90°，点E在AB边所在直线上，CE⊥BD，垂足是F．
（1）当点E在线段AB上时，如图①，求证：AE+AD＝BC；
（2）当点E在线段BA延长线上时，如图②；当点E在线段AB延长线上时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，AD，BC的数量关系；
（3）如图③，若BF+CF＝6，则S四边形ADFC﹣S△BEF＝ ．
25．（10分）2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件每件的进价分别是多少元？
（2）若两批“吉祥龙”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥龙”挂件的标价至少是多少元？
26．（10分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点B（m，0），C（n，0）在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，BD⊥AC，垂足是D，BD交AO于点E，∠AED﹣∠BAO＝45°，（m+4）2+（n﹣6）2＝0．请解答下列问题：
（1）求点B、点C的坐标；
（2）求线段AE的长；
（3）连接CE．若OE＝2，在坐标轴上是否存在点F，使S△ACF＝S△ACE？若存在，请直接写出点F的个数和其中一个点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
一、单项选择题（本题12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）习近平总书记强调，“垃圾分类工作就是新时尚”．下列垃圾分类标识的图形中，轴对称图形个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：左起第一、第四个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
第二、第三这两个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．2b+5a＝7ab
C．（a+b）2＝a2+b2D．（a2b3）2＝a4b6
【解答】解：A、原式＝a7，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝（a2）2•（b3）2＝a4b6，符合题意．
故选：D．
3．（3分）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A．2.8×10﹣10B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣6D．2.8×10﹣9
【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8．
故选：B．
4．（3分）下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：＝＝﹣，＝5a，＝，都不是最简分式，
，，是最简分式，
故选：B．
5．（3分）将一把直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置放置．若∠1＝65°，则∠2等于（ ）
A．145°B．150°C．155°D．160°
【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝65°，
∴∠3＝∠1＝65°，
∴∠4＝∠3＝65°，
∴∠2＝∠4+90°＝65°+90°＝155°．
故选：C．
6．（3分）若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（ ）
A．9B．8C．7D．5
【解答】解：∵分式的值是整数，
∴m+1是6的约数，即m+1＝1或2或3或6，
解得：m＝0（舍去）或1或2或5，
则满足条件的所有正整数m的和为1+2+5＝8．
故选：B．
7．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC外角平分线交CA延长线于点D，DE⊥BC，垂足是E，若△ABC周长是8，则线段CD的长为（ ）
A．B．9C．8D．7
【解答】解：在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
设AB＝AC＝x，则BC＝x，
∵△ABC周长是8，
∴x+x+x＝8，
∴x＝8﹣4，
∴AB＝AC＝8﹣4，BC＝（8﹣4）×＝8﹣8，
∵BD是∠ADE的角平分线，DE⊥BE，AB⊥AD，
∴BE＝AB＝8﹣4，
又∵BD＝BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），
∴DE＝DA，
设CD＝m，则AD＝DE＝m﹣8+4，
∵S，
∴（m﹣8+4）×＝（8﹣4）（2m﹣8+4），
解得m＝8，
即CD＝8，
故选：C．
8．（3分）如果x2﹣2（m﹣1）x+5﹣2m是一个完全平方式，则满足条件的整数m的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+5﹣2m是一个完全平方式，
∴（m﹣1）2＝5﹣2m，解得m＝±2．
故选：B．
9．（3分）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部，得到图①，将A，B并列放置后构成新的正方形，得到图②．若图①和图②中的阴影面积分别是3和8，则正方形A，B的面积之和是（ ）
A．9B．11C．12D．15
【解答】解：设正方形A、B的边长分别是a、b，则正方形A，B的面积之和是a2+b2．
根据题意，图①中阴影部分的图形是正方形，边长为（a﹣b），图②中新正方形的边长为（a+b），
根据图①和图②中的阴影面积分别是3和8，得，
经整理，得，
∴a2+b2＝11，
∴正方形A，B的面积之和是11．
故选：B．
10．（3分）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树20棵，实际植树800棵所需时间与原计划植树600棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意可得：
＝，
故选：B．
11．（3分）一组按规律排列的式子：，，，，…，第n个式子是（n为正整数）（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵第奇数个式子的符号为“负”，
∴第n个式子的符号可用（﹣1）n表示．
∵分母中单项式的系数分别为1，2，，字母a的指数分别是1，2，，
∴第n个式子的分母可表示为：nan．
∵分子分别是2，5，8，11...（3n﹣1），
∴第n个式子的分母是3n﹣1．
∴第n个式子为：（﹣1）n．
故选：D．
12．（3分）在以“长方形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：在长方形纸片ABCD的BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在点B'处，边EB'交AD于点F，第二步：将△ECD沿DE翻折，点C的对应点C′恰好落在线段EB'上．根据以上的操作，若BC＝6，C'是EB'的中点，则线段AF的长为（ ）
A．B．3C．D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝6，∠B＝∠C＝90°
由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，
∵点C'恰好为EB'的中点，
∴B'E＝2C'E，
∴BE＝2CE，
∴BC＝AD＝3EC，
∴CE＝2，BE＝4，
∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
∴AB2+16+8+DC2+4＝36，
∴AB＝CD＝2，
∵∠B'＝∠DC'F＝90°，∠AFB'＝∠DFC'，AB'＝C'D＝CD＝2，
∴△AB'F≌△DC'F（AAS），
∴AF＝DF＝AD＝3，
故选：B．
二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充一个条件 AC＝BD ，就可以根据“ASA”得到△ABC≌△BAD．
【解答】解：补充条件AC＝BD．
理由：在△ABC和△BAD中，
，
△ABC≌△BAD（SAS）．
故答案为：AC＝BD．
14．（3分）若分式的值为0，则m的值为 1 ．
【解答】解：由题意得，，
解得m＝1，
故答案为：1．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝150°，点P，Q分别在边AB，BC上，则AQ+PQ的最小值为 4 ．
【解答】解：作点A关于直线BC的对称点E，连接EB、AE、PE，作EF⊥AB于点F，
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝150°，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣150°）＝15°，
∵BC垂直平分AE，
∴EB＝AB＝8，
∴∠EBC＝∠ABC＝15°，
∴∠ABE＝2∠ABC＝30°，
∵∠BFE＝90°，
∴EF＝EB＝4，
∵EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ＝AQ，
∴AQ+PQ≥EF，
∴AQ+PQ≥4，
∴AQ+PQ的最小值为4，
故答案为：4．
16．（3分）若xm＝4，xn＝6，则x3m﹣n的值为 ．
【解答】解：x3m﹣n＝x3m÷xn＝43÷6＝＝．
故答案为：．
17．（3分）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A，B，C，D都是格点，AB与CD相交于点P，则∠A+∠D＝ 135° ．
【解答】解：如图，过点B作BF∥CD，连接EF，
由勾股定理得：BE＝＝，EF＝，BF＝，
∴BE＝EF，
∵BE2+EF2＝BF2，
∴∠BEF＝90°，
∴∠EBF＝45°，
∴∠APD＝∠EBF＝45°，
∴∠A+∠D＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°．
18．（3分）关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 m≥1且m≠4 ．
【解答】解：原方程去分母得：m﹣4＝x﹣3，
解得：x＝m﹣1，
∵x﹣3≠0，
∴x≠3，
∴m﹣1≠3，
∴m≠4，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴x≥0，即m﹣1≥0，
解得：m≥1，
又∵m≠4，
∴m的取值范围是m≥1且m≠4．
故答案为：m≥1且m≠4．
19．（3分）等腰三角形ABC中，高BD与一腰所夹的锐角是40°，则等腰三角形ABC底角的度数为 50°或65°或25° ．
【解答】解：依题意有以下两种情况：
（1）△ABC为锐角三角形时，
此时又有两种情况：
①当BD是等腰△ABC底边上的高时，如图1所示：

∵BD为等腰三角形底边AC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠A＝90°，
∵高BD与一腰所夹的锐角是40°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠BAD＝50°；
②当BD是等腰△ABC腰上的高时，如图2所示：

∵BD为等腰三角形腰AC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵高BD与一腰所夹的锐角是40°，
∴∠ABD＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°．
（2）当等腰△ABC为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高BD只能是腰上的高，如图3所示：
∵BD为等腰三角形腰AC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵高BD与一腰所夹的锐角是40°，
∴∠ABD＝40°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝130°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣130°）＝25°．
综上所述：等腰三角形ABC底角的度数为50°或65°或25°．
故答案为：50°或65°或25°．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，点F在AB边上，过点D作DE⊥BC，垂足是E，∠FED＝∠B，4∠FDE﹣∠A＝180°．下列结论：①2∠CDE＝∠A；②BC＝BF+CD；③△DEF是等边三角形；④过点D作DM⊥DE，交AB边于点M，若M是AF的中点，DM＝3，则BC＝9．其中正确的是 ①②④ ．
【解答】解：①在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°﹣2∠C，
∵DE⊥BC，
∠CDE＝90°﹣∠C，
∴∠CDE＝2∠A，
故结论①正确；
②设∠B＝∠C＝α，则∠FED＝∠B＝∠C＝α，
∴∠A＝180°﹣2α，
∵4∠FDE﹣∠A＝180°，
∴4∠FDE﹣（180°﹣2α）＝180°，
∴∠FDE＝90°﹣α，
∴∠DFE＝180°﹣（FED+∠FDE）＝180°﹣（α+90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠FDE＝∠DFE，
∴DE＝EF，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE+∠C＝90°，∠BEF+∠FED＝90°，
∵∠C＝∠FED＝α，
∴∠CDE＝∠BEF，
在△CDE和△BEF中，
，
∴△CDE≌△BEF（AAS），
∴CD＝BE，CE＝BF，
∴BC＝CE+BE＝BF+CD，
故结论②正确；
③不妨假设△DEF是等边三角形，
∴∠FED＝60°，
∴∠B＝∠FED＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
根据已知条件，无法判定△ABC是等边三角形，
∴假设是错误的．
故结论③不正确．
④∵DM⊥DE，DE⊥BC，
∴DM∥BC，∠MDE＝90°，
∴∠AMD＝∠B，∠ADM＝∠C，∠MDF+∠FDE＝90°，
∵∠B＝∠C，
∴∠AMD＝∠ADM，
∴△AMD为等腰三角形，
∵△CDE≌△BEF，
∴∠DEC＝∠EFB＝90°，
∴∠EFM＝90°，即∠MFD+∠EFD＝90°，
∵∠FDE＝∠DFE，
∴∠MDF＝∠MFD，
∴DM＝FM＝3，
∵点M是AF的中点，
∴AM＝FM＝DM＝3，
∴△AMD为等边三角形，
∴∠ADM＝∠AMD＝∠A＝60°，AM＝DM＝AD＝3，
∴∠FMD＝120°，
∴∠MDF＝∠MFD＝（180°﹣∠FMD）＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠ADF＝∠ADM+∠MDF＝60°+30°＝90°，
在Rt△ADF中，AF＝AM+FM＝6，AD＝3，
由勾股定理得：FD＝＝，
∵∠AMD＝∠B＝60°，∠ADM＝∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB，
∵∠FED＝∠B＝60°，DE＝EF，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF＝FD＝，
∵∠EFB＝90°，∠B＝90°，
∴∠BEF＝30°，
在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，
∴BE＝2BF，
由勾股定理得：BE2﹣BF2＝EF2，
即（2BF）2﹣BF2＝，
∴BF＝3，
∴AB＝AF+BF＝6+3＝9，
∴BC＝AB＝9．
故结论④正确．
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题（60分）
21．（18分）（1）计算：（﹣1）2024+（）﹣2﹣（π﹣3）0；
（2）计算：（m﹣n）2﹣2m（m﹣n）；
（3）因式分解：a2（x﹣y）+4（y﹣x）；
（4）解分式方程：﹣3＝．
【解答】解：（1）（﹣1）2024+（）﹣2﹣（π﹣3）0
＝1+9﹣1
＝9；
（2）（m﹣n）2﹣2m（m﹣n）
＝m2﹣2mn+n2﹣2m2+2mn
＝n2﹣m2；
（3）a2（x﹣y）+4（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4）
＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）；
（4）﹣3＝，
方程两边都乘x﹣2，得3﹣3（x﹣2）＝1﹣x，
3﹣3x+6＝1﹣x，
﹣3x+x＝1﹣6﹣3，
﹣2x＝﹣8，
x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣2≠0，
所以分式方程的解是x＝4．
22．（6分）先化简：，再从﹣2，﹣1，﹣6，中选择一个适合的数x代入求值．
【解答】解：
＝•
＝
＝
＝，
∵x＝﹣1，﹣2时，原分式无意义，
∴x可以为﹣6或，
当x＝﹣6时，原式＝＝2．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C在格点上．
（1）请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C'；
（2）写出点B'，点C'的坐标，以A'，B，C′为顶点的三角是 等腰直角 三角形；
（3）点P在图中格点上，若△PBC是等腰三角形，则点P的个数是 10个 ．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C'即为所求．
（2）由图可得，B'（﹣3，2），C'（﹣2，﹣1）．
由勾股定理得，A'B＝＝，A'C'＝＝，BC'＝＝，
∴A'B＝A'C'，A'B2+A'C'2＝BC'2，
∴∠BA'C'＝90°，
∴△A'BC'为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
（3）如图，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8，P9，P10均满足题意，
∴点P的个数是10个．
故答案为：10个．
24．（9分）在△ABC中，∠BAC＝∠BCA，D是平面内一点，∠DAB＝∠ABC＝90°，点E在AB边所在直线上，CE⊥BD，垂足是F．
（1）当点E在线段AB上时，如图①，求证：AE+AD＝BC；
（2）当点E在线段BA延长线上时，如图②；当点E在线段AB延长线上时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，AD，BC的数量关系；
（3）如图③，若BF+CF＝6，则S四边形ADFC﹣S△BEF＝ 18 ．
【解答】（1）证明：由题意得，△ABC为等腰直角三角形，则AB＝BC，
∵∠ABD+∠CBF＝90°，∠CBF+∠FCB＝90°，
∴∠ABD＝∠BCF，
∵∠EBC＝∠DBA＝90°，AB＝BC，
∴△EBC≌△DAB（ASA），
∴BE＝AD，
则BC＝AB＝AE+BE＝AE+DA；
（2）解：当点E在线段BA延长线上时，
BC＝AD﹣AE，理由：
由（1）同理可得：△EBC≌△DAB（ASA），
∴BE＝AD，
则BC＝AB＝BE﹣AE＝AD﹣AE；
当点E在线段AB延长线上时，
BC＝AE﹣AD，理由：
由（1）同理可得：△EBC≌△DAB（ASA），
∴BE＝AD，
则BC＝AB＝AE﹣BE＝AE﹣AD；
（3）解：如图③，
设EF＝a，BF＝x，则FC＝6﹣x，
则BC2＝x2+（6﹣x）2，
由（1）同理可得：△EBC≌△DAB（ASA），
则S△EBC＝S△DAB，
则S四边形ADFC﹣S△BEF＝S△EBC+S△DAB+S△ABC﹣2S△BEF
＝2S△EBC+S△ABC﹣2S△BEF
＝（a+6﹣x）x﹣[（6﹣x）2+x2]﹣ax＝ax+6x﹣x2+18﹣6x+x2﹣ax＝18，
故答案为：18．
25．（10分）2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件每件的进价分别是多少元？
（2）若两批“吉祥龙”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥龙”挂件的标价至少是多少元？
【解答】解：（1）设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是x元/件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是（x+4）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意，
∴x+4＝60+4＝64（元/件）．
答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元；
（2）该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的数量是6000÷60＝100（件），
该商场购进第二批“吉祥龙”挂件的数量是12800÷64＝200（件）．
设每件“吉祥龙”挂件的标价是y元，
根据题意得：（100+200﹣50）y+50×0.8y﹣6000﹣12800≥7300，
解得：y≥90，
∴y的最小值为90．
答：每件“吉祥龙”挂件的标价至少是90元．
26．（10分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点B（m，0），C（n，0）在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，BD⊥AC，垂足是D，BD交AO于点E，∠AED﹣∠BAO＝45°，（m+4）2+（n﹣6）2＝0．请解答下列问题：
（1）求点B、点C的坐标；
（2）求线段AE的长；
（3）连接CE．若OE＝2，在坐标轴上是否存在点F，使S△ACF＝S△ACE？若存在，请直接写出点F的个数和其中一个点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵（m+4）2+（n﹣6）2＝0，
则m+4＝0且n﹣6＝0，
解得：m＝﹣4且n＝6，
故点B、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（6，0）；
（2）∵BD是△ABC的高，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
∴∠DAE+∠DEA＝90°．
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DAE+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DEA．
∵∠ACB﹣∠BAO＝45°，
∴∠DEA﹣∠BAO＝45°．
∵∠DEA﹣∠BAO＝∠ABD，
∴∠ABD＝45°．
∵∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝45°，
∴BD＝AD．
在△DBC和△DAE中，
，
∴△DBC≌△DAE（AAS），
∴AE＝BC＝6+4＝10；
（3）由（2）知，AE＝10，
则点A、E的坐标分别为：（0，12）、（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣2x+12，
∵S△ACF＝S△ACE，
故取AE的中点N（0，7），过点N作直线n∥AC，取AM＝AN，过点M（0，17）作直线m∥AC，
则直线m、n和x坐标轴的交点即为点F，故共有4个，为点M、N以及m、n和x轴的交点，
∵n∥AC，则直线n的表达式为：y＝﹣2x+7，
则直线n和坐标轴的交点坐标为：（0，7）、（3.5，0）；
同理可得直线m和坐标轴的交点坐标为：（0，17）、（8.5，0）；
综上，符合条件的点F有4个，坐标为：（0，7）或（3.5，0）或（0，17）或（8.5，0）．