拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）（精讲）-2024-2025学年高二数学上学期同步精讲精练（人教A版选择性必修第一册）

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拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）（精讲）第一部分：知识点精准记忆第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：直接法重点题型二：相关点法重点题型三：定义法重点题型四：参数法重点题型五：点差法第一部分：知 识 点 精 准 记 忆知识点一：曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．知识点二：求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．知识点三：求轨迹方程的方法：1、定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2、直译法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3、参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，，进而通过消参化为轨迹的普通方程.4、代入法（相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。5、点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：直接法典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点．若，且，则点的轨迹方程是______．例题2．（2022·四川内江·高二期末（理））在中，，，与斜率的积是．求点的轨迹方程；例题3．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知动点到定点、的距离之比为，动直线与垂直，垂足为点．求动点的轨迹方程；同类题型归类练1．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为.(1)求点的轨迹方程；(2)记点的轨迹为曲线，是曲线上的点，若直线，均过曲线的右焦点且互相垂直，线段的中点为，线段的中点为. 是否存在点，使直线恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.2．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（文））已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为，求曲线的方程；3．（2022·河南商丘·三模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知，，M是一个动点，C，D分别为线段AM，BM的中点，且直线OC，OD的斜率之积是．记M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若过点且不与x轴重合的直线与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为（与Q不重合），直线与x轴交于点G，求的值．重点题型二：相关点法典型例题例题1．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）已知圆与直线相切．(1)求圆的标准方程；(2)若线段的端点在圆上运动，端点的坐标是，求线段的中点的轨迹方程．例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知的斜边为，且.求：(1)直角顶点的轨迹方程；(2)直角边的中点的轨迹方程.例题3．（2022·全国·高三专题练习）是圆上的动点，点在轴上的射影是，点满足．（1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点的直线与动点的轨迹交于不同的两点，，求以，为邻边的平行四边形的顶点的轨迹方程．同类题型归类练1．（2022·广东梅州·高二期末）已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.(1)求圆M的方程；(2)若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.2．（2022·吉林·长春十一高高二期末）已知抛物线上的点到焦点F的距离为6.(1)求m的值及抛物线C的标准方程；(2)若，点Q为抛物线C上一动点，点M为线段FQ的中点，试求点M的轨迹方程.重点题型三：定义法典型例题例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．例题2．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在中，，，动点满足，，的垂直平分线交直线于点．(1)求点的轨迹的方程；例题3．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知动点在轴及其右方，且点到点的距离比到轴的距离大1.(1)求点的轨迹的方程；同类题型归类练1．（2022·云南玉溪·高二期末）已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．(1)求的方程；2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．(1)求C的方程；3．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，(1)求圆心的轨迹方程5．（2022·广东惠州·高三阶段练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.(1)求点的轨迹方程；6．（2022·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．7．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知动圆过定点，且与直线相切.(1)求动圆的圆心轨迹的方程；重点题型四：点差法典型例题例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.例题2．（2021·上海·高三专题练习）给定双曲线.（1）过点的直线与所给双曲线交于两点，求线段的中点轨迹方程.（2）过点能否作出直线，使与所给双曲线交于两点，且是线段的中点？并说明理由.例题3．（2021·全国·高三专题练习）过点的直线与抛物线交于、两点.求线段的中点的轨迹方程.