2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语中学九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语中学九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  我国古代数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设头牛两银子，只羊两银子，则可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，正方形的边长为，直线经过正方形的中心，并能绕着转动，分别交、边于、点，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则长的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

10.  ______．

11.  甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人次射击成绩的平均数都是环，方差分别为，，则两人射击成绩比较稳定的是______ 填“甲”或“乙”．

12.  如图，平行四边形中，为延长线上的一点，且，交于点若，则的长为        ．

13.  如图，河坝横断面迎水坡的坡比是：坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比，水平宽度，则坡面的长度是        米

14.  将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为        ．

15.  如图，将边长为的正六边形铁丝框变形为以点为圆心，为半径的扇形忽略铁丝的粗细则所得扇形阴影部分的面积为______．
 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

16.  解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
已知，求代数式的值．

19.  本小题分
某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．

在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是______ ；
请补全条形统计图；
若该校九年级共有学生人，则估计该校“良好”的人数是______ ；
已知“不及格”的名学生中有名男生、名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，且，与反比例函数的图象交于，两点．
求该反比例函数的解析式；
求的面积；
请根据图象直接写出不等式的解集．

21.  本小题分
年北京冬季奥运会在北京市和张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售个，每个盈利元，在每个降价幅度不超过元的情况下，每下降元，则每天可多售件如果每天要盈利元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？

22.  本小题分
如图，在菱形中，，，点是边上的一个动点，连接，点在边的延长线上，且，连接交于点，连接．
当点是的中点时，求的长；
在的条件下，求的长；
当时，求线段的长．

23.  本小题分
我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点，如点，点．
函数的双语点是        ；
函数为常数，目上是否存在双语点？若存在，求出双语点的坐标，若不存在，请说明理由；
函数的图象上只有唯一一个双语点，且当时，的最小值为，求实数的值．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点是射线上一点，，点是轴正半轴上一点，，连接，经过点且与相切于点，与边相交于另一点．
若圆心在轴上，求的半径；
若圆心在轴的上方，且圆心到轴的距离为，求的半径；
在的条件下，若，点是经过点，，的抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，若满足的点共有个，求点的横坐标的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
利用相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层是三个相邻的小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识．注意主视图是指从物体的正面看物体得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，
，，
解得，，
．
故选：．
首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得，，分别求出、的值，再代入即可得到答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
 

5.【答案】 

【解析】解：头牛，只羊共两银子，
；
头牛，只羊共两银子，
．
可列方程组为．
故选：．
根据“头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，根据题意可知为直角，直尺的两条边平行，

，，
，
，
故选：．
如图，易知三角板的为直角，直尺的两条边平行，则可得的对顶角和的同位角互为余角，即可求解．
本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．
 

7.【答案】 

【解析】解：反比例函数中的，
该双曲线经过第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，
点，在反比例函数的图象上，且，
点位于第三象限，点位于第一象限，
．
故选：．
先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出、所在的象限即可得到答案．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是直径，
，
，
，
，
故选：．
首先利用直径所对的圆周角是直角确定，然后根据求得的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接、，交于点，

由题意可知，经过点，取中点，连接，，
四边形是正方形，
，，
，
．
．
，
在中，是的中点，
．
．
当，，三点共线时，．
故选：．
连接、，交于点，由题意可知，经过点，取中点，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
本题主要考查了正方形的性质，点与圆的关系，直角三角形斜边上的中线等知识点，取中点，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了立方根的概念，解题关键是掌握立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数就是的立方根．注意负数的立方根是负数．因为的立方是，所以的值为．
【解答】
解：．
故答案为．  

11.【答案】乙 

【解析】解：，，
，
两人射击成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．
此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据四边形是平行四边形，得到，从而得到∽，即可得到答案．
本题考查平行四边形性质及三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据平行四边形得到相似的条件．
 

13.【答案】 

【解析】解：河坝横断面迎水坡的坡比是：，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
由坡度的定义求出的长，再由勾股定理求出的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题以及勾股定理，熟练掌握坡度的概念是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为．
故答案为：
二次函数化为顶点式，再利用平移变换的性质求解．
本题主要考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数平移的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：正六边形的边长为，
，
的长，
扇形阴影部分的面积．
故答案为：．
由正六边形的性质得出的长，由扇形的面积弧长半径，即可得出结果．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：方程两边同乘，得
，
，
，
．
检验：当时，．
是原分式方程的解． 

【解析】本题主要考查分式方程的解法：
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
解分式方程一定注意要验根．
观察可得方程最简公分母为方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式
，
，
，
原式． 

【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把已知等式变形，代入即可．
本题考查的是整式的化简求值，灵活运用整体思想、掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】 

人
画树状图如图：

共有种等可能的结果，抽到两名男生的结果有种，
抽到两名男生的概率为． 

【解析】解：
在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：，故答案为：；

这次调查的人数为：人，则及格的人数为：人，

估计该校“良好”的人数为：人，故答案为：人；

见答案

由乘以“优秀”的人数所占的比例即可；
求出这次调查的人数为：人，得出及格的人数，补全条形统计图即可；
由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，抽到两名男生的结果有种，则由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

20.【答案】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，且，
令，解得：，
，则，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
将点，代入，
得，，
解得：，，
，，
将代入得，
，
反比例函数的关系式为．
，，，
．
根据函数图象可知，不等式的解集就是一次函数的图象在反比例函数图象上方时，相应的的取值范围，
或． 

【解析】根据一次函数解析式求得点的坐标，根据，得出的坐标，继而得出直线解析式，将点，的坐标代入得出，的值，将代入反比例函数解析式即可求解；
由，，，根据三角形面积公式即可求解．
根据函数图象，不等式的解集就是一次函数的图象在反比例函数图象上方时，得出相应的的取值范围，即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，三角形面积公式，掌握以上知识是解题的关键．
 

21.【答案】解：设该工厂平均每月生产量的增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该工厂平均每月生产量的增长率为．
解：设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：每个“冰墩墩”应降价元． 

【解析】设该工厂平均每月生产量增长率为，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量该工厂平均每月生产量的增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：连接，如图，

四边形是菱形，
．
，
为等边三角形，
．
点是的中点，
，．
；
，，
．
．
，
．
在和中，
．
≌．
．
．
延长交于点，连接，，如图，

，
∽，
．
同理：．
．
，
．
四边形是菱形，
，，
为等边三角形，
，．
．
．
，
．
．
．
．
．
． 

【解析】连接，利用菱形的性质与已知条件可得为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质可得，利用勾股定理可求结论；
通过证明≌，可得点为的中点，利用勾股定理可求结论；
延长交于点，连接，，利用相似三角形的性质可得点为的中点，利用菱形的性质与已知条件可得为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质可得，利用勾股定理可求，则可得，利用比例式求得线段的长，则．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一的性质解答是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：依题意，，
解得：，
函数的双语点是：，
故答案为：；
依题意，，
即，
，
当时，解得：或，
当时，无解，
和；
当时，有两个双语点，分别为和；
当时，不存在双语点；
依题意，，
整理得，，
函数的图象上只有唯一一个双语点，
有相等的两个实数根，
，
，
，
对称轴为直线，开口向上，
当，时，，
即时，解得：，
当时，则当时，取得最小值，
的最小值为，
，
即，
，
原方程无解，
当时，则当时，取得小值，
，
即，
解得：或舍去，
综上所述：或．
根据题意，联立，即可求解；
根据题意，联立，即可求解；
根据题意，转化为二次函数与一次函数的交点问题，即有相等的两个实数根，得出，进而根据二次函数的性质，分类讨论即可求解．
本题考查了一次函数交点问题，反比例函数与一次函数交点，二次函数与一次函数交点问题，理解新定义，掌握一次函数，二次函数，反比例函数的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：圆心在轴上，经过点且与相切于点，
轴，为直径，
，，
，
在中，．
．
的半径为；
如图所示，过点作轴于点，连接，

是的切线，
，则，
轴，轴，
，，
，
∽，
，
，，
，
，
设，
，
，
解得：或，
或，
或．
或，
半径为或．

，
，，
，
，设，
，
，
解得：或，
，
设抛物线解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
，
点可能在点的左边或点的右边，，
则，
设直线：或，
联立，，
得或，
当或，
解得：或，
直线：或，
令，解得：或，
或． 

【解析】圆心在轴上，经过点且与相切于点，得出轴，为直径，由得出，根据勾股定理求得直径，进而即可求解；
构造一线三垂直可得∽，设，继而得出或，即可求解．
先求点，抛物线为，点可能在点的左边或点的右边，直线：或，临界状态为直线与抛物线相切得到或，故或．
本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的相关知识及与圆有关的性质和计算是解题的关键．