八年级数学下册试题 第五章《分式与分式方程》单元检测卷-北师大版（含答案）

这是一份八年级数学下册试题 第五章《分式与分式方程》单元检测卷-北师大版（含答案），共19页。
第五章《分式与分式方程》单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）． 1．当时，分式没有意义，则b的值为（    ）A． B． C． D．32．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（　　）A． B． C． D．3．将分式中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的9倍4．下列分式是最简分式的是（       ）A． B． C． D．5．已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．66．定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）A．-2 B． C．2 D．7．抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（　　）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝8．已知，则的值是（    ）A． B． C． D．9．已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或310．若a为整数，关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的a的个数（ ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．分式和的最简公分母是___________12．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝_____．13．若，则分式的值为_______．14．若分式方程＝2+有增根，则a的值为 15．观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．16．甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为 小时17．已知关于x的分式方程的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是 18．若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的方程＝3的解为非负数，则下列选项中满足条件的整数a有_______（填序号）． ①a＝﹣1；②a＝0；③a＝3；④a＝4三、解答题（本大题共8小题，共66分．）19．先化简再求值：，再在，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．20．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为．(1) ； ．（用含a的式子表示）；(2)求证：．(3)求的值．(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？21．解分式方程(1) (2)22．“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.（分数运算）怎样理解？ 从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即. （尝试推广）（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.（2）①观察下图，填空：____________；②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.23．阅读下列材料：关于x的方程：x+的解是x1＝c，x2＝；x﹣（可变形为x+）的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；……（1）①方程x+的解为 ；②方程x﹣1+的解为 ．（2）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；（3）由上述的观征、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是末知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的末知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接求解．请用这个结论解关于x的方程：（a≠1）．24．为稳步推进网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程． （1）已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程．①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？②若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？25．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．解决下列问题：(1)分式是__（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式__形式；(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．(3)若分式的值为m，则m的取值范围是____（直接写出结果）．26．某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6﹣m）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）答案一、选择题． 1．B【分析】先将代入分式，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．【详解】解：当，，∵分式没有意义，∴，∴，故选：B．2．A【分析】根据题意中“和谐分式”的的定义判断即可．【详解】解：A、，故A为“和谐分式”；B、，原式的分子与分母都不能因式分解，故B不是“和谐分式”；C、，故C不是“和谐分式”；D、，故D不是“和谐分式”；故选：A．3．B【分析】根据题意将新的分式表示出来，并利用分式的基本性质进行变形，从而作出判断．【详解】解：将原分式中的a（），b（）都扩大为原来的3倍，可得：，∴新分式的值扩大为原来的3倍，故选：B．4．B【分析】根据最简分式的定义：分子，分母没有公因式，进行判断即可．【详解】解：A、， 不符合题意；B、是最简分式，符合题意；C、，不符合题意；D、，不符合题意；故选B．5．B【分析】将代入原方程，即可求出值．【详解】解：将代入方程中，得解得： ．故选：B．6．B【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.【详解】根据题意得，，则，经检验，是方程的解，故选B.7．B【分析】设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，依题意，得：＝；故选：B．8．C【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可．【详解】解：∵，∴．∴．∴．故选：C．9．C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，即无解或3（m+2）＝﹣3，解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选C．10．A【分析】观察此题先解不等式组确定x的解集，由不等式组有解确定a的取值范围，再根据分式方程有正整数解，即可找出符合条件的所有整数a．【详解】不等式组，解①得：，解②得：，且不等式组有解， 解关于x的分式方程得：，分式方程有正整数解，a为整数， 方程产生增根，舍去，符合条件的a的值有1个，为0，故选：A．二、填空题11．【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母，据此求解即可．【详解】分式和的最简公分母是故答案为：．12．0【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可．【详解】解：＝＝＝，∵＝，且A、B为常数，∴，∴，解得：，∴A+3B＝3+3×(-1)=0，故答案为：0．13．6【分析】将原式进行化简，由得，代入化简结果即可求出答案．【详解】解：∵，∴，即，∴．故答案为：6．14．4【分析】分式方程无解有两种可能，一种是转化为的整式方程本身没有解，一种是整式方程的解使分式方程的分母为0.【解析】原式可化为，因为分式方程无解，即等式不成立或无意义，当时，方程无意义，代入求得.15．x=n+4或x=n+5【分析】根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可．【详解】解：，解得：或；，解得：或；，解得：或；得到规律，的解为：或；所求方程整理得：，根据规律得：或，解得：x=n+4或x=n+5故答案为：x=n+4或x=n+516．1.8【分析】设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．【详解】解：设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据题意得：，解得：x1＝1.8或x2＝9，经检验：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，x2＝9不合题意，舍去，故答案为：1.8小时．17．﹣14＜k＜7且k≠0【分析】先解分式方程，然后根据分式方程的解满足2＜x＜5和分式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵分式方程的解满足2＜x＜5，∴，解得且，18．②③【分析】解不等式组，根据其整数解的个数确定a的取值范围，解分式方程，根据其解的非负性确定a的取值．【详解】解：不等式组整理得：，解得：≤x＜5，由不等式组有且只有4个整数解，得到整数解为1，2，3，4，∴0＜≤1，即﹣2＜a≤4，即整数a＝﹣1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：﹣y﹣2a+a＝3y﹣3，解得：y＝，由分式方程的解为非负数，得到≥0且≠1，解得：a≤3且a≠﹣1，综上，满足条件的整数a＝0，1，2，3．故选：②③．三、解答题19．解：．根据分式有意义的条件可知：，且，故取，当时，．20．（1）解：由题意得：，，故答案为：，．（2）证明：，∵，∴，∴，即．（3）解：．（4）解：当时，，∵，，，∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．21．（1）解：两边都乘得将代入最简公分母，∴是原方程的解．（2）解：两边都乘得将代入得∴是增根，原方程无解22．解：（1）①；故答案为；②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即. （2）①（）②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）；该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原长方形的，即. 23．（1）①方程x+的解为，经检验是原方程的解，故答案为：；②方程x﹣1+，或，方程x﹣1+的解为，经检验是原方程的解 故答案为：；（2）关于x的方程x+（m≠0）的解为验证：当时，方程的左边 方程的右边方程的左边方程的右边 是原方程的解；当时，方程的左边 方程的右边方程的左边方程的右边 是原方程的解；（3）方程整理得由题意可得或 解得经检验，是原方程的解24．解：（1）设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，由题意，得，解方程，得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意．答：乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．（2）①由题意得，甲队单独施工天完成该项工程的，所以甲队单独施工天完成该项工程.甲队单独施工完成剩余的工程的时间为（天），于是甲、乙两队共同施工的时间为（天）．设乙队单独施工需要天才能完成该项工程，则，解方程，得.经检验，是原分式方程的解，且符合题意．答：若乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．②设甲队从开始施工到完成该工程需要天，依题意列不等式，得，解得：25．（1）解：根据新定义可得：是真分式，故答案为：真分式，（2）∵且为整数，为整数，∴或或或 解得：或或或（3）∵而 ∴ ∴ ∴ 所以26．解：（1）设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意可知：，解得：，．答：购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元．（2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意可得：，解得：，只能取正整数，，共有11种情况，故该商店共有11种进货方案分别为：种70件，种30件；种69件，种31件；种68件，种32件；种67件，种33件；种66件，种34件；种65件，种35件；种64件，种36件；种63件，种37件；种62件，种38件；种61件，种39件；种60件，种40件．（3）销售总利润为，商家出售的纪念品均不低于成本价，，根据一次函数的性质，当时，即，随着增大而增大，当时，取到最大值；即方案为：种70件，种30件时可获利最多；当时，即，随着增大而减小，当时，取到最大值；即方案为：种60件，种40件时可获利最多．