2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题

一、填空题

1．集合的子集个数为________．

【答案】8

【分析】根据子集定义，用列举法列出所有子集，或是利用子集个数的计算公式可计算子集个数．

【详解】方法一、列举法 ，共8个．方法二、一个集合中元素个数为n时，其子集个数为 ，所以集合的子集个数为8．

【点睛】本题考查了集合子集个数的计算方法，属于基础题．

2．将化简为有理数指数幂的形式_______________.

【答案】

【分析】将根式化成指数幂，结合指数幂的公式求解即可.

【详解】.

故答案为：

3．若集合，，则___________.

【答案】

【分析】由得，再由交集的定义即可求出答案.

【详解】由得，所以.

故答案为：.

4．关于的不等式的解集为，则实数________

【答案】

【解析】根据不等式的解集可得，且，由可得结果.

【详解】因为关于的不等式的解集为，

所以，且，所以，得.

故答案为：.

5．命题“”的否定是_________.

【答案】，

【解析】根据全称命题的否定形式，直接求解.

【详解】全称命题“”的否定是“，”.

故答案为：，

6．已知正实数满足，则取到最小值时，______________.

【答案】

【分析】根据基本不等式求解取最值时成立的条件即可.

【详解】，当且仅当时取等号.

又，所以，.

故答案为：

7．某班参加数､理､化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数､理两科的5人，只参加物､化两科的3人，只参加数､化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有______人

【答案】5

【解析】本题首先可根据题意确定只参加数学竞赛、只参加物理竞赛以及只参加化学竞赛的学生人数，然后用学生总数减去参加比赛的学生人数即可得出结果.

【详解】由Venn图表示，A，B，C分别代表参加数学，物理，化学的人，因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加数、化两科的有4名，只参加物、化两科的有3名，分别填入Venn图，

又因为有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，

故只参加数学竞赛的有名，只参加物理竞赛的有名，只参加化学竞赛的有名，

则没有参加任何一科竞赛的学生有名，

故答案为：5.

【点睛】关键点睛：本题考查学生解决实际问题的能力，能否明确题意中给出的各个条件之间的关系及用Venn图表示集合是解题的关键，考查学生的推理能力，体现了综合性，是中档题.

8．写出一个使得命题“任意的，恒成立”是假命题的实数的值____.

【答案】（任意取一个值即可）

【分析】先根据二次表达式恒成立求得，再根据假命题满足的条件判断即可.

【详解】当命题“任意的，恒成立”是真命题时，

，所以，则，

所以当上述命题为假命题时，，任意取一个值即可.

故答案为：（任意取一个值即可）

9．已知“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】分别求解不等式，结合必要非充分条件的取值范围包含关系判断即可.

【详解】解得，解得.

由必要非充分条件的取值范围包含关系可得包含，故且，解得.

故答案为：

10．已知，若关于的方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围为_________.

【答案】

【分析】分情况讨论当，时，结合韦达定理与判别式可得，再根据韦达定理求解即可.

【详解】当时，不成立，舍去；

当时，若关于的方程有两个不相等的正实数根，则由韦达定理，故.又，所以.

由韦达定理得，所以，

因为，所以，所以的取值范围为.

故答案为：

11．已知表示不超过的最大整数，如，，则用列举法表示集合为___________.

【答案】

【分析】，，，，五种情况来讨论.

【详解】①当时，，，所以；

②当时，，，所以；

③当时，，，所以；

④当时，，，所以；

⑤当时，，，所以.

所以.

故答案为：

12．若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】对进行分情况讨论，根据一元二次不等式解的特征可得当时，中的整数个数有有限个，结合不等式即可求解.

【详解】若时，，有无数个整数解；

若，则，

当时，仅当时等号成立，此时或,有无数个整数解；

当时，，仅当时等号成立，此时，

所以，要使A的元素最少，则，

故实数的取值范围是.

故答案为：

二、单选题

13．已知正实数、，“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】C

【分析】根据与的关系即可判断.

【详解】因为、为正实数，所以若成立，则成立；

反之也成立，所以“”是“”的充要条件，

故选：.

14．若非零实数满足， 则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，举例说明判断A，B，D；利用不等式的性质推理判断C作答.

【详解】非零实数满足，取，则，即，A，B不正确；

取，，D不正确；

显然，则由得：，即，C正确.

故选：C

15．若，且，则下列关系式中不可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，根据在单调递增，在单调递减，结合基本不等式可得即可根据选项求解.

【详解】设，，，，

因为，，，所以，

如图，在单调递增，在单调递减，

故当时，单调递增，所以，即，故A正确，

故当时，单调递减，所以，即，故C正确，

当时，如图，即，故B正确，

若，则，若则，所以不可能出现，所以D错误，

故选：D

16．已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（    ）

A．37 B．39 C．48 D．57

【答案】A

【分析】根据题意得到集合的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合中的元素，从而推得的取值范围，由此得解.

【详解】因为集合，

又因为集合中，每个集合恰有个元素，且有个元素，

所以集合中没有重复元素，

因为是集合中数值最小的元素，是集合中数值最大的元素，

所以在的特征数构成中，必有和，不妨设，

要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即，

所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素，

同理，不妨设，接着在中再次放置数值较小的元素，即，

则，

此时有最大值为，即；

要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即，

所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素，

同理，不妨设，接着在中再次放置数值较大的元素，即，

则，

此时有最小值为，即，

综上：，

显然，选项A不满足，故A正确；

选项BCD都满足，故BCD错误.

故选：A.

【点睛】关键点睛：

本题解题的关键在于理解特征数的组成中，一定含有最小数值的元素与最大数值的元素，从而推理得要使取得最值时，中的元素情况，由此得解.

三、解答题

17．已知集合，

(1)求集合；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由二次函数的性质求出集合，根据一元二次不等式的解法求出集合；

（2）由得出，结合包含关系即可求解.

【详解】（1）对于：因为的，且开口向上，所以恒大于0.

所以，即；；

（2）因为，则，则.

18．已知不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）设实数，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）对分、、三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式，可得出不等式的解集；

（2）证法一：由题意得出，，将不等式两边作差得出，由此可得出所证不等式成立；

证法二：利用分析法得出所证不等式等价于，由题意得出，，判断出的符号，可得出所证不等式成立.

【详解】（1）当时，不等式化为：，解得；

当时，不等式化为：，解得；

当时，不等式化为：，解得.

综上可知，；

（2）证法一：因为，，所以，.

而，所以；

证法二：要证，只需证：，

只需证：，

因为，，所以，.

所以成立，所以成立.

【点睛】本题考查利用分类讨论法解绝对值不等式，以及利用分析法和比较法证明不等式，证明时可结合不等式的结构合理选择证明方法，考查分类讨论思想和逻辑推理能力，属于中等题.

19．某渔业公司今年初用98万购进一艘远洋渔船，每年的捕捞可有50万的总收入，已知使用年（为正整数）所需（包括维修费）的各种费用总计为万元.

(1)该船捕捞第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）;

(2)该船捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？

【答案】(1)第3年

(2)7年后平均利润最大为12万

【分析】（1）根据题意列式可得，再求解二次不等式即可；

（2）根据年平均利润表达式结合基本不等式求解即可.

【详解】（1）由题意得

，因为，所以从第3年首次盈利；

（2）由题意得，

因为，所以，当且仅当，

即时取等号，所以7年后平均利润最大，为12万.

20．已知集合，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值.

(1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）；

(2)若集合具有性质，求证：和；

(3)若集合具有性质，求证：.

【答案】(1)具有，不具有

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据性质的定义直接判断即可；

（2）根据性质的定义可得，结合与是集合中的最大值可得，再根据裂项方法证明即可；

（3）先假设，再根据分别推导的最小正整数值，进而推出矛盾即可.

【详解】（1）对集合，因为，，，故

具有性质.

对集合，，故不具有；

（2）因为集合具有性质，所以对于、有；

因为，所以，

因为是集合中的最大值，

则

；

（3）假设集合的元素个数大于，即

因为集合具有性质，所以，因为，所以，

所以，所以，所以，所以，

因为，所以，所以，

以此类推，得，，，，，，，

，所以，

所以，与矛盾，

所以假设不成立，故.

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.