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2020年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学中考数学二模试卷（解析版）
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这是一份2020年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学中考数学二模试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
2．（3分）与30°的角互为余角的角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．70° D．90°
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣6，3） C．（﹣2，7） D．（﹣2．﹣1）
4．（3分）计算下列代数式，结果为x5的是（ ）
A．x2+x3 B．x•x5 C．x6﹣x D．2x5﹣x5
5．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
6．（3分）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．31° B．28° C．62° D．56°
8．（3分）如图图形中的轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（ ）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
11．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
12．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的个数是（ ）
①AM平分∠CAB；
②AM2＝AC•AB；
③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；
④若AC＝3，BD＝1，则有．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）函数的自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）64的立方根为 ．
15．（3分）2019年5月28日，我国“科学”号远洋科考船在最深约为11000m的马里亚纳海沟南侧发现了近10片珊瑚林．将11000用科学记数法表示为 ．
16．（3分）八边形的内角和为 °．
17．（3分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是 ．
18．（3分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19．（6分）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°﹣+|1﹣|．
20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示：
21．（8分）某农场学校积极开展阳光体育活动，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，限德阳中提供的信息，回答下列问题．
（1）九年级（1）班学生人数为 ，扇形图中的m＝ ，补全两个统计图；
（2）求这个班的学生投中次数的平均数、中位数和极差；
（3）在4名投中1次的人中，有男生2人，女生2人，求从这4人中随机抽出3人，刚好是2名男生1名女生的概率．
22．（8分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：
（1）观众区的水平宽度AB；
（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）
23．（9分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
24．（9分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值．
25．（10分）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”．
例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为
“3型闭函数”．
（1）①已知一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k型闭函数”，则k的值为 ；
②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，则a的值为 ；
（2）反比例函数y＝（k＞0，．a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b＝，请求a2+b2的值；
（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，求k的取值范围．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解．
【解答】解：因为|﹣2|＝2，
故选：C．
2．（3分）与30°的角互为余角的角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．70° D．90°
【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案．
【解答】解：与30°的角互为余角的角的度数是：60°．
故选：B．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣6，3） C．（﹣2，7） D．（﹣2．﹣1）
【分析】把点（﹣2，3）的横坐标加4，纵坐标不变得到点（﹣2，3）平移后的对应点的坐标．
【解答】解：点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（2，3）．
故选：A．
4．（3分）计算下列代数式，结果为x5的是（ ）
A．x2+x3 B．x•x5 C．x6﹣x D．2x5﹣x5
【分析】根据合并同类项的法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：A、x2与x3不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意；
B、x•x5＝x6，故选项B不合题意；
C、x6与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意；
D、2x5﹣x5＝x5，故选项D符合题意．
故选：D．
5．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故此选项错误；
C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误；
D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．
故选：D．
6．（3分）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1＜x＜3，3≤x＜6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．
【解答】解：当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当1＜x＜3时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2；
当3≤x＜6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）．
所以x的值为2．
故选：A．
7．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．31° B．28° C．62° D．56°
【分析】先利用互余计算出∠FDB＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD＝∠FDB＝28°，接着根据折叠的性质得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∵∠FDB＝90°﹣∠BDC＝90°﹣62°＝28°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠FDB＝28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°，
∴∠DFE＝∠FBD+∠FDB＝28°+28°＝56°．
故选：D．
8．（3分）如图图形中的轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：B．
9．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（ ）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，再将k值分别代入原方程，取使得原方程有实数根的k值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
当k＝2时，原方程为x2﹣x＝0，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，k＝2符合题意；
当k＝﹣2时，原方程为x2+3x+4＝0，
∴△＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴该方程无解，k＝﹣2不合题意，舍去．
∴k＝2．
故选：D．
11．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2
故选：C．
12．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的个数是（ ）
①AM平分∠CAB；
②AM2＝AC•AB；
③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；
④若AC＝3，BD＝1，则有．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM可得∠OAM＝∠AMO，故①正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出②正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，则用弧长公式可求出的长为，故③错误；由BD∥AC可得PB＝PA，则PB＝OB＝OA，得出∠OPM＝30°，则PM＝2，可得出CM＝DM＝DP＝，故④正确．
【解答】解：连接OM，
∵PE为⊙O的切线，
∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴OM∥AC，
∴∠CAM＝∠AMO，
∵OA＝OM，
∠OAM＝∠AMO，
∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，
∴△ACM∽△AMB，
∴，
∴AM2＝AC•AB，故②正确；
∵∠APE＝30°，
∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴的长为，故③错误；
∵BD⊥PC，AC⊥PC，
∴BD∥AC，
∴，
∴PB＝PA，
∴PB＝AB，BD＝OM，
∴PB＝OB＝OA，
∴在Rt△OMP中，OM＝2BD＝2，
∴OP＝4，
∴∠OPM＝30°，
∴PM＝2，
∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）函数的自变量x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据被开方数非负列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
14．（3分）64的立方根为 4 ．
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：64的立方根是4．
故答案为：4．
15．（3分）2019年5月28日，我国“科学”号远洋科考船在最深约为11000m的马里亚纳海沟南侧发现了近10片珊瑚林．将11000用科学记数法表示为 1.1×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将11000用科学记数法表示为：1.1×104．
故答案为：1.1×104．
16．（3分）八边形的内角和为 1080 °．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．
【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
17．（3分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是 160厘米 ．
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：数据160出现了4次，最多，
所以众数为160厘米，
故答案为：160厘米．
18．（3分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 k＜3 ．
【分析】根据y＝kx+b，k＜0，b＞0时，函数图象经过第一、二、四象限，则有k﹣3＜0即可求解；
【解答】解：y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3；
故答案为k＜3；
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19．（6分）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°﹣+|1﹣|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2×﹣4+﹣1
＝1﹣﹣4+﹣1
＝﹣4．
20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示：
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21．（8分）某农场学校积极开展阳光体育活动，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，限德阳中提供的信息，回答下列问题．
（1）九年级（1）班学生人数为 40 ，扇形图中的m＝ 45 ，补全两个统计图；
（2）求这个班的学生投中次数的平均数、中位数和极差；
（3）在4名投中1次的人中，有男生2人，女生2人，求从这4人中随机抽出3人，刚好是2名男生1名女生的概率．
【分析】（1）根据总数＝频数÷百分比进行计算即可；利用总数减去投中0次，1次，3次的人数可得投中2次的人数，再根据百分比＝频数÷总数×100%可得投中2次、3次的百分比，再补全图形即可；
（2）根据加权平均数、中位数、极差的定义计算即可；
（3）列出从2男、2女这4人中随机抽出3人可能产生的结果，根据概率公式计算即可得．
【解答】解：（1）九年级（1）班学生人数：2÷5%＝40（人）；
投中两次的人数：40﹣2﹣12﹣8＝18（人），m＝18÷40×100＝45，8÷40×100%＝20%．
补全统计图如图：
（2）平均数为：＝1.8（次），
中位数为：＝2（次），
极差为：3﹣0＝3（次）；
（3）将四名学生分别即为：男1、男2、女1、女2，
从这4人中随机抽出3人有：男1、男2、女1；男1、男2、女2；男1、女1、女2；男2、女1、女2，这4种等可能结果；
其中刚好是2名男生1名女生的结果有2种，
故从这4人中随机抽出3人，刚好是2名男生1名女生的概率为＝．
故答案为：（1）40，45．
22．（8分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：
（1）观众区的水平宽度AB；
（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）
【分析】（1）根据坡度的概念计算；
（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，
∴AB＝2BC＝20（m），
答：观众区的水平宽度AB为20m；
（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，
则四边形MFBC、MCDN为矩形，
∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，
在Rt△END中，tan∠EDN＝，
则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，
∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），
答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．
23．（9分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用＝甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，
根据题意得：﹣＝3，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＝×40＝60．
答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
根据题意得：7m+5×≤145，
解得：m≥10．
答：至少安排甲队工作10天．
24．（9分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值．
【分析】（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD＝90°，从而可知∠CBG＝∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG＝DE；
（2）设CG＝1，从而知CG＝CE＝1，由勾股定理可知：DE＝BG＝，由易证△ABH∽△CGH，所以，从而可求出HG的长度，进而求出的值．
【解答】解：（1）∵BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°，
∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，
∴∠CBG＝∠CDE，
在△BCG与△DCE中，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG＝DE，
（2）设CG＝1，
∵G为CD的中点，
∴GD＝CG＝1，
由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG＝CE＝1，
∴由勾股定理可知：DE＝BG＝，
∵sin∠CDE＝＝，
∴GF＝，
∵AB∥CG，
∴△ABH∽△CGH，
∴＝，
∴BH＝，GH＝，
∴＝
25．（10分）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”．
例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为
“3型闭函数”．
（1）①已知一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k型闭函数”，则k的值为 2 ；
②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，则a的值为 1或﹣1 ；
（2）反比例函数y＝（k＞0，．a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b＝，请求a2+b2的值；
（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，求k的取值范围．
【分析】（1）①直接利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；
②分两种情况：利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；
（2）先判断出函数的增减性，利用“k型闭函数”的定义得出ab＝1，即可得出结论；
（3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；
【解答】解：（1）①一次函数y＝2x﹣1，当1≤x≤5时，1≤y≤9，
∴9﹣1＝k（5﹣1），
∴k＝2，
故答案为：2；
②当a＞0时，
∵1≤x≤5，
∴a﹣1≤y≤5a﹣1，
∵函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，
∴（5a﹣1）﹣（a﹣1）＝5﹣1，
∴a＝1；
当a＜0时，（a﹣1）﹣（5a﹣1）＝5﹣1，
∴a＝﹣1；
故答案为：1或﹣1；
（2）∵反比例函数y＝，
∵k＞0，
∴y随x的增大而减小，
当a≤x≤b且1＜a＜b是“1型闭函数”，
∴﹣＝k（b﹣a），
∴ab＝1，
∵a+b＝，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2020﹣2×1＝2018；
（3）∵二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，
∴当x＝﹣1时，y＝a2﹣4a﹣3，
当x＝1时，y＝a2+8a﹣3，
当x＝a时，y＝4a2+2a，
①如图1，当a≤﹣1时，
当x＝﹣1时，有ymax＝a2﹣4a﹣3，
当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3
∴（a2﹣4a﹣3）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，
∴k＝﹣6a，
∴k≥6，
②如图2，当﹣1＜a≤0时，
当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，
当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3
∴（4a2+2a）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，
∴k＝（a﹣1）2，
∴≤k＜6；
③如图3，当0＜a≤1时，
当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，
当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3
∴（4a2+2a）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，
∴k＝（a+1）2，
∴＜k≤6，
④如图4，当a＞1时，
当x＝1时，有ymax＝a2+8a﹣3，
当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3
∴（a2+8a﹣3）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，
∴k＝6a，
∴k＞6，
即：k的取值范围为k≥．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3 ，抛物线的顶点坐标为 （﹣1，4） ；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；
（2）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×＝2，即可求解；
（3）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；
（4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×＝2，
yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；
（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）；
（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
2020年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
2．（3分）与30°的角互为余角的角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．70° D．90°
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣6，3） C．（﹣2，7） D．（﹣2．﹣1）
4．（3分）计算下列代数式，结果为x5的是（ ）
A．x2+x3 B．x•x5 C．x6﹣x D．2x5﹣x5
5．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
6．（3分）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．31° B．28° C．62° D．56°
8．（3分）如图图形中的轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（ ）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
11．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
12．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的个数是（ ）
①AM平分∠CAB；
②AM2＝AC•AB；
③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；
④若AC＝3，BD＝1，则有．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）函数的自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）64的立方根为 ．
15．（3分）2019年5月28日，我国“科学”号远洋科考船在最深约为11000m的马里亚纳海沟南侧发现了近10片珊瑚林．将11000用科学记数法表示为 ．
16．（3分）八边形的内角和为 °．
17．（3分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是 ．
18．（3分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19．（6分）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°﹣+|1﹣|．
20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示：
21．（8分）某农场学校积极开展阳光体育活动，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，限德阳中提供的信息，回答下列问题．
（1）九年级（1）班学生人数为 ，扇形图中的m＝ ，补全两个统计图；
（2）求这个班的学生投中次数的平均数、中位数和极差；
（3）在4名投中1次的人中，有男生2人，女生2人，求从这4人中随机抽出3人，刚好是2名男生1名女生的概率．
22．（8分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：
（1）观众区的水平宽度AB；
（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）
23．（9分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
24．（9分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值．
25．（10分）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”．
例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为
“3型闭函数”．
（1）①已知一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k型闭函数”，则k的值为 ；
②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，则a的值为 ；
（2）反比例函数y＝（k＞0，．a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b＝，请求a2+b2的值；
（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，求k的取值范围．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解．
【解答】解：因为|﹣2|＝2，
故选：C．
2．（3分）与30°的角互为余角的角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．70° D．90°
【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案．
【解答】解：与30°的角互为余角的角的度数是：60°．
故选：B．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣6，3） C．（﹣2，7） D．（﹣2．﹣1）
【分析】把点（﹣2，3）的横坐标加4，纵坐标不变得到点（﹣2，3）平移后的对应点的坐标．
【解答】解：点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（2，3）．
故选：A．
4．（3分）计算下列代数式，结果为x5的是（ ）
A．x2+x3 B．x•x5 C．x6﹣x D．2x5﹣x5
【分析】根据合并同类项的法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：A、x2与x3不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意；
B、x•x5＝x6，故选项B不合题意；
C、x6与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意；
D、2x5﹣x5＝x5，故选项D符合题意．
故选：D．
5．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故此选项错误；
C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误；
D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．
故选：D．
6．（3分）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1＜x＜3，3≤x＜6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．
【解答】解：当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当1＜x＜3时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2；
当3≤x＜6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）．
所以x的值为2．
故选：A．
7．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．31° B．28° C．62° D．56°
【分析】先利用互余计算出∠FDB＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD＝∠FDB＝28°，接着根据折叠的性质得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∵∠FDB＝90°﹣∠BDC＝90°﹣62°＝28°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠FDB＝28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°，
∴∠DFE＝∠FBD+∠FDB＝28°+28°＝56°．
故选：D．
8．（3分）如图图形中的轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：B．
9．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（ ）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，再将k值分别代入原方程，取使得原方程有实数根的k值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
当k＝2时，原方程为x2﹣x＝0，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，k＝2符合题意；
当k＝﹣2时，原方程为x2+3x+4＝0，
∴△＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴该方程无解，k＝﹣2不合题意，舍去．
∴k＝2．
故选：D．
11．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2
故选：C．
12．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的个数是（ ）
①AM平分∠CAB；
②AM2＝AC•AB；
③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；
④若AC＝3，BD＝1，则有．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM可得∠OAM＝∠AMO，故①正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出②正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，则用弧长公式可求出的长为，故③错误；由BD∥AC可得PB＝PA，则PB＝OB＝OA，得出∠OPM＝30°，则PM＝2，可得出CM＝DM＝DP＝，故④正确．
【解答】解：连接OM，
∵PE为⊙O的切线，
∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴OM∥AC，
∴∠CAM＝∠AMO，
∵OA＝OM，
∠OAM＝∠AMO，
∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，
∴△ACM∽△AMB，
∴，
∴AM2＝AC•AB，故②正确；
∵∠APE＝30°，
∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴的长为，故③错误；
∵BD⊥PC，AC⊥PC，
∴BD∥AC，
∴，
∴PB＝PA，
∴PB＝AB，BD＝OM，
∴PB＝OB＝OA，
∴在Rt△OMP中，OM＝2BD＝2，
∴OP＝4，
∴∠OPM＝30°，
∴PM＝2，
∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）函数的自变量x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据被开方数非负列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
14．（3分）64的立方根为 4 ．
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：64的立方根是4．
故答案为：4．
15．（3分）2019年5月28日，我国“科学”号远洋科考船在最深约为11000m的马里亚纳海沟南侧发现了近10片珊瑚林．将11000用科学记数法表示为 1.1×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将11000用科学记数法表示为：1.1×104．
故答案为：1.1×104．
16．（3分）八边形的内角和为 1080 °．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．
【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
17．（3分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是 160厘米 ．
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：数据160出现了4次，最多，
所以众数为160厘米，
故答案为：160厘米．
18．（3分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 k＜3 ．
【分析】根据y＝kx+b，k＜0，b＞0时，函数图象经过第一、二、四象限，则有k﹣3＜0即可求解；
【解答】解：y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3；
故答案为k＜3；
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19．（6分）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°﹣+|1﹣|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2×﹣4+﹣1
＝1﹣﹣4+﹣1
＝﹣4．
20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示：
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21．（8分）某农场学校积极开展阳光体育活动，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，限德阳中提供的信息，回答下列问题．
（1）九年级（1）班学生人数为 40 ，扇形图中的m＝ 45 ，补全两个统计图；
（2）求这个班的学生投中次数的平均数、中位数和极差；
（3）在4名投中1次的人中，有男生2人，女生2人，求从这4人中随机抽出3人，刚好是2名男生1名女生的概率．
【分析】（1）根据总数＝频数÷百分比进行计算即可；利用总数减去投中0次，1次，3次的人数可得投中2次的人数，再根据百分比＝频数÷总数×100%可得投中2次、3次的百分比，再补全图形即可；
（2）根据加权平均数、中位数、极差的定义计算即可；
（3）列出从2男、2女这4人中随机抽出3人可能产生的结果，根据概率公式计算即可得．
【解答】解：（1）九年级（1）班学生人数：2÷5%＝40（人）；
投中两次的人数：40﹣2﹣12﹣8＝18（人），m＝18÷40×100＝45，8÷40×100%＝20%．
补全统计图如图：
（2）平均数为：＝1.8（次），
中位数为：＝2（次），
极差为：3﹣0＝3（次）；
（3）将四名学生分别即为：男1、男2、女1、女2，
从这4人中随机抽出3人有：男1、男2、女1；男1、男2、女2；男1、女1、女2；男2、女1、女2，这4种等可能结果；
其中刚好是2名男生1名女生的结果有2种，
故从这4人中随机抽出3人，刚好是2名男生1名女生的概率为＝．
故答案为：（1）40，45．
22．（8分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：
（1）观众区的水平宽度AB；
（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）
【分析】（1）根据坡度的概念计算；
（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，
∴AB＝2BC＝20（m），
答：观众区的水平宽度AB为20m；
（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，
则四边形MFBC、MCDN为矩形，
∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，
在Rt△END中，tan∠EDN＝，
则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，
∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），
答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．
23．（9分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用＝甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，
根据题意得：﹣＝3，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＝×40＝60．
答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
根据题意得：7m+5×≤145，
解得：m≥10．
答：至少安排甲队工作10天．
24．（9分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值．
【分析】（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD＝90°，从而可知∠CBG＝∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG＝DE；
（2）设CG＝1，从而知CG＝CE＝1，由勾股定理可知：DE＝BG＝，由易证△ABH∽△CGH，所以，从而可求出HG的长度，进而求出的值．
【解答】解：（1）∵BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°，
∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，
∴∠CBG＝∠CDE，
在△BCG与△DCE中，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG＝DE，
（2）设CG＝1，
∵G为CD的中点，
∴GD＝CG＝1，
由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG＝CE＝1，
∴由勾股定理可知：DE＝BG＝，
∵sin∠CDE＝＝，
∴GF＝，
∵AB∥CG，
∴△ABH∽△CGH，
∴＝，
∴BH＝，GH＝，
∴＝
25．（10分）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”．
例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为
“3型闭函数”．
（1）①已知一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k型闭函数”，则k的值为 2 ；
②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，则a的值为 1或﹣1 ；
（2）反比例函数y＝（k＞0，．a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b＝，请求a2+b2的值；
（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，求k的取值范围．
【分析】（1）①直接利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；
②分两种情况：利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；
（2）先判断出函数的增减性，利用“k型闭函数”的定义得出ab＝1，即可得出结论；
（3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；
【解答】解：（1）①一次函数y＝2x﹣1，当1≤x≤5时，1≤y≤9，
∴9﹣1＝k（5﹣1），
∴k＝2，
故答案为：2；
②当a＞0时，
∵1≤x≤5，
∴a﹣1≤y≤5a﹣1，
∵函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，
∴（5a﹣1）﹣（a﹣1）＝5﹣1，
∴a＝1；
当a＜0时，（a﹣1）﹣（5a﹣1）＝5﹣1，
∴a＝﹣1；
故答案为：1或﹣1；
（2）∵反比例函数y＝，
∵k＞0，
∴y随x的增大而减小，
当a≤x≤b且1＜a＜b是“1型闭函数”，
∴﹣＝k（b﹣a），
∴ab＝1，
∵a+b＝，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2020﹣2×1＝2018；
（3）∵二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，
∴当x＝﹣1时，y＝a2﹣4a﹣3，
当x＝1时，y＝a2+8a﹣3，
当x＝a时，y＝4a2+2a，
①如图1，当a≤﹣1时，
当x＝﹣1时，有ymax＝a2﹣4a﹣3，
当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3
∴（a2﹣4a﹣3）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，
∴k＝﹣6a，
∴k≥6，
②如图2，当﹣1＜a≤0时，
当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，
当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3
∴（4a2+2a）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，
∴k＝（a﹣1）2，
∴≤k＜6；
③如图3，当0＜a≤1时，
当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，
当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3
∴（4a2+2a）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，
∴k＝（a+1）2，
∴＜k≤6，
④如图4，当a＞1时，
当x＝1时，有ymax＝a2+8a﹣3，
当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3
∴（a2+8a﹣3）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，
∴k＝6a，
∴k＞6，
即：k的取值范围为k≥．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3 ，抛物线的顶点坐标为 （﹣1，4） ；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；
（2）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×＝2，即可求解；
（3）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；
（4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×＝2，
yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；
（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）；
（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
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