2024年陕西省中考数学模拟试卷53

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷53，共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.的绝对值是
A． B. C．2 D．
2.如图图形中的轴对称图形是（ ）
3.一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（ ）
A．105°B．100°
C．75°D．60°
4.下列计算，正确的是（ ）
A．a2＋a2＝a4B．(a＋b) 2＝a2＋b2C．(a3)3＝a9D．a3·a2＝a6
5.若点在一次函数的图象上，则点一定不在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10B．5
C．4D．3
7.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个
C．2个D．1个
8.如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为．下列结论：①是直角三角形；②点、、不在同一条直线上；③；④；⑤点是外接圆的圆心，其中正确的个数为
A．2个B．3个
C．4个D．5个
填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算147−28的结果是 ．
10.八边形的内角和为 °．
11.若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________．
12.已知抛物线．设点，在抛物线上，若，则m的取值范围 ．
13.如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是 ．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.计算：8−2sin30°﹣|1−2|+（12）﹣2﹣（π﹣2020）0．
15.解不等式组．
16.化简．
17.如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
18.如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．
19.现有、、三个不透明的盒子，盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，盒中装有红球、黄球各1个，盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从、、三个盒子中任意摸出一个球．
（1）从盒中摸出红球的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．
20.某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共多少间？
21.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）
22.为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，小时（含2小时），小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．
（1）本次调查共随机抽取了 名中学生，其中课外阅读时长“小时”的有 人；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数为 ；
（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
23.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
（1）求证：∠A＝∠DOB；
（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
25. 已知二次函数的表达式为.
（1）若这个二次函数的图象与轴交于点，点，求实数的值；
（2）若是有一个内角为的直角三角形，为直角，是方程的两个根，求实数的值.
26.如图，已知等边的边长为8，点是边上的一个动点（与点、不重合）．直线1是经过点的一条直线，把沿直线1折叠，点的对应点是点．
（1）如图1，当时，若点恰好在边上，则的长度为 ；
（2）如图2，当时，若直线，则的长度为 ；
（3）如图3，点在边上运动过程中，若直线1始终垂直于，的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当时，在直线1变化过程中，求面积的最大值．
2024 年陕西省中考数学试卷
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1.的绝对值是
A． B. C．2 D．
【答案】C
【解析】负数的绝对值等于它的相反数，即，故选C．
【知识点】绝对值
2.如图图形中的轴对称图形是（ ）
【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形，故选B．
【知识点】轴对称图形
3.一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（ ）
A．105°B．100°C．75°D．60°
【答案】A
【解析】解：由题意知∠E＝45°，∠B＝30°，
∵DE∥CB，
∴∠BCF＝∠E＝45°，
在△CFB中，
∠BFC＝180°﹣∠B﹣∠BCF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故选：A．
【知识点】平行线的性质
4.下列计算，正确的是
A．a2＋a2＝a4B．(a＋b) 2＝a2＋b2C．(a3)3＝a9D．a3·a2＝a6
答案：C
解析：本题考查了整式的有关计算，∵；；；，故本题选C.
5.若点在一次函数的图象上，则点一定不在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】解：，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．
点在一次函数的图象上，
点一定不在第三象限．
故选：C．
【知识点】一次函数的图象
6.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10B．5C．4D．3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解析】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
7.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．
【解析】①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；
故选：B．
8.如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为．下列结论：①是直角三角形；②点、、不在同一条直线上；③；④；⑤点是外接圆的圆心，其中正确的个数为
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解析】解：∵沿着折叠，点的对应点为，
∴，
∵再沿着折叠，使得与重合，折痕为，
，
，
，
是直角三角形；故①正确；
∵沿着折叠，点的对应点为，
，
∵再沿着折叠，使得与重合，折痕为，
，
，
∴点、、在同一条直线上，故②错误；
，
∴设，则，
∵将矩形对折，得到折痕；
，
，
，，
，
，
，
，
∴，
，故③错误；
，
，
∴，
，故④，
，，，
，
，
，
，
，
∵，
∴点是外接圆的圆心，故⑤正确；
故选．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的外接圆与外心；矩形的性质；直角三角形的性质
填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算147−28的结果是 ．
【答案】0
【解析】解：原式＝27−27=0．
【知识点】二次根式的混合运算
10.八边形的内角和为 °．
【答案】1080°
【解析】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．
【知识点】多边形内角与外角
11.若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________．
【答案】
【分析】利用正比例函数解析式求出交点的横坐标，再将交点的坐标代入反比例函数解析式中求出k即可得到答案.
【解析】令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为，将点（1,2）代入，得，
∴反比例函数的解析式为，故答案为：.
【点睛】此题考查函数图象上点的坐标，函数图象的交点坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，正确计算解答问题.
12.已知抛物线．设点，在抛物线上，若，则m的取值范围 ．
【答案】当a＞0时，；当a＜0时，或．
【分析】根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．
【解析】∵抛物线的对称轴为，∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，则m＜-1或m＞3.
【点睛】本题考查了二次函数对称轴，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．
13.如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是 ．
【答案】3
【解析】解：如图，
过点作交的延长线于，
，，
，
，
，
，
最大时，最大，
四边形是矩形，
，，
过点作于，交于，并延长交于，
是的切线，
，
在中，，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，
在中，，
而，
最大时，最大，
最大时，最大，
，
即：最大时，最大，
延长交于，此时，最大，
，
过点作交的延长线于，
最大时，点落在点处，
即：最大，
在△中，，
，
最大值为，
故答案为3．
【知识点】矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.计算：8−2sin30°﹣|1−2|+（12）﹣2﹣（π﹣2020）0．
【分析】先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解析】原式＝22−2×12−（2−1）+4﹣1
＝22−1−2+1+4﹣1
=2+3．
15.解不等式组．
【解析】，
解①得：x>-1，
解②得：x≤2，
则不等式组的解集是：-116.化简．
【思路分析】先做括号里面，再把除法转化成乘法，计算得结果．
【解题过程】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
17.如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析.
【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．
【详解】解：如图，点M即为所求，
作法：如解图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于、两点，再分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接；以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于、，连接，则的延长线与的延长线的交点即为所求的点.
【点睛】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．
18.如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．
【思路分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
【解题过程】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BD＝CE，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝EC，
∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，
∴△ADF≌△CEF（ASA）．
【知识点】全等三角形的判定；平行四边形的判定
19.现有、、三个不透明的盒子，盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，盒中装有红球、黄球各1个，盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从、、三个盒子中任意摸出一个球．
（1）从盒中摸出红球的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．
【思路分析】（1）从盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，由概率公式即可得出结果．
【解题过程】解：（1）从盒中摸出红球的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，
摸出的三个球中至少有一个红球的概率为．
【知识点】概率
20.某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共多少间？
【答案】18．
【分析】
根据客房数×相应的收费标准=1310元列出方程并解答．
【详解】
解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房间，由题意，得：
+=1310，
解得：x=10，
则：=8，
所以，这个旅游团住了三人间普通客房10间，住了两人间普通客房8间，共18间．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出等式方程是解题关键．
21.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据锐角三角函数即可求出新建管道的总长度．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，
∴AD＝CD，
∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=CDBD，
∴CD7−CD≈0.40，
∴CD＝2，
∴AD＝CD＝2，
BD＝7﹣2＝5，
∴AC＝22≈2.83，
BC=CDsin22°≈20.37≈5.41，
∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．
答：新建管道的总长度约为8.2km．
22.为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，小时（含2小时），小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．
（1）本次调查共随机抽取了 名中学生，其中课外阅读时长“小时”的有 人；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数为 ；
（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
【思路分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数和课外阅读时长“小时”的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数；
（3）根据统计图的数据可以计算出该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
【解题过程】解：（1）本次调查共随机抽取了：（名中学生，
其中课外阅读时长“小时”的有：（人，
故答案为：200，40；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数为：，
故答案为：144；
（3）（人，
答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．
【知识点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图
23.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并计算出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到甲进水管的进水速度，从而可以求得单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时．
【解析】（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b，
b=1002k+b=380，
解得，k=140b=100，
即y与t的函数关系式是y＝140t+100，
同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）；
（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．
∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的34，
∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h，
∴甲进水口的进水速度为：140÷（34+1）×34=60（m3/h），
480÷60＝8（h），
即单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
（1）求证：∠A＝∠DOB；
（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
解析：本题考查了圆的基本性质和切线的判定，解题的关键是连接BC构造垂直定理的基本形.
（1）连接BC，构造垂径定理的基本图形，利用直径所对圆周角是直角等知识来解决问题；（2）利用垂直于半径的外端的直线是圆的切线来进行计算.
答案：解：（1）连接BD，∵D是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴OD∥AE，
∴∠A=∠DOB.
第24题图
（2）DE是⊙O的切线.
∵BC⊥AE，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵OD⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线.
25. 已知二次函数的表达式为.
（1）若这个二次函数的图象与轴交于点，点，求实数的值；
（2）若是有一个内角为的直角三角形，为直角，是方程的两个根，求实数的值.
思路分析：（1）待定系数法，（2）利用特殊角三角函数值和判别式计算
解：（1）y=x2+mx+n过点A(1，0)，点B（3，0）
∴，解得：
当A=30°，B=60°时，sinA=sin30°=，csB=cs60°=，∴sinA=csB
则，解得
当A=60°，B=30°，sinA=sin60°=，csB=cs30°=，∴sinA=csB
则解得
故m，n取值为或
26.如图，已知等边的边长为8，点是边上的一个动点（与点、不重合）．直线1是经过点的一条直线，把沿直线1折叠，点的对应点是点．
（1）如图1，当时，若点恰好在边上，则的长度为 ；
（2）如图2，当时，若直线，则的长度为 ；
（3）如图3，点在边上运动过程中，若直线1始终垂直于，的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当时，在直线1变化过程中，求面积的最大值．
【思路分析】（1）证明是等边三角形即可解决问题．
（2）如图2中，设直线交于点．连接交于．证明是等边三角形，求出即可解决问题．
（3）如图3中，结论：面积不变．证明即可．
（4）如图4中，当时，的面积最大，设直线交于，求出即可解决问题．
【解题过程】解：（1）如图1中，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为4．
（2）如图2中，设直线交于点．连接交于．
，
，，
是等边三角形，
，
，关于对称，
，
，
．
故答案为．
（3）如图3中，结论：面积不变．
，关于直线对称，
直线，
直线，
，
．
（4）如图4中，当时，的面积最大，
设直线交于，
在中，，，
，
，
．
【知识点】等边三角形的性质和判定，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定和性质