2022-2023学年新疆维吾尔自治区塔城地区高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆维吾尔自治区塔城地区高二（下）开学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.过点(1,−1)且斜率为12的直线l的方程是( )
A. 3x+2y−7=0B. 2x+y−4=0C. x−2y−3=0D. x−2y+3=0
2.设P(x,y)满足： x2+(y+2)2+ x2+(y−2)2=5，则P的轨迹为( )
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 不存在
3.顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A. x2=±16yB. x2=16yC. x2=±8yD. x2=8y
4.已知圆M：(x−3)2+(y+4)2=4与圆N：x2+y2=9，则两圆的位置关系为( )
A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离
5.直线l1：ax+2y+a=0与直线l2：2x+ay−a=0互相平行，则实数a=( )
A. −4B. 4C. −2D. 2
6.双曲线x2−y24=1的渐近线方程为( )
A. y=±12xB. y=±2xC. y=± 2xD. y=± 22x
7.“0A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为 2，则p=( )
A. 1B. 2C. 2 2D. 4
9.画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆x26+y2b2=1的蒙日圆为x2+y2=10，则该椭圆的离心率为( )
A. 23B. 13C. 33D. 63
10.双曲线x29−y216=1的左右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上的点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积S=( )
A. 12B. 16C. 20D. 24
11.双曲线C：x24−y23=1与双曲线D：x24−y23=−1具有相同的( )
A. 焦点B. 实轴长C. 离心率D. 渐近线
12.若直线l：x+my−m−2=0与曲线x24−y2=1有且只有一个交点，则满足条件的直线l有( )
A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若过A(4,y)，B(2,−3)两点的直线的倾斜角是45°，则y= ______．
14.以点(2,−1)为圆心且与直线3x−4y+5=0相切的圆的方程为______．
15.已知定点A(4,0)，P是圆x2+y2=4上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是______．
16.已知过点M(1,1)的直线，与椭圆x24+y22=1相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0,−2)，C(−2,3)，求：
(1)直线AB的方程；
(2)AB边上的高所在直线的方程．
18.(本小题12分)
已知圆C过两点M(0,2)，N( 3,1)，且圆心C在直线y=x上．
(Ⅰ)求圆C的方程；
(Ⅱ)过点Q(−1,2)的直线交圆C于A，B两点，当|AB|=2 3时，求直线AB的方程．
19.(本小题12分)
双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知焦距为8，离心率为2，
(1)求双曲线标准方程；
(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程．
20.(本小题12分)
已知椭圆C的焦点在x轴上，且短轴长为4，离心率e= 55．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的右焦点F2且斜率为2的直线交椭圆C于A、B两点，求弦AB的长．
21.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p<0)过点A(−2,−4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB的长度．
22.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形．
(Ⅰ)求椭圆E的离心率；
(Ⅱ)如图，若直线l与椭圆相交于AB且AB是圆(x−1)2+(y+1)2=5的一条直径，求椭圆E的标准方程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：过点(1,−1)且斜率为12的直线l的方程是y−(−1)=12(x−1)，
即x−2y−3=0．
故选：C．
先求出直线的点斜式方程，再化为一般式即可．
本题考查的知识要点：直线方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
2.【答案】B
【解析】解：设F1(0,−2)，F2(0,2)，则|PF1|= x2+(y+2)2，|PF2|= x2+(y−2)2，
由 x2+(y+2)2+ x2+(y−2)2=5，即|PF1|+|PF2|=5，
又|F1F2|=4，所以|PF1|+|PF2|=5>|F1F2|，
根据椭圆的定义可知点P的轨迹是以F1(0,−2)，F2(0,2)为焦点的椭圆．
故选：B．
设F1(0,−2)，F2(0,2)，即可得到|PF1|+|PF2|=5，根据椭圆的定义判断即可．
本题主要考查了椭圆定义的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据顶点在原点，对称轴为y轴，可设抛物线方程为：x2=±2py．
∵顶点到准线的距离为4，
∴p2=4，
∴2p=16，
∴所求抛物线方程为x2=±16y．
故选：A．
根据顶点在原点，对称轴为y轴，可设抛物线方程为：x2=±2py，利用顶点到准线的距离为4，即可求得抛物线方程．
本题考查抛物线的标准方程，解题的关键是定型与定量，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：圆M：(x−3)2+(y+4)2=4的圆心坐标为M(3,−4)，半径为2；
圆N：x2+y2=9，的圆心坐标N(0,0)，半径为3．
由|MN|= 32+(−4)2=5=2+3，
∴两圆的位置关系是外切．
故选：B．
由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系得答案．
本题考查圆与圆位置关系的判定，考查两点间距离公式的应用，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵直线l1：ax+2y+a=0与直线l2：2x+ay−a=0互相平行，
∴a≠0，且2a=a2≠−aa，
则实数a=2，
故选：D．
根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．
本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：双曲线x2−y24=1的渐近线方程为y=±2x．
故选：B．
利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：∵曲线x2t+y21−t=1表示椭圆，
∴t>01−t>0t≠1−t，
∴0∴“0故选：B．
本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．
本题考查充要条件的判断，椭圆的标准方程的形式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】
解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点(p2,0)到直线y=x+1的距离为 2，
可得p2+1 2= 2，解得p=2．
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可知，蒙日圆的半径为r= a2+b2= 6+b2= 10，
所以b2=4，
所以c2=6−4=2，
椭圆的离心率e=ca= 2 6= 33，
故选：C．
根据椭圆中蒙日圆的半径公式，即可求得b和c的值，求得椭圆的离心率．
本题考查椭圆的性质，椭圆中蒙日圆的应用，考查转化思想，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可得双曲线x29−y216=1的a=3，b=4，c=5，
左右焦点分别为F1(−5,0)，F2(5,0)，
设|PF1|=m，|PF2|=n，
由双曲线的定义可得|m−n|=6，
∠F1PF2=90°，
由勾股定理可得
100=m2+n2=(m−n)2+2mn=62+2mn，
∴mn=32．
则△F1PF2的面积S=12mn=12×32=16．
故选：B．
求得双曲线的a，b，c，设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义，可得|m−n|=6，运用勾股定理，由S=12mn，即可求得△F1PF2的面积．
本题主要考察了双曲线的定义、方程和简单性质，注意定义法和勾股定理，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：将双曲线D：x24−y23=−1化为标准方程得D：y23−x24=1，
对于双曲线C：x24−y23=1，a2=4，b2=3，c2=7，焦点坐标为(± 7,0)，实轴长为2a=4，离心率为e= 72，渐近线方程为y=± 32x；
对于双曲线D：y23−x24=1，a2=3，b2=4，c2=7，焦点坐标为(0,± 7)，实轴长为2a=2 3，离心率为e= 7 3= 213，渐近线方程为y=± 32x；
故双曲线C：x24−y23=1与双曲线D：x24−y23=−1具有相同的渐近线．
故选：D．
依次分析两条曲线的焦点，实轴长，离心率，渐近线等即可得答案．
本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】解：直线l：x+my−m−2=0，即m(y−1)+x−2=0恒过点(2,1)，
又双曲线的渐近线方程为y=±12x，
则点(2,1)在其中一条渐近线y=12x上，
又直线与双曲线只有一个交点，
则直线l过点(2,1)且平行于y=−12x或过点(2,1)且与双曲线的右支相切，
即满足条件的直线l有2条．
故选：C．
利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可．
本题考查双曲线的性质，属于基础题．
13.【答案】−1
【解析】解：因为过A(4,y)，B(2,−3)两点的直线的倾斜角是45°，
则直线AB的斜率k=y−(−3)4−2=tan45°=1，解得y=−1．
故答案为：−1．
先由倾斜角可得直线AB的斜率，再由两点连线的斜率公式即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
14.【答案】(x−2)2+(y+1)2=9
【解析】【分析】
本题考查了求点到直线的距离以及圆的方程，是基础题目．
求出圆的半径，写出圆的方程即可．
【解答】
解：圆心为(2,−1)，且圆心到直线3x−4y+5=0的距离为：
d=|6+4+5| 9+16=3，
所以圆的半径为r=d=3，
圆的方程为：(x−2)2+(y+1)2=9．
故答案为(x−2)2+(y+1)2=9．
15.【答案】(x−2)2+y2=1
【解析】解：如图所示，设P(x0,y0)，Q(x,y)，则x02+y02=4，①
因为Q为AP的中点，
所以x0+42=xy0+02=y⇒x0=2x−4y0=2y，②
所以由①②得：(2x−4)2+(2y)2=4，即：(x−2)2+y2=1，
所以点Q的轨迹方程为：(x−2)2+y2=1．
故答案为：(x−2)2+y2=1．
运用相关点法求轨迹方程，设出P、Q两点坐标，表示出两点横纵坐标关系式，代入点P满足的圆的方程即可．
本题主要考查了相关点法在轨迹方程求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】x+2y−3=0
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(1,1)
则x124+y122=1，x224+y222=1，
两式相减，化简可得(y1−y2)(y1+y2)(x1−x2)(x1+x2)=−12，
因为线段AB以点M为中点，
所以x1+x2=2，y1+y2=2，
所以y1−y2x1−x2=−12，即直线AB的斜率为−12，
根据点斜式，得到直线AB的方程为y−1=−12(x−1)，即x+2y−3=0．
故答案为：x+2y−3=0．
用点差法即可求出直线AB的斜率，再用点斜式即可求出直线AB的方程．
本题考查了椭圆的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由已知直线AB的斜率kAB=4−(−2)2−0=3，
∴直线AB的方程为y=3x−2，即3x−y−2=0，
(2)设AB边上的高所在的直线方程为y=−13x+m，由直线过点C(−2,3)，
∴3=23+m，解得m=73，
故所求直线为y=−13x+73，
即x+3y−7=0
【解析】(1)根据斜率公式求出斜率，然后根据点斜式写出直线方程即可．
(2)由(1)以及垂直的条件可知高所在直线方程的斜率，然后根据过点C即可得直线方程．
此题考查了两直线垂直的条件以及斜率公式，熟记条件和公式是解题的关键，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)依题意圆心C在直线y=x上，可设圆C的方程为(x−a)2+(y−a)2=r2(r>0)，
因为圆C过两点M(0,2),N( 3,1)，
所以(0−a)2+(2−a)2=r2( 3−a)2+(1−a)2=r2，解得a=0r2=4，
所以圆C的方程为x2+y2=4；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，圆心C(0,0)，半径r=2，
当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=−1，
圆心C(0,0)到直线AB的距离为1，此时|AB|=2 r2−1=2 3满足题意；
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y−2=k(x+1)，即kx−y+k+2=0，
当|AB|=2 3时，圆心C(0,0)到直线AB的距离d= r2−( 3)2=1，
即有d=|k+2| k2+1=1，解得k=−34，
此时直线AB的方程为y−2=−34(x+1)，即为3x+4y−5=0．
综上，直线AB的方程为x=−1或3x+4y−5=0．
【解析】(Ⅰ)依题意可设圆C的方程为(x−a)2+(y−a)2=r2(r>0)，圆C过两点M(0,2),N( 3,1)，可列方程组求解未知数，从而可得圆C的方程；
(Ⅱ)由弦长|AB|=2 3，可得圆心C(0,0)到直线AB的距离为1，当直线AB的斜率不存在时验证即可，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题知，2c=8ca=2，解得c=4，a=2，所以b= c2−a2= 16−4=2 3，
所以双曲线标准方程为：x24−y212=1．
(2)由(1)知c=4,a=2,b=2 3，双曲线焦点在x轴上，
所以双曲线的顶点坐标为(±2,0)，焦点坐标为(±4,0)，
实轴长2a=4，虚轴长2b=4 3，渐近线方程为y=±2 32x，即y=± 3x．
【解析】(1)根据已知条件列方程求出a，b，c，然后可得标准方程；
(2)根据(1)中a，b，c的值直接写出所求即可．
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)根据题意，设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
∴2b=4，e=ca= 55，
又∵ a2=b2+c2，
∴b=2,a= 5；
∴椭圆C的方程为x25+y24=1；
(2)∵椭圆C的右焦点为F2(1,0)，
∴直线AB的方程为y=2(x−1)；
联立方程y=2(x−1)x25+y24=1，
解得x=0y=−2，或x=53y=43；
∴点A(0,−2)，B(53,43)，
∴弦长|AB|= (53−0)2+(43+2)2=5 53．
【解析】本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应熟练地掌握圆锥曲线的几何性质，并能灵活地应用，是基础题．
(1)设出椭圆C的标准方程，由短轴长与离心率，结合 a2=b2+c2，求出b、a，即得标准方程；
(2)求出直线AB的方程，与椭圆的方程组成方程组，求出点A、B的坐标，计算出弦长|AB|．
21.【答案】解：(1)∵y2=2px(p<0)过点A(−2,−4)，
∴−4p=16，解得：p=−4，
∴抛物线C：y2=−8x，准线方程为：x=2；
(2)由(1)知：抛物线焦点为(−2,0)，
因为直线倾斜角为60°，
所以设直线AB：y= 3(x+2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y= 3(x+2)y2=−8x得：3x2+20x+12=0，
∴x1+x2=−203，
∴|AB|=|x1+x2+p|=|−203−4|=323．
【解析】(1)将A点代入抛物线方程即可求得C的方程，由抛物线方程可得准线方程；
(2)设AB：y= 3(x+2)，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果．
本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题，
22.【答案】解：(Ⅰ)由题意得椭圆上的点P(a2,a2)，
代入椭圆方程可得：14+a24b2=1，即a2=3b2，
∴a2=3b2=3(a2−c2)，
∴2a2=3c2，
∴e= 63．
(Ⅱ)设椭圆方程为：x23b2+y2b2=1，
直线AB为：y=k(x−1)−1，A(x1,y1)，B(x2,y2).
联立y=k(x−1)−1x2+3y2=3b2，化为：(3k2+1)x2−6k(k+1)x+3(k+1)2−3b2=0(*)，
∴x1+x2=6k(k+1)3k2+1，x1x2=3(k+1)2−3b23k2+1，
由中点坐标公式可得x1+x2=2，解得k=13，
∴∴x1x2=16−9b24，
则|AB|= 1+k2 (x1+x2)2−4x1x2= 103⋅ 4−4×16−9b24=2 5，
∴b2=103，∴a2=10，
椭圆方程为：x210+3y210=1．
【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
(Ⅰ)由题意得椭圆上的点P(a2,a2)，代入椭圆方程可得：14+a24b2=1，即a2=3b2，又a2=b2+c2.联立解出即可得出．
(Ⅱ)设椭圆方程为：x23b2+y2b2=1，直线AB为：y=k(x−1)−1，A(x1,y1)，B(x2,y2).与椭圆方程可得：(3k2+1)x2−6k(k+1)x+3(k+1)2−3b2=0，利用中点坐标公式、根与系数的关系可得k，可得|AB|= 1+k2 (x1+x2)2−4x1x2=2 5，解出即可得出．