2022-2023学年新疆乌鲁木齐重点中学高一(下)期末数学试卷(含解析)
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一、单选题(本大题共11小题,共55.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量,,若,则( )
A. B. C. D.
3. 以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A. B. C. D.
4. 已知复数满足,则复数( )
A. B. C. D.
5. 已知向量,若,则实数( )
A. B. C. D.
6. 已知角的终边过点,则( )
A. B. C. D.
7. 在中,内角的对边分别为,,已知,,,则等于( )
A. B. C. 或 D.
8. 在正方体中,,,,分别是该点所在棱的中点,则下列图形中,,,四点共面的是( )
A. B.
C. D.
9. 复数满足,为虚数单位,则复数( )
A. B. C. 或 D. 或
10. 若函数对任意都有,则( )
A. 或 B. C. 或 D. 或
11. 在下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
二、多选题(本大题共1小题,共5.0分。在每小题有多项符合题目要求)
12. 设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列四个命题正确的是( )
A. 若,,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13. 已知,则 .
14. 已知是虚数单位,若,则 ______ .
15. 已知正四棱锥的底面边长为,现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得棱台的上、下底面的面积之比为:,若截去的小棱锥的侧棱长为,则此棱台的表面积为______ .
16. 如图,将三个相同的正方形并列,则______.
四、解答题(本大题共5小题,共60.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 本小题分
在中,角,,所对的边分别为,,,若,,.
求的大小;
求的面积.
18. 本小题分
如图,四边形为正方形,平面,,点,分别为,的中点.
Ⅰ证明:平面;
Ⅱ求三棱锥的体积.
19. 本小题分
已知,,.
若,,三点共线,求与满足的关系式;
若,,三点共线,,求点的坐标.
20. 本小题分
已知向量,.
若,,求的值;
若,,求的最大值及相应的值.
21. 本小题分
已知四边形,,,现将沿边折起,使得平面平面,点在线段上,平面将三棱锥分成两部分,::.
求证:平面;
若为的中点,求到平面的距离.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:根据三角函数诱导公式可得,.
故选:.
利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.
本题考查三角函数的诱导公式,属于基础题.
2.【答案】
【解析】解:向量,,若,
由题意可得,
解得.
故选:.
利用向量平行的性质直接求解.
本题考查实数值的求法,考查向量平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
3.【答案】
【解析】解:以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴,
旋转一周所得的旋转体为圆柱,
其底面半径,高,
以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴,
将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为:
.
故选:.
根据题意求出圆柱的底面半径和高,直接求侧面积即可.
本题考查旋转体侧面积的求法,考查旋转体的性质、圆柱侧面积公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
4.【答案】
【解析】解:,
,
故选:.
利用复数的运算性质即可得出.
本题考查复数的运算性质,考查推理能力与计算能力,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:,,
又,且,
,即.
故选:.
由已知求得,再由两向量垂直的坐标运算列式求解值.
本题考查平面向量的坐标运算,是基础题.
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
由条件利用任意角的三角函数的定义,求得和的值,即可求得的值.
【解答】
解:由题意可得、、,
,,
,
故选:.
7.【答案】
【解析】解:由余弦定理可得,,
,
,
故.
故选:.
由已知结合余弦定理即可直接求解.
本题主要考查了余弦定理的简单应用,属于基础试题.
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面的基本事实及推论的应用,四点共面的判断,解题的关键是由三点确定一个平面,再判断另一个点是否在平面内,属于较易题.
选项A,,中,由其中三个点确定一个平面,再判断第四个点是否在该平面内,选项B中通过证明两条直线平行,从而判断得到答案.
【解答】
解:对于选项A,点,,确定一个平面,该平面与底面交于,
而点不在直线上,
故E,,,四点不共面;
对于选项B,连结底面对角线,
则由中位线定理可知,,又,
则,
故E,,,四点共面;
对于选项C,显然,,所确定的平面为正方体的底面,
而点不在该平面内,
故E,,,四点不共面;
对于选项D,如图,取部分棱的中点,顺次连接,可得一个正六边形,
即点,,确定的平面,该平面与正方体正面的交线为,
而点不在直线上,
故E,,,四点不共面.
故选:.
9.【答案】
【解析】解:设,
由,得,
,
即,解得或.
或.
故选:.
设,代入,整理后利用复数相等的条件列式求解与的值,则答案可求.
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题.
10.【答案】
【解析】解:由题意:函数,
,
可知函数的对称轴为,
根据三角函数的性质可知,
当时,函数取得最大值或者最小值.
或
故选:.
利用三角函数的性质求解即可.
本题考查了三角函数对称轴的性质.属于基础题.
11.【答案】
【解析】解:由题意知,选项中,,选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,
故选:.
根据基底的定义可解.
本题考查基底的定义,属于基础题.
12.【答案】
【解析】解:根据题意,依次分析选项:
对于,垂直于同一平面的两条直线平行,A正确;
对于,垂直于同一直线的两个平面平行,B正确;
对于,若,,则与可以相交或平行,C错误;
对于,若,,则与平面相交或平行,D错误.
故选:.
根据题意,由直线与平面平行、垂直的性质依次分析选项是否正确,综合可得答案.
本题考查直线与平面的位置关系,涉及直线与平面平行、垂直的性质,属于基础题.
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用,是一道基础题.
把,代入,运算求得结果.
【解答】
解:,
故答案为.
14.【答案】
【解析】解:,
故.
故答案为:.
根据已知条件,结合复数的四则运算,以及复数模公式,即可求解.
本题主要考查复数的四则运算,以及复数模公式,属于基础题.
15.【答案】
【解析】解:如图,
设截面四边形为,则两四边形相似,
由截面面积与底面积的比值为:,由相似比等于面积比的平方,
可得,
,,
又已知,,取为的中点,连接交,
则为正四棱台的斜高,可得.
此棱台的表面积为.
故答案为:.
由题意画出图形,结合已知求得棱台上底面边长与侧棱长,求出斜高,即可求得棱台的表面积.
本题考查棱台表面积的求法,考查空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力,是中档题.
16.【答案】
【解析】解:设,,
由题意可得,,
故,
因为,,
故,
所以.
故答案为:
设,,由题意可得,,然后由代入即可求解.
本题主要考查了两角和的正切公式的简单应用,属于基础试题.
17.【答案】解:由题意,,,,由正弦定理得,即,
,,.
由知,,又,
.
【解析】根据正弦定理结合三角形面积公式求解即可.
本题考查正弦定理解三角形,属于基础题.
18.【答案】解:Ⅰ证明:取点是的中点,连接,,
则,且,
且,
且,
四边形为平行四边形,,
平面,平面,平面.
Ⅱ三棱锥的体积为:
.
【解析】Ⅰ取点是的中点,连接,,推导出四边形为平行四边形,从而得到,由此能证明平面.
Ⅱ三棱锥的体积为,由此能求出三棱锥的体积.
本题考查线面平行的证明,三棱锥体积的求法,考查运算求解能力,是基础题.
19.【答案】解:因为,,,
所以,
因为,,三点共线,
则,
所以,即,
故与满足的关系式为;
因为,,三点共线,,
则或,
当时,有,解得,;
当时,有,解得,.
所以点的坐标为或.
【解析】由点坐标求出向量的坐标,将三点共线转化为向量共线,由平面向量共线定理求解即可;
由题意可得,或,分别利用向量相等的坐标表示,求出,,即可得到点的坐标.
本题考查了平面向量的坐标运算,三点共线的应用以及向量模的应用,平面向量共线定理的应用,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于基础题.
20.【答案】解:,,
,
,
,
或,
即或,
,
或;
,
,
,
,
故的最大值为,此时.
【解析】利用向量共线得到三角方程,转化为三角函数求值问题,易解;
把数量积转化为三角函数,利用角的范围结合单调性即可得到最大值.
此题考查了向量共线,数量积,三角函数求值等,难度不大.
21.【答案】证明:因为,,所以为等边三角形,
因为::,,
设点到平面的距离为,点到平面的距离为,
所以,
所以,即,所以为的中点,所以,
取的中点,连结,则,
又因为平面平面,平面平面,且平面,
所以平面,因为平面,所以,
又,,,,所以平面,
因为平面,所以,
又因为,,平面,
所以平面;
解:因为为的中点,正三角形的边长为,所以,
由可知平面,又因为为的中点,
所以点到平面的距离为,
连结,由可知,,,
所以,,,
所以,
由可知,平面,平面,所以,
所以,
设点到平面的距离为,
则由等体积法可得,,
所以,
故,
故点到平面的距离为.
【解析】利用体积之比,转化为线段之比,从而得到为的中点,可证,取的中点,连结,则,利用面面垂直的性质定理可得平面,进而证明平面,即可证明得到,由线面垂直的判定定理证明即可;
先求出点到平面的距离为,然后由等体积法,求解即可得到到平面的距离.
本题考查了线面垂直的判定定理的应用以及点到直线距离的求解,主要考查了等体积法的应用,等体积法是求解点到平面的距离的常用方法,属于中档题.
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