高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念复习练习题，共4页。试卷主要包含了有下列命题等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法错误的有( )
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．i的平方等于1
2．已知a为实数，若复数z＝(a2－9)＋(a＋3)i为纯虚数，则复数z的虚部为( )
A．3B．6i
C．±3D．6
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．复数a＋1＋(a－1)i是实数，其中i为虚数单位，则实数a等于( )
A．－1B．1
C．0D．2
5．以3i－ eq \r(2)的虚部为实部，以3i2＋ eq \r(2)i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3iB．3＋i
C．－ eq \r(2)＋ eq \r(2)iD． eq \r(2)＋ eq \r(2)i
6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b|B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠bD．a≤0
7．有下列命题：
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若复数z1，z2，z3满足(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3．
正确命题的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
8．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)
9．设z＝lg2(1＋m)＋ilg eq \s\d9(\f(1,2))(3－m)(m∈R)是虚数，则m的取值范围是__________．
10．实数m为何值时，复数z＝ eq \f(m(m＋2),m－1)＋(m2＋2m－3)i分别是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
B级——能力提升练
11．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．(多选)下列命题正确的是( )
A．1＋i2＝0
B．若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i
C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D．两个虚数不能比较大小
13．满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点的个数为__________．
14．定义运算 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3x＋2y i,－y 1))，那么x＝________，y＝__________．
15．(2023年安徽期中)已知复数z1＝3－m2＋(m－ eq \r(3))i，z2＝μ＋sin θ＋(cs θ－ eq \r(3))i，其中i是虚数单位，m，μ，θ∈R．
(1)若z1为纯虚数，求m的值；
(2)若z1＝z2，求μ的取值范围．
答案
1【答案】ABD
【解析】对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1．故选ABD．
2【答案】D
【解析】∵z＝(a2－9)＋(a＋3)i为纯虚数，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－9＝0，,a＋3≠0，))解得a＝3．∴z＝6i，则复数z的虚部为6．故选D．
3【答案】B
【解析】复数a＋bi是纯虚数，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b≠0，))∴“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．故选B．
4【答案】B
【解析】∵复数a＋1＋(a－1)i是实数，∴a－1＝0，解得a＝1．故选B．
5【答案】A
【解析】3i－ eq \r(2)的虚部为3，3i2＋ eq \r(2)i＝－3＋ eq \r(2)i的实部为－3．故选A．
6【答案】D
【解析】复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0．故选D．
7【答案】A
【解析】①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错；易得②③错．故选A．
8【答案】充分不必要
【解析】当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
9【答案】(－1，2)∪(2，3)
【解析】因为z为虚数，所以lg eq \s\d9(\f(1,2))(3－m)≠0，故 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m＞0，,3－m≠1，,3－m＞0，))解得－1＜m＜3且m≠2．
10解：(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且 eq \f(m(m＋2),m－1)有意义，即m－1≠0，解得m＝－3．
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且 eq \f(m(m＋2),m－1)有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．
(3)要使z是纯虚数，m需满足 eq \f(m(m＋2),m－1)＝0，m－1≠0且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2．
11【答案】B
【解析】因为1－a＋a2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)＞0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2；当a＝－2时，4－a2＋(1－a＋a2)i＝7i为纯虚数．故选B．
12【答案】AD
【解析】对于A，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正确．对于B，两个虚数不能比较大小，故B错．对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故C错．D正确．
13【答案】2
【解析】由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－3＝0，,9y2－6y＋1＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝\f(1,3)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝\f(1,3)．))所以实数对(x，y)表示的点有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))，共有2个．
14【答案】－1 2
【解析】由定义运算 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3x＋2y i,－y 1))＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi．因为x，y为实数，所以有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3x＋2y，,x＋3＝y，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝0，,x＋3＝y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
15解：(1)∵z1为纯虚数，
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－m2＝0，,m－\r(3)≠0.))∴m＝－ eq \r(3)．
(2)∵z1＝z2，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－m2＝μ＋sin θ，,m－\r(3)＝cs θ－\r(3)．))
∴μ＝－cs2θ－sinθ＋3＝sin2θ－sinθ＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(7,4)．
∵sin θ∈[－1，1]，当sin θ＝ eq \f(1,2)时，μmin＝ eq \f(7,4)；
当sin θ＝－1时，μmax＝4．∴μ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，4))．