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第三章 圆锥曲线的方程 章末重点题型大总结（精讲）-2024-2025学年高二数学上学期同步精讲精练（人教A版选择性必修第一册）
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第三章 圆锥曲线的方程 章末总结（精讲）目录第一部分：知识框架第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：圆锥曲线的定义 重点题型二：圆锥曲线的标准方程重点题型三：圆锥曲线的几何性质重点题型四：椭圆、抛物线中的离心率问题重点题型五：直线与圆锥曲线的位置关系重点题型六：圆锥曲线中的中点弦问题重点题型七：圆锥曲线中的弦长问题重点题型八：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题重点题型九：圆锥曲线中的定点问题重点题型十：圆锥曲线中的定值问题重点题型十一：圆锥曲线中的定直线问题重点题型十二：圆锥曲线中的向量问题第一部分：知 识 框 架第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：圆锥曲线的定义1．设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（ ）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段【答案】D因为，所以动点M的轨迹是线段，故选：D2．若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有.因为，所以.故选：D3．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：A4．已知A（0，－4），B（0，4），|PA|﹣|PB|＝2a，当a＝3和4时，点P轨迹分别为（ ）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线C．双曲线一支和一条直线 D．双曲线一支和一条射线【答案】D∵A(0,－4)，B（0，4），∴|AB|＝8，又|PA|－|PB|＝2a，∴当a＝3时，|PA|－|PB|＝6＜8，由双曲线定义可得点P的轨迹为双曲线的上支；当a＝4时，|PA|－|PB|＝8，∴点P的轨迹为y轴上的以点B为端点的方向向上的射线；故选：D．5．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线【答案】D由已知，，所以点的轨迹是一条以为端点向轴正方向的射线.故选：D.6．若动点满足，则点的轨迹应为（ ）A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆【答案】B动点满足，可知：动点到定点与到定直线距离相等，其中定点不在定直线上.因此P点的轨迹应为抛物线.故选：B.7．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于___________.【答案】17由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.因为点与一个焦点的距离等于1，而，故点与该焦点同在轴的上方或下方，故点与另一个焦点的距离为，故答案为：.重点题型二：圆锥曲线的标准方程1．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A． B．C． D．【答案】B由题意可设双曲线的标准方程为，因为双曲线的焦距为8，则2c＝8，所以c＝4，又双曲线的离心率为，所以a＝2，则，所以双曲线的标准方程为.故选：B．2．若抛物线的焦点坐标为，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C由题意抛物线的焦点坐标为，故 ，抛物线方程即，故 ，故选：C3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x【答案】D∵抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），∴，可得.又点M到准线l的距离为3，∴，解得p＝2或p＝4.则该抛物线的方程为 y2＝4 x或 y2 ＝ 8x.故选：D.二、解答题4．求以坐标轴为对称轴，并且经过两点A（0，2）和B（，）的椭圆的标准方程.【答案】.令椭圆方程为，所以，可得，故椭圆的标准方程为.5．（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程．【答案】【小问1】【小问2】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为.又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，解得λ=11或(舍去).故所求椭圆的标准方程为.（2）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c，∴，解得，∴该双曲线的方程为．6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，虚轴长为，离心率为；(2)顶点间的距离为，渐近线方程为．【答案】(1)(2)焦点在轴上的双曲线的方程为；焦点在轴上双曲线的方程为(1)解：由题意，双曲线的焦点在轴上，设所求双曲线的方程为1，因为虚轴长为，离心率为，可得，解得，所以双曲线的方程为．(2)解：当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为；当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为.7．根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)双曲线经过点，，焦点在x轴上；(2)经过点，且与双曲线有相同的焦点．【答案】(1)；(2).(1)因双曲线的焦点在轴上，且，则设所求双曲线的方程为，而双曲线过点，则有，解得，所以所求双曲线的标准方程为.(2)所求双曲线与双曲线有相同的焦点，则设所求双曲线的方程为，而此双曲线过点，于是有，解得或（舍去），所以所求双曲线的标准方程为.8．回答下列各题.(1)求经过点的抛物线的标准方程；(2)求经过点，且与有相同的焦点的椭圆的标准方程.【答案】(1)或(2)(1)解：因为点在第三象限，所以经过点的抛物线的焦点在轴的负半轴或轴的负半轴，当抛物线的焦点在轴的负半轴时，设抛物线的方程为，将点代入得，解得，所以抛物线的方程为，当抛物线的焦点在轴的负半轴时，设抛物线的方程为，将点代入得，解得，所以抛物线的方程为，综上所述，经过点的抛物线的标准方程为或；(2)解：椭圆的焦点为，可设所求椭圆方程为，将点代入得：，整理得，解得或（舍去），所以椭圆的标准方程为.9．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点；(2)焦点在直线上.【答案】(1)抛物线方程或，对应的准线方程分别是， .(2)抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.(1)设所求的抛物线方程为或，因为过点，所以或，所以或.所以所求的抛物线方程为或，对应的准线方程分别是或.(2)令得，令得，所以抛物线的焦点为或.当焦点为时，，所以，此时抛物线方程；焦点为时，，所以，此时抛物线方程为.所以所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.重点题型三：圆锥曲线的几何性质1．线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（ ）A．5 B． C．2 D．【答案】B若以为原点为x轴建立平面直角坐标系，由，则，若，故轨迹是以为焦点，焦距为4，长轴长为6的椭圆，且轨迹方程为，所以|PM|的最小值是.故选：B2．过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B设双曲线的左、右焦点分别为， ．故选：B3．已知双曲线：的左右焦点为，，点在双曲线的右支上，点关于原点的对称点为，则（ ）A．4 B． C．6 D．【答案】C由双曲线的对称性可得点Q在双曲线的左支上，且，由可知，，∴.故选：C.4．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.【答案】##不妨设点为，，则，则设圆的圆心为，则坐标为则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差.又当时，，当且仅当时取得等号；故.故答案为：.5．已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．【答案】[1,3]由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是.故答案为：.6．已知椭圆，点，为椭圆上一动点，则的最大值为____.【答案】设点，则，可得，其中，，当且仅当时，取得最大值.故答案为：.7．双曲线上一点P到的距离最小值为___________.【答案】2设，则，即，于是得，而，则当时，，所以双曲线上一点P到的距离最小值为2.故答案为：28．已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.【答案】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，从而得，即，设点，而，，则，当且仅当t=1时取“=”，，因此得，即，得，所以的取值范围为.故答案为：9．已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是_____________.【答案】设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为|AP|2=x2+（y﹣a）2=x2+y2﹣2ay+a2，∵x2=2y，∴|AP|2=2y+y2﹣2ay+a2（y≥0）=y2+2（1﹣a）y+a2（y≥0），∴对称轴为a﹣1，∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，∴a﹣1≤0解得a≤1，又a＞0，∴0＜a≤1，故答案为：．10．抛物线E：与圆M：交于A，B两点，圆心，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的取值范围是______.【答案】如图，可得圆心也是抛物线的焦点，PN交抛物线的准线于H，根据抛物线的定义，可得，故的周长，由，解得，∵，且 ∴PH的取值范围为，∴，∴的周长的取值范围为.故答案为：.重点题型四：椭圆、抛物线中的离心率问题1．已知椭圆，焦距为，以点O为圆心，b为半径作圆O，若过点作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】B由题意，可得，，，故，在直角中，由，可得，故，整理得，所以，即，所以，可得，解得.即椭圆的离心率为.故选：B.2．设分别为椭圆的左､右焦点，若在直线（c为半焦距）上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B如图所示，椭圆，可得焦距，因为在直线上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，可得，即，可得，即，解得又因为椭圆的离心率，所以.故选：B.3．已知椭圆，点C在椭圆上，以C为圆心的圆与y轴相切于椭圆的上焦点，若圆C与x轴相交于M，N两点，且为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C不妨设在第一象限，以C为圆心的圆与y轴相切于椭圆的上焦点，则，又在椭圆上，则，所以圆M的半径，因为为直角三角形，，即，化简可得，即，解得．故选：C．4．圆上有四个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线E的离心率的取值范围是（ ）．A． B． C． D．【答案】C双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径为5，因为圆C上有四个点到的距离为2，所以圆心到的距离，即，而，所以，即．故选：C5．已知双曲线的左右焦点分别为， ，过的直线交双曲线的右支于，两点.点满足，且，若，则双曲线的离心率是（ ）A． B． C．2 D．【答案】C因，则点是线段中点，由得，即AM垂直平分，则有，，而，则，又，令双曲线的半焦距为c，在中，，，由余弦定理得：，即，化简得，所以双曲线的离心率是.故选：C6．（多选）设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（ ）A． B． C． D．2【答案】AC若曲线是椭圆则其离心率为；若曲线是双曲线则其离心率为；故选：AC7．设、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为______．【答案】设，，所以，，，所以，，．，则，即，解得，由，即，所以，，则，解得．因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.8．设双曲线的焦距长为，直线过点、两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为___________.【答案】直线的方程为，即，则原点到直线的距离为，所以，，所以，，解得或（舍去），所以.故答案：.9．已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________.【答案】设，，，则，两式相减得，所以.因为，，所以.因为，，所以，，故.故答案为：．重点题型五：直线与圆锥曲线的位置关系1．已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（ ）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定【答案】A由，则，则直线，恒过定点，由，则点，在椭圆1内部，∴直线与椭圆相交．故选：A2．若直线与曲线只有一个公共点，则m的取值范围是（ ）A． B．C．或 D．或【答案】D根据曲线，得到，解得：；，画出曲线的图象，为椭圆在轴上边的一部分，如图所示：当直线在直线的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，把直线代入椭圆方程得：，得到，即，化简得：，解得或(舍去)，则时，直线与曲线只有一个公共点；当直线在直线位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时，当直线在直线位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时，则当时，直线与曲线只有一个公共点，综上，满足题意得的范围是或．故选：D．3．过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线的条数是（ ）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B当不存在时，直线不满足条件；设直线，与双曲线方程联立可得 ，即 ，当时，即，当时，方程无解，不符合题意，当时，方程只有一解，满足条件；当时，，即 解得：或（舍去），综上可知，满足条件的有或，共2条直线.故选：B4．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】D联立方程组，整理得，设方程的两根为，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，则满足，解得，又由，解得,所以的取值范围是.故选：D.5．关于的方程有解，则的取值范围是___________．【答案】表示过点的直线，两边平方并化简得，所以表示椭圆的上半部分.，由两边平方得，，令，或（舍去）.所以的取值范围是.故答案为：6．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围为_______【答案】因为焦点在x轴上的椭圆，所以因为直线过定点，且直线与椭圆总有公共点，所以点P在椭圆上或在椭圆的内部，即解得，综上，故答案为：7．直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，求的取值范围．【答案】由于椭圆的焦点在轴上，故由，得，则对恒成立，即对恒成立．因为，所以对恒成立，故，即．又因为，所以．8．已知双曲线及直线.若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围.【答案】联立，得，由题意，知， 解得，且.即实数的取值范围是.重点题型六：圆锥曲线中的中点弦问题1．已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（ ）A． B． C． D．【答案】B设直线交双曲线于点、，则，由已知得，两式作差得，所以，，即直线的斜率为，故直线的斜率为，即.经检验满足题意故选：B.2．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A． B．C． D．【答案】B依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点，由得：，又，于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即，所以这条弦所在的直线方程是.故选：B3．直线与双曲线的同一支相交于两点，线段的中点在直线上，则直线的斜率为（ ）A． B． C． D．【答案】D设、，线段的中点，由已知，两点在双曲线上，所以x122-y12=1x222-y22=1，两式做差可得，点在直线上，所以，代入上式可得，故直线的斜率为.故选：D.4．直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D设，，因点A，B在双曲线 上，则，，两式相减得：，因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1，此时，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线 交于两点，所以直线l的斜率为1.故选：D5．已知点是抛物线上的两点，点是线段的中点，则的值为A． B． C． D．【答案】C设 则 ，由中点坐标公式可得 两式相减可得， 则直线的斜率 直线的方程为 即 联立方程可得 故选C．6．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是______________【答案】设的坐标分别为 ，则 ，将两式相减得：，整理得：，根据点恰为弦中点，可知 ，，即直线斜率是 ，故答案为：7．已知抛物线，直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，则直线的斜率__________．【答案】设，因为，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，所以，因为，所以，故答案为：.8．已知双曲线方程为，求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程.【答案】设以为中点的弦的两端点为，，则，，根据对称性知，由，在双曲线上，则有，，两式相减得，，过点且斜率的直线方程为，即，由消去y并整理得：，，从而得直线与双曲线相交，所以以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为.重点题型七：圆锥曲线中的弦长问题1．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）A． B． C． D．【答案】D由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：设，则，所以，解得，则，.弦长|MN|.故选：D.2．已知椭圆x2+4y2＝16，直线l过点其左焦点F1，且与椭圆交于A、B两点，若直线l的斜率是1，则弦长|AB|＝__．【答案】##椭圆的标准方程为1，其中a＝4，b＝2，则c2，，又由直线的斜率为1，则直线的方程为与椭圆的方程联立可得：弦长|AB|；故答案为：3．设椭圆过点，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求弦的长度．【答案】(1)(2)(1)解：将点代入椭圆的方程得，所以．又由，得，即，所以．所以椭圆C的方程为．(2)解：过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，，联立方程，消去得，得，．由弦长公式4．给定椭圆，称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．①请将用含有k的关系式表示（不需给出k的范围）；②求弦长的最大值．【答案】(1)(2)；(1)由题可知，，，又，解得，故椭圆的标准方程为：；(2)①由（1）可求“伴随圆”为：，因为，所以圆心到直线距离为，由圆心到直线距离公式得，解得；②联立直线与椭圆方程，得，由得，由得，，设，则，由弦长公式可得：，当且仅当时取到等号，故5．已知双曲线（，）的右焦点为，离心率，虚轴长为.(1)求的方程；(2)过右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于､两点，求.【答案】(1)；(2).(1)由题意可得：，解得：，所以双曲线的方程为.(2)由（1）知：，所以，可得直线的方程为：，设，，由可得：，所以， ，所以 ，所以弦长.6．直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标等于，求弦的长．【答案】直线代入抛物线，整理可得，设，，由AB的中点的横坐标为2，所以4得：k＝-1或2，当k＝-1时，有两个相等的实数根，不合题意，当k＝2时，|AB|．综上，弦的长为.7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线相交于，两点，求弦长．【答案】(1)(2)(1)解：在抛物线上，且，，则，故抛物线的方程为；(2)解：联立，可得．设，，，，则，，．8．已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，且一个焦点与抛物线：的焦点重合．(1)求双曲线的标准方程；(2)若过抛物线的焦点且斜率为1的直线l与抛物线交于A，B两点，求．【答案】(1)(2)(1)由双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，，又抛物线：的焦点为，则，由已知可得：，解得，所以双曲线的标准方程为．(2)抛物线的焦点坐标为，直线l的斜率为1，直线l的方程为，设，，由得：，，．重点题型八：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题1．已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．【答案】(1)(2)6(1)由题意可得，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；(2)由题意可设的方程为，联立方程得，设，，则由根与系数关系有，所以，根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，所以四边形ABDE面积为，令得，由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．2．已知椭圆C：经过点，其长半轴长为2.(1)求椭圆C的方程：(2)设经过点的直线与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，求的面积的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解：由已知得，∴椭圆C的方程为∵椭圆经过点，∴，解得∴椭圆C的方程为(2)解：由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，，由，消去得，∴，，，∵为点关于轴的对称点，∴，直线的方程为，即令，则∴，∴的面积，令，则，∴，又函数在上单调递增，所以，∴，∴的面积的取值范围是3．已知椭圆的两焦点分别为、，为椭圆上一点，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第二象限，，求△的面积．【答案】(1)(2)(1)解:∵椭圆的两焦点分别为、，∴设椭圆的方程为，，，．，椭圆的标准方程为．(2)解：在△中，由余弦定理得，即，，，．4．已知P是圆O：上一动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)若A是椭圆E的右顶点，过左焦点F且斜率为的直线交椭圆E于M，N两点，求△AMN的面积.【答案】(1)(2)(1)设，，，因为所以从而，代入得即为所求.(2)由，得，所以，,所以过且斜率为的直线的方程为，联立消去x，得，显然，设，，则，∴，∵A是椭圆E的右顶点，∴，∴△AMN的面积.5．在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C1以椭圆C2：1长轴的两个端点为焦点，以C2的焦点为顶点．(1)求C1的标准方程；(2)过（0，1）的直线l与C1的右支相切，且与C2交于点M，N，求 OMN的面积．【答案】(1)(2)(1)解：由题意得双曲线a＝1，c＝2，则b²＝c²﹣a²＝3，所以C1的标准方程为：；(2)设过（0，1）的直线l的方程为y＝kx+1，联立，可得（3﹣k²）x²﹣2kx﹣4＝0，因为直线与双曲线相切，所以Δ＝4k²+16（3﹣k²）＝0，解得k＝±2，因为直线l与双曲线右支相切，所以l方程为：y＝﹣2x+1，联立，可得19x²﹣16x﹣8＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，x1x2，则|MN||x1﹣x2|•，又原点O到直线l的距离d，所以 OMN的面积Sd•|MN|．6．已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4.(1)求双曲线的方程；(2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解：因为双曲线的一条渐近线方程是，所以，即 因为焦距为4，所以，即 因为，所以，所以双曲线的方程为(2)解：由题知双曲线的右焦点为，故设直线的方程为， 则联立方程得，设，，所以，因为直线与双曲线的右支交于A，B两点， 所以，即且，所以，解得：且因为直线与轴交于点，所以，因为，所以所以，点到直线的方程为距离为，所以面积为，令，则，所以，因为在是单调递减函数，所以，所以.所以面积的取值范围为7．已知抛物线C： 的焦点为F，并且经过点A（1，﹣2）．(1)求抛物线C的方程；(2)过原点O作倾斜角为 的直线l交抛物线C于M，N两点，求 的面积．【答案】(1)(2)2(1)把点A（1，﹣2）代入抛物线C：，可得 ，解得p＝2，所以抛物线C的方程为C： ；(2)抛物线的焦点为F（1，0），过原点O作倾斜角为的直线l方程为y=x，联立，解得或．不妨设M（0，0），N（4，4）．则△FMN的面积为 ，所以所求△FMN的面积为2．8．已知椭圆C：的右焦点F与抛物线E：的焦点相同，曲线C的离心率为，为E上一点且．(1)求曲线C和曲线E的方程；(2)若直线l：交曲线C于P、Q两点，1交y轴于点R．求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）．【答案】(1)C：，E：(2)(1)，椭圆C：又，椭圆C：抛物线E：．(2)设，联立由，且，，原点O到直线l距离，，令，所以，当且仅当，，时，等号成立，此时面积最大为．9．已知直线是抛物线的准线，是坐标原点，是上一点，过作，垂足为，已知.(1)求的方程；(2)直线经过的焦点，且与交于两点，若，求的面积.【答案】(1)(2)(1)由题可知准线的方程为.因为，所以.又，所以，故的方程为.(2)由（1）可知.因为，所以直线的方程为，设，联立方程组整理得，则，故.点到直线的距离，则的面积.10．已知抛物线E：（）上一点到其焦点F的距离为2．(1)求实数的值；(2)若过焦点F的动直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作抛物线的切线、，且、的交点为Q，、与y轴的交点分别为M、N．求面积的取值范围．【答案】(1)(2)(1)因为点到其焦点F的距离为2，由抛物线的定义知解得(2)由上问可知，抛物线方程E：设，，（，），设l：，联立，得，判别式，故R，设：联立方程组，消x得，所以所以则：，即，令，得，同理：，，联立，得交点Q的横坐标为，∴∴面积的取值范围是．重点题型九：圆锥曲线中的定点问题1．已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．(1)求椭圆的方程(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：依题意、，又，解得，，所以椭圆方程为，离心率；(2)解：由（1）可知，当直线斜率存在时，设直线为，联立方程得，消去整理得，设，，所以，；因为直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以；即所以，即，所以，即，所以或，当时，直线：，恒过定点，因为直线不过A点，所以舍去；当时，直线：，恒过定点；当直线斜率不存在时，设直线，，，则，且，解得或（舍去）；综上可得直线恒过定点.2．已知椭圆：的焦距为，圆：经过点.(1)求椭圆与圆的方程；(2)若直线：与椭圆C交于点A，B，其中，问：是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【答案】(1)椭圆C：，圆O：(2)为定值，且该定值为0(1)设椭圆C的半焦距为c，根据题意得又∵经过点，∴，解得∴椭圆C的方程为，圆O的方程为.(2)设联立l与椭圆方程，化简整理得则∵∴综上所述，为定值，且该定值为0.3．已知点，点P是圆B：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线BP交于点Q．(1)求点Q的轨迹方程C；(2)过点A的直线l与曲线C交于M，N两点，点E在x轴上且使得对任意直线l，OE都平分．求点E的坐标．【答案】(1)(2)(1)由题意知，，所以，由椭圆定义知点Q的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，设椭圆C：，其中，，即，，则，所以点Q的轨迹方程C为．(2)设，当l与x轴垂直时，恒成立，当l与x轴不垂直时，因为OE都平分，即，所以，设，，直线l的斜率为，则直线l的方程为，又，，所以，又，，所以，即，联立方程组消去y，得，，所以，，代入上式可得，即点．4．已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点、在轴上，双曲线的右支上一点使且的面积为1．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线：与双曲线相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)；(2)证明见解析，.(1)由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得，∵且的面积为1，∴，，∴∴，，∴双曲线的标准方程为．(2)证明：设，，联立与双曲线得，，即，则，又，∵以为直径的圆过双曲线的右顶点∴，即，∴，∴，化简，得，即 ∴，，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾．当时，直线的方程为，过定点，所以直线过定点，该定点的坐标为．5．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且点F与圆M：(x+4)2+y2＝1上点的距离的最大值为1．(1)求p；(2)已知直线l：y＝kx+4与C相交于A，B两点，过点B作平行于y轴的直线BD交直线l'：y＝﹣4于点D．问：直线AD是否过y轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【答案】(1)p＝2(2)直线AD恒过y轴上的一定点(0，0)(1)由抛物线的方程可得焦点F(0，)，圆M：(x+4)2+y2＝1可得圆心M(﹣4，0)，半径r＝1，F到圆M的最大距离为：|FM|+r1，由题意可得11，p＞0，解得：p＝2；(2)由(1)得抛物线的方程为：x2＝4y，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理可得：x2﹣4kx﹣16＝0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣16，由题意可得D(x2，﹣4)，所以直线AD的方程为：y+4(x﹣x2)x，令x＝0，可得y0，所以直线AD恒过y轴上的一定点(0，0)．6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1．(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；(3)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．【答案】(1)y2＝8x(2)（2，4）或（2，-4）(3)证明见解析(1)（1）抛物线的焦点F为，双曲线的渐近线方程为，即，则，解得p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x，(2)设P（x0，y0），由抛物线的定义可知，即，解得x0＝2，将x0＝2代入方程y2＝8x，得y0＝±4，即P的坐标为（2， 4）或（2，-4）．(3)由题意知直线l不能与x轴平行，故方程可设为x＝my+n（n≠0），与抛物线联立得，消去x得y2﹣8my﹣8n＝0，设A（x1，y1）B（x2，y2），则y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，由OA⊥OB，所以，所以x1x2+y1y2＝0，又，所以，即，亦即﹣8n（1）＝0，又n≠0，解得n＝8，所以直线方程为x＝my+8，易得直线l过定点（8，0）．重点题型十：圆锥曲线中的定值问题1．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.【答案】(1)(2)存在点，使得为定值.(1)设，易得，直线的斜率为，直线的斜率为，则，整理得，则曲线E方程为；(2)当直线的斜率为不为0时，设直线的方程为，设定点联立方程组，消可得，设，，可得，，所以.要使上式为定值，则，解得，此时当直线的斜率为0时，，，此时，也符合.所以，存在点，使得为定值.2．已知定点，动点满足：直线，的斜率之积为．(1)求动点的轨迹方程；(2)设的轨迹为．直线过抛物线的焦点且与相交于不同的两点，．在轴上是否存在一个定点，使得的值为定值？若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)1；(2)存在一个定点.(1)设 ，因为直线，的斜率之积为．所以，整理得方程为1 .即动点的轨迹方程为1.(2)因为抛物线的焦点，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入椭圆方程，得，设，则，，，故，令，则,所以，解得m，此时；当直线与轴垂直时，的方程为，代入椭圆方程解得，所以；综上所述：在轴上存在一个定点，使得为定值．3．已知为坐标原点，椭圆的右顶点为，离心率为.动直线与相交于两点，点关于轴的对称点为，点到的两焦点的距离之和为.(1)求的标准方程；(2)若直线与轴交于点，的面积分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)为定值，定值为1(1)解：因为点在椭圆上，由椭圆的对称性，点关于x轴的对称点为也在椭圆上，再由点到的两焦点的距离之和为可得，即，又椭圆的离心率，所以，可得，所以椭圆的方程为：；(2)解：为定值，且定值为1，证明如下：设 ，则，联立，整理可得：，则，直线的方程为：，令，可得；所以当变化时直线与轴交于定点，所以，即为定值，且定值为.4．已知双曲线的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值．【答案】(1)；(2)见解析.(1)虚轴长为4，，即，直线为双曲线的一条渐近线，，，故双曲线的标准方程为．(2)由题意知，，，由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线的方程为，设，，，联立，得，，，，直线的斜率，直线的斜率，，为定值．5．已知双曲线的渐近线方程为：，且过点（1）求双曲线的标准方程（2）过右焦点且斜率不为的直线与交于，两点，点坐标为，求【答案】（1）；（2）（1）由题意可得： 解得：，所以所以双曲线的标准方程为；（2），所以，设直线：，，，由 可得：，所以，，，所以.6．已知抛物线上一点到焦点的距离．(1)求C的方程；(2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：由抛物线定义，得，由题意得，，解得所以抛物线的方程为．(2)证明：①直线斜率不存在时，可设，，，，，又，，，解得，，为垂足，，故存在定点，使得为定值，②直线斜率存在时，设直线，解得，设，，，，则，，因为，所以，得，所以，得，即，当时，过定点，不符合题意；当时，直线过点，所以点在以为直径的圆上，故当为的中点时，定值．7．已知曲线E上的点到的距离比它到直线的距离小1.(1)求曲线E的方程；(2)若直线l经过点F，与曲线相交于A，B两点，与直线相交于点C，已知点，设直线PA，PB，PC的斜率分别为，，，求证：为定值，并求出该定值.【答案】(1)；(2)证明见解析，.(1)由题设，令曲线E上的点为，则，当时，，整理得且，满足前提；当时，，整理得且，不满足前提；所以曲线E的方程为.(2)由题设，直线l的斜率必存在且不为0，设，则，联立，整理可得：，则，，所以，又，，且，，，则，故为定值.重点题型十一：圆锥曲线中的定直线问题1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．【答案】(1)；(2)证明见解析.(1)由题意知，，化简得，解得，故椭圆的方程为；(2)设过点G的直线方程为，，消去x，得，，设，则，所以又，得，所以直线AM的方程为，直线BN的方程为，两式相除，得，即，又，即，解得，即直线AM与BN的交点的横坐标为4，所以直线AM与BN的交点在定直线上.2．已知椭圆的左､右顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，且椭圆的焦距为.(1)求椭圆的标准方程.(2)直线与椭圆交于，（其横坐标）两点，直线与的交点为，试问点是否在定直线上？若在，请给予证明，并求出定直线方程；若不在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，证明见解析，点在定直线(1)由题意可得，，设，则，，所以.因为点在椭圆上，所以，所以，则.因为，且，所以，，故椭圆的标准方程为.(2)设，，联立，整理得，则，.由（1）可知，，则直线的方程为，直线的方程为，从而，即，解得：.故点在定直线上.3．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.【答案】（1）或；（2）证明见解析.解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线联立方程组，，可得，则，（1），，由，可得，即①，②，把①式代入②式，可得，解得，，即直线的方程为或．（2）直线的方程为，直线的方程为，直线与的交点为，故，即，进而得到，又，故，解得故点在定直线上．4．如图所示，P（在函数的左边）与Q（在函数的右边）分别为函数的两个点，F为该抛物线的焦点．（1）若P的坐标为（-2，t），连接PF交抛物线另一点于H点，求H点的坐标；（2）记PQ直线为m，其在y轴上的截距为6，过P作抛物线的切线，交抛物线的准线于M点，连接QF，若QF恰好经过M点，求直线m的方程．【答案】（1）（2，1）；（2）．（1）∵P位于抛物线上，故P的坐标为（-2，1）-又∵F为抛物线的焦点，得2p=4，解得故F：（0，1）则过PF的直线为y=1根据抛物线的对称性，则H点坐标为（2，1）-（2）由（1）可知，抛物线的准线方程应当为y=-1令P：）；Q：设过PQ的直线m为，将其代入抛物线得，故因为P为切点，故其切线方程为,根据化简得 当y=-1时，得，得故M点的坐标为（，-1）Q点的坐标为则MQ直线方程为，其过点（0，1），故有，化简得得，化简得得，故，（舍）故解得4k=2，得k=，直线m的方程为5．设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为.（1）求抛物线的方程；（2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析.（1）由题意，得，则，解得，故抛物线的方程为.（2）证明：设，，，直线的方程为.由得，，.由，，得，，故，化简得.又，故，化简得，即，则或.当点在定直线上时，直线与抛物线只有一个交点，与题意不符.故点在定直线上.6．已知抛物线上的点到其焦点距离为3，过抛物线外一动点作抛物线的两条切线，切点分别为，且切点弦恒过点.（1）求和；（2）求证：动点在一条定直线上运动.【答案】（1），.（2）证明见解析（1）由题意得抛物线方程为，∴，（2）首先推导抛物线切线方程的一般性：设抛物线上的一点为，由，所以抛物线过点的切线的斜率为，切线方程为，化简得.设∴抛物线的切线的方程：抛物线的切线的方程：∵均经过，∴故直线即过，也过故方程：∵它恒过，∴，∴它在上运动.重点题型十二：圆锥曲线中的向量问题1．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点A作倾斜角为的直线与C相交于A，B，且，其中O为坐标原点．(1)求椭圆的离心率e；(2)若，过点F作与直线平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点．①求的值；②点M满足，直线与椭圆的另一个交点为N，若，求的值．【答案】(1)(2)①；②.(1)解：由题意得：，所以，代入椭圆方程得，即，所以椭圆的离心率是；(2)①由（1）知：b=1, ，则椭圆方程为：，设直线方程为：，与椭圆方程联立，消去x得，设，则，则，，所以；②设，因为，所以，则，因为，所以，则，因为P，Q，N在椭圆上，所以，则，即，由①知，所以，解得.2．设，，分别为椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为．(1)求椭圆的焦距；(2)如果，求椭圆的方程．【答案】(1)(2)(1)解：因为直线的倾斜角为且过点，所以直线的方程为，到直线的距离为，，解得，椭圆的焦距.(2)由（1）可得，设，，联立，整理可得，解得①，②，因为，即，所以③，由①③得，④，将④代入②得，整理得⑤，因为，所以，代入⑤得，因为，所以，故椭圆的方程为.3．已知椭圆的焦距为为C上不同的三点，关于原点对称，直线与的斜率之积为．(1)求C的方程；(2)已知直线过点，与C交于两点，求的取值范围．【答案】(1)；(2).(1)设，则，为C上的三点，，直线与的斜率之积为，，，化简整理得，由，，所以椭圆C的方程为.(2)①当直线的斜率不存在时，，，②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.设，则， ， .综上，.的取值范围为.4．已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点的坐标为，过的直线与双曲线交于不同两点、.(1)求双曲线的方程；(2)求的取值范围（为坐标原点）.【答案】(1)；(2)或.(1)解：双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为∵双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，∴， ，∵ ∴，∴双曲线的方程为.(2)解：点的坐标为，设过的直线的方程为，与双曲线方程联立可得消去可得 ①，不符合题意，舍去；②时，得.设，，则， ∴∴.∵，, ∴，∴或 ∴或∴或.5．已知双曲线C的方程为（），离心率为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线交曲线于两点，求的取值范围.【答案】(1)；(2).(1)根据题意，由离心率为，知双曲线是等轴双曲线，所以，故双曲线的标准方程为.(2)当直线斜率存在时，设直线的方程为，则由消去，得到，∵直线与双曲线交于M､N两点，，解得.设，则有，，因此，∵，∴且，故或，故；②当直线的斜率不存在时，此时，易知，，故.综上所述，所求的取值范围是.6．已知椭圆C：的右焦点F与抛物线E：的焦点相同，曲线C的离心率为，为E上一点且.(1)求曲线C和曲线E的方程；(2)若直线l：交曲线C于P､Q两点，交y轴于点R.（i）求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）.（ii）若，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)（i）；（ii）(1)，椭圆C：又，椭圆C：，抛物线E：.(2)（i）设，联立由，且，，原点O到直线l距离，，令，所以，当且仅当，，时，等号成立，此时面积最大为.（ii），，， ，，又，，（）.7．已知抛物线经过点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析(1)∵抛物线过点，．．∴动点的轨迹的方程为．(2)设，，由得，，．，．，或．，舍去．，满足．∴直线的方程为．∴直线必经过定点．
第三章 圆锥曲线的方程 章末总结（精讲）目录第一部分：知识框架第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：圆锥曲线的定义 重点题型二：圆锥曲线的标准方程重点题型三：圆锥曲线的几何性质重点题型四：椭圆、抛物线中的离心率问题重点题型五：直线与圆锥曲线的位置关系重点题型六：圆锥曲线中的中点弦问题重点题型七：圆锥曲线中的弦长问题重点题型八：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题重点题型九：圆锥曲线中的定点问题重点题型十：圆锥曲线中的定值问题重点题型十一：圆锥曲线中的定直线问题重点题型十二：圆锥曲线中的向量问题第一部分：知 识 框 架第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：圆锥曲线的定义1．设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（ ）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段【答案】D因为，所以动点M的轨迹是线段，故选：D2．若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有.因为，所以.故选：D3．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：A4．已知A（0，－4），B（0，4），|PA|﹣|PB|＝2a，当a＝3和4时，点P轨迹分别为（ ）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线C．双曲线一支和一条直线 D．双曲线一支和一条射线【答案】D∵A(0,－4)，B（0，4），∴|AB|＝8，又|PA|－|PB|＝2a，∴当a＝3时，|PA|－|PB|＝6＜8，由双曲线定义可得点P的轨迹为双曲线的上支；当a＝4时，|PA|－|PB|＝8，∴点P的轨迹为y轴上的以点B为端点的方向向上的射线；故选：D．5．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线【答案】D由已知，，所以点的轨迹是一条以为端点向轴正方向的射线.故选：D.6．若动点满足，则点的轨迹应为（ ）A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆【答案】B动点满足，可知：动点到定点与到定直线距离相等，其中定点不在定直线上.因此P点的轨迹应为抛物线.故选：B.7．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于___________.【答案】17由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.因为点与一个焦点的距离等于1，而，故点与该焦点同在轴的上方或下方，故点与另一个焦点的距离为，故答案为：.重点题型二：圆锥曲线的标准方程1．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A． B．C． D．【答案】B由题意可设双曲线的标准方程为，因为双曲线的焦距为8，则2c＝8，所以c＝4，又双曲线的离心率为，所以a＝2，则，所以双曲线的标准方程为.故选：B．2．若抛物线的焦点坐标为，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C由题意抛物线的焦点坐标为，故 ，抛物线方程即，故 ，故选：C3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x【答案】D∵抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），∴，可得.又点M到准线l的距离为3，∴，解得p＝2或p＝4.则该抛物线的方程为 y2＝4 x或 y2 ＝ 8x.故选：D.二、解答题4．求以坐标轴为对称轴，并且经过两点A（0，2）和B（，）的椭圆的标准方程.【答案】.令椭圆方程为，所以，可得，故椭圆的标准方程为.5．（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程．【答案】【小问1】【小问2】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为.又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，解得λ=11或(舍去).故所求椭圆的标准方程为.（2）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c，∴，解得，∴该双曲线的方程为．6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，虚轴长为，离心率为；(2)顶点间的距离为，渐近线方程为．【答案】(1)(2)焦点在轴上的双曲线的方程为；焦点在轴上双曲线的方程为(1)解：由题意，双曲线的焦点在轴上，设所求双曲线的方程为1，因为虚轴长为，离心率为，可得，解得，所以双曲线的方程为．(2)解：当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为；当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为.7．根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)双曲线经过点，，焦点在x轴上；(2)经过点，且与双曲线有相同的焦点．【答案】(1)；(2).(1)因双曲线的焦点在轴上，且，则设所求双曲线的方程为，而双曲线过点，则有，解得，所以所求双曲线的标准方程为.(2)所求双曲线与双曲线有相同的焦点，则设所求双曲线的方程为，而此双曲线过点，于是有，解得或（舍去），所以所求双曲线的标准方程为.8．回答下列各题.(1)求经过点的抛物线的标准方程；(2)求经过点，且与有相同的焦点的椭圆的标准方程.【答案】(1)或(2)(1)解：因为点在第三象限，所以经过点的抛物线的焦点在轴的负半轴或轴的负半轴，当抛物线的焦点在轴的负半轴时，设抛物线的方程为，将点代入得，解得，所以抛物线的方程为，当抛物线的焦点在轴的负半轴时，设抛物线的方程为，将点代入得，解得，所以抛物线的方程为，综上所述，经过点的抛物线的标准方程为或；(2)解：椭圆的焦点为，可设所求椭圆方程为，将点代入得：，整理得，解得或（舍去），所以椭圆的标准方程为.9．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点；(2)焦点在直线上.【答案】(1)抛物线方程或，对应的准线方程分别是， .(2)抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.(1)设所求的抛物线方程为或，因为过点，所以或，所以或.所以所求的抛物线方程为或，对应的准线方程分别是或.(2)令得，令得，所以抛物线的焦点为或.当焦点为时，，所以，此时抛物线方程；焦点为时，，所以，此时抛物线方程为.所以所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.重点题型三：圆锥曲线的几何性质1．线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（ ）A．5 B． C．2 D．【答案】B若以为原点为x轴建立平面直角坐标系，由，则，若，故轨迹是以为焦点，焦距为4，长轴长为6的椭圆，且轨迹方程为，所以|PM|的最小值是.故选：B2．过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B设双曲线的左、右焦点分别为， ．故选：B3．已知双曲线：的左右焦点为，，点在双曲线的右支上，点关于原点的对称点为，则（ ）A．4 B． C．6 D．【答案】C由双曲线的对称性可得点Q在双曲线的左支上，且，由可知，，∴.故选：C.4．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.【答案】##不妨设点为，，则，则设圆的圆心为，则坐标为则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差.又当时，，当且仅当时取得等号；故.故答案为：.5．已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．【答案】[1,3]由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是.故答案为：.6．已知椭圆，点，为椭圆上一动点，则的最大值为____.【答案】设点，则，可得，其中，，当且仅当时，取得最大值.故答案为：.7．双曲线上一点P到的距离最小值为___________.【答案】2设，则，即，于是得，而，则当时，，所以双曲线上一点P到的距离最小值为2.故答案为：28．已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.【答案】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，从而得，即，设点，而，，则，当且仅当t=1时取“=”，，因此得，即，得，所以的取值范围为.故答案为：9．已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是_____________.【答案】设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为|AP|2=x2+（y﹣a）2=x2+y2﹣2ay+a2，∵x2=2y，∴|AP|2=2y+y2﹣2ay+a2（y≥0）=y2+2（1﹣a）y+a2（y≥0），∴对称轴为a﹣1，∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，∴a﹣1≤0解得a≤1，又a＞0，∴0＜a≤1，故答案为：．10．抛物线E：与圆M：交于A，B两点，圆心，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的取值范围是______.【答案】如图，可得圆心也是抛物线的焦点，PN交抛物线的准线于H，根据抛物线的定义，可得，故的周长，由，解得，∵，且 ∴PH的取值范围为，∴，∴的周长的取值范围为.故答案为：.重点题型四：椭圆、抛物线中的离心率问题1．已知椭圆，焦距为，以点O为圆心，b为半径作圆O，若过点作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】B由题意，可得，，，故，在直角中，由，可得，故，整理得，所以，即，所以，可得，解得.即椭圆的离心率为.故选：B.2．设分别为椭圆的左､右焦点，若在直线（c为半焦距）上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B如图所示，椭圆，可得焦距，因为在直线上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，可得，即，可得，即，解得又因为椭圆的离心率，所以.故选：B.3．已知椭圆，点C在椭圆上，以C为圆心的圆与y轴相切于椭圆的上焦点，若圆C与x轴相交于M，N两点，且为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C不妨设在第一象限，以C为圆心的圆与y轴相切于椭圆的上焦点，则，又在椭圆上，则，所以圆M的半径，因为为直角三角形，，即，化简可得，即，解得．故选：C．4．圆上有四个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线E的离心率的取值范围是（ ）．A． B． C． D．【答案】C双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径为5，因为圆C上有四个点到的距离为2，所以圆心到的距离，即，而，所以，即．故选：C5．已知双曲线的左右焦点分别为， ，过的直线交双曲线的右支于，两点.点满足，且，若，则双曲线的离心率是（ ）A． B． C．2 D．【答案】C因，则点是线段中点，由得，即AM垂直平分，则有，，而，则，又，令双曲线的半焦距为c，在中，，，由余弦定理得：，即，化简得，所以双曲线的离心率是.故选：C6．（多选）设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（ ）A． B． C． D．2【答案】AC若曲线是椭圆则其离心率为；若曲线是双曲线则其离心率为；故选：AC7．设、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为______．【答案】设，，所以，，，所以，，．，则，即，解得，由，即，所以，，则，解得．因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.8．设双曲线的焦距长为，直线过点、两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为___________.【答案】直线的方程为，即，则原点到直线的距离为，所以，，所以，，解得或（舍去），所以.故答案：.9．已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________.【答案】设，，，则，两式相减得，所以.因为，，所以.因为，，所以，，故.故答案为：．重点题型五：直线与圆锥曲线的位置关系1．已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（ ）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定【答案】A由，则，则直线，恒过定点，由，则点，在椭圆1内部，∴直线与椭圆相交．故选：A2．若直线与曲线只有一个公共点，则m的取值范围是（ ）A． B．C．或 D．或【答案】D根据曲线，得到，解得：；，画出曲线的图象，为椭圆在轴上边的一部分，如图所示：当直线在直线的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，把直线代入椭圆方程得：，得到，即，化简得：，解得或(舍去)，则时，直线与曲线只有一个公共点；当直线在直线位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时，当直线在直线位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时，则当时，直线与曲线只有一个公共点，综上，满足题意得的范围是或．故选：D．3．过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线的条数是（ ）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B当不存在时，直线不满足条件；设直线，与双曲线方程联立可得 ，即 ，当时，即，当时，方程无解，不符合题意，当时，方程只有一解，满足条件；当时，，即 解得：或（舍去），综上可知，满足条件的有或，共2条直线.故选：B4．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】D联立方程组，整理得，设方程的两根为，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，则满足，解得，又由，解得,所以的取值范围是.故选：D.5．关于的方程有解，则的取值范围是___________．【答案】表示过点的直线，两边平方并化简得，所以表示椭圆的上半部分.，由两边平方得，，令，或（舍去）.所以的取值范围是.故答案为：6．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围为_______【答案】因为焦点在x轴上的椭圆，所以因为直线过定点，且直线与椭圆总有公共点，所以点P在椭圆上或在椭圆的内部，即解得，综上，故答案为：7．直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，求的取值范围．【答案】由于椭圆的焦点在轴上，故由，得，则对恒成立，即对恒成立．因为，所以对恒成立，故，即．又因为，所以．8．已知双曲线及直线.若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围.【答案】联立，得，由题意，知， 解得，且.即实数的取值范围是.重点题型六：圆锥曲线中的中点弦问题1．已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（ ）A． B． C． D．【答案】B设直线交双曲线于点、，则，由已知得，两式作差得，所以，，即直线的斜率为，故直线的斜率为，即.经检验满足题意故选：B.2．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A． B．C． D．【答案】B依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点，由得：，又，于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即，所以这条弦所在的直线方程是.故选：B3．直线与双曲线的同一支相交于两点，线段的中点在直线上，则直线的斜率为（ ）A． B． C． D．【答案】D设、，线段的中点，由已知，两点在双曲线上，所以x122-y12=1x222-y22=1，两式做差可得，点在直线上，所以，代入上式可得，故直线的斜率为.故选：D.4．直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D设，，因点A，B在双曲线 上，则，，两式相减得：，因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1，此时，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线 交于两点，所以直线l的斜率为1.故选：D5．已知点是抛物线上的两点，点是线段的中点，则的值为A． B． C． D．【答案】C设 则 ，由中点坐标公式可得 两式相减可得， 则直线的斜率 直线的方程为 即 联立方程可得 故选C．6．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是______________【答案】设的坐标分别为 ，则 ，将两式相减得：，整理得：，根据点恰为弦中点，可知 ，，即直线斜率是 ，故答案为：7．已知抛物线，直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，则直线的斜率__________．【答案】设，因为，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，所以，因为，所以，故答案为：.8．已知双曲线方程为，求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程.【答案】设以为中点的弦的两端点为，，则，，根据对称性知，由，在双曲线上，则有，，两式相减得，，过点且斜率的直线方程为，即，由消去y并整理得：，，从而得直线与双曲线相交，所以以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为.重点题型七：圆锥曲线中的弦长问题1．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）A． B． C． D．【答案】D由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：设，则，所以，解得，则，.弦长|MN|.故选：D.2．已知椭圆x2+4y2＝16，直线l过点其左焦点F1，且与椭圆交于A、B两点，若直线l的斜率是1，则弦长|AB|＝__．【答案】##椭圆的标准方程为1，其中a＝4，b＝2，则c2，，又由直线的斜率为1，则直线的方程为与椭圆的方程联立可得：弦长|AB|；故答案为：3．设椭圆过点，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求弦的长度．【答案】(1)(2)(1)解：将点代入椭圆的方程得，所以．又由，得，即，所以．所以椭圆C的方程为．(2)解：过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，，联立方程，消去得，得，．由弦长公式4．给定椭圆，称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．①请将用含有k的关系式表示（不需给出k的范围）；②求弦长的最大值．【答案】(1)(2)；(1)由题可知，，，又，解得，故椭圆的标准方程为：；(2)①由（1）可求“伴随圆”为：，因为，所以圆心到直线距离为，由圆心到直线距离公式得，解得；②联立直线与椭圆方程，得，由得，由得，，设，则，由弦长公式可得：，当且仅当时取到等号，故5．已知双曲线（，）的右焦点为，离心率，虚轴长为.(1)求的方程；(2)过右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于､两点，求.【答案】(1)；(2).(1)由题意可得：，解得：，所以双曲线的方程为.(2)由（1）知：，所以，可得直线的方程为：，设，，由可得：，所以， ，所以 ，所以弦长.6．直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标等于，求弦的长．【答案】直线代入抛物线，整理可得，设，，由AB的中点的横坐标为2，所以4得：k＝-1或2，当k＝-1时，有两个相等的实数根，不合题意，当k＝2时，|AB|．综上，弦的长为.7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线相交于，两点，求弦长．【答案】(1)(2)(1)解：在抛物线上，且，，则，故抛物线的方程为；(2)解：联立，可得．设，，，，则，，．8．已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，且一个焦点与抛物线：的焦点重合．(1)求双曲线的标准方程；(2)若过抛物线的焦点且斜率为1的直线l与抛物线交于A，B两点，求．【答案】(1)(2)(1)由双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，，又抛物线：的焦点为，则，由已知可得：，解得，所以双曲线的标准方程为．(2)抛物线的焦点坐标为，直线l的斜率为1，直线l的方程为，设，，由得：，，．重点题型八：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题1．已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．【答案】(1)(2)6(1)由题意可得，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；(2)由题意可设的方程为，联立方程得，设，，则由根与系数关系有，所以，根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，所以四边形ABDE面积为，令得，由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．2．已知椭圆C：经过点，其长半轴长为2.(1)求椭圆C的方程：(2)设经过点的直线与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，求的面积的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解：由已知得，∴椭圆C的方程为∵椭圆经过点，∴，解得∴椭圆C的方程为(2)解：由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，，由，消去得，∴，，，∵为点关于轴的对称点，∴，直线的方程为，即令，则∴，∴的面积，令，则，∴，又函数在上单调递增，所以，∴，∴的面积的取值范围是3．已知椭圆的两焦点分别为、，为椭圆上一点，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第二象限，，求△的面积．【答案】(1)(2)(1)解:∵椭圆的两焦点分别为、，∴设椭圆的方程为，，，．，椭圆的标准方程为．(2)解：在△中，由余弦定理得，即，，，．4．已知P是圆O：上一动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)若A是椭圆E的右顶点，过左焦点F且斜率为的直线交椭圆E于M，N两点，求△AMN的面积.【答案】(1)(2)(1)设，，，因为所以从而，代入得即为所求.(2)由，得，所以，,所以过且斜率为的直线的方程为，联立消去x，得，显然，设，，则，∴，∵A是椭圆E的右顶点，∴，∴△AMN的面积.5．在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C1以椭圆C2：1长轴的两个端点为焦点，以C2的焦点为顶点．(1)求C1的标准方程；(2)过（0，1）的直线l与C1的右支相切，且与C2交于点M，N，求 OMN的面积．【答案】(1)(2)(1)解：由题意得双曲线a＝1，c＝2，则b²＝c²﹣a²＝3，所以C1的标准方程为：；(2)设过（0，1）的直线l的方程为y＝kx+1，联立，可得（3﹣k²）x²﹣2kx﹣4＝0，因为直线与双曲线相切，所以Δ＝4k²+16（3﹣k²）＝0，解得k＝±2，因为直线l与双曲线右支相切，所以l方程为：y＝﹣2x+1，联立，可得19x²﹣16x﹣8＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，x1x2，则|MN||x1﹣x2|•，又原点O到直线l的距离d，所以 OMN的面积Sd•|MN|．6．已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4.(1)求双曲线的方程；(2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解：因为双曲线的一条渐近线方程是，所以，即 因为焦距为4，所以，即 因为，所以，所以双曲线的方程为(2)解：由题知双曲线的右焦点为，故设直线的方程为， 则联立方程得，设，，所以，因为直线与双曲线的右支交于A，B两点， 所以，即且，所以，解得：且因为直线与轴交于点，所以，因为，所以所以，点到直线的方程为距离为，所以面积为，令，则，所以，因为在是单调递减函数，所以，所以.所以面积的取值范围为7．已知抛物线C： 的焦点为F，并且经过点A（1，﹣2）．(1)求抛物线C的方程；(2)过原点O作倾斜角为 的直线l交抛物线C于M，N两点，求 的面积．【答案】(1)(2)2(1)把点A（1，﹣2）代入抛物线C：，可得 ，解得p＝2，所以抛物线C的方程为C： ；(2)抛物线的焦点为F（1，0），过原点O作倾斜角为的直线l方程为y=x，联立，解得或．不妨设M（0，0），N（4，4）．则△FMN的面积为 ，所以所求△FMN的面积为2．8．已知椭圆C：的右焦点F与抛物线E：的焦点相同，曲线C的离心率为，为E上一点且．(1)求曲线C和曲线E的方程；(2)若直线l：交曲线C于P、Q两点，1交y轴于点R．求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）．【答案】(1)C：，E：(2)(1)，椭圆C：又，椭圆C：抛物线E：．(2)设，联立由，且，，原点O到直线l距离，，令，所以，当且仅当，，时，等号成立，此时面积最大为．9．已知直线是抛物线的准线，是坐标原点，是上一点，过作，垂足为，已知.(1)求的方程；(2)直线经过的焦点，且与交于两点，若，求的面积.【答案】(1)(2)(1)由题可知准线的方程为.因为，所以.又，所以，故的方程为.(2)由（1）可知.因为，所以直线的方程为，设，联立方程组整理得，则，故.点到直线的距离，则的面积.10．已知抛物线E：（）上一点到其焦点F的距离为2．(1)求实数的值；(2)若过焦点F的动直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作抛物线的切线、，且、的交点为Q，、与y轴的交点分别为M、N．求面积的取值范围．【答案】(1)(2)(1)因为点到其焦点F的距离为2，由抛物线的定义知解得(2)由上问可知，抛物线方程E：设，，（，），设l：，联立，得，判别式，故R，设：联立方程组，消x得，所以所以则：，即，令，得，同理：，，联立，得交点Q的横坐标为，∴∴面积的取值范围是．重点题型九：圆锥曲线中的定点问题1．已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．(1)求椭圆的方程(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：依题意、，又，解得，，所以椭圆方程为，离心率；(2)解：由（1）可知，当直线斜率存在时，设直线为，联立方程得，消去整理得，设，，所以，；因为直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以；即所以，即，所以，即，所以或，当时，直线：，恒过定点，因为直线不过A点，所以舍去；当时，直线：，恒过定点；当直线斜率不存在时，设直线，，，则，且，解得或（舍去）；综上可得直线恒过定点.2．已知椭圆：的焦距为，圆：经过点.(1)求椭圆与圆的方程；(2)若直线：与椭圆C交于点A，B，其中，问：是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【答案】(1)椭圆C：，圆O：(2)为定值，且该定值为0(1)设椭圆C的半焦距为c，根据题意得又∵经过点，∴，解得∴椭圆C的方程为，圆O的方程为.(2)设联立l与椭圆方程，化简整理得则∵∴综上所述，为定值，且该定值为0.3．已知点，点P是圆B：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线BP交于点Q．(1)求点Q的轨迹方程C；(2)过点A的直线l与曲线C交于M，N两点，点E在x轴上且使得对任意直线l，OE都平分．求点E的坐标．【答案】(1)(2)(1)由题意知，，所以，由椭圆定义知点Q的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，设椭圆C：，其中，，即，，则，所以点Q的轨迹方程C为．(2)设，当l与x轴垂直时，恒成立，当l与x轴不垂直时，因为OE都平分，即，所以，设，，直线l的斜率为，则直线l的方程为，又，，所以，又，，所以，即，联立方程组消去y，得，，所以，，代入上式可得，即点．4．已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点、在轴上，双曲线的右支上一点使且的面积为1．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线：与双曲线相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)；(2)证明见解析，.(1)由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得，∵且的面积为1，∴，，∴∴，，∴双曲线的标准方程为．(2)证明：设，，联立与双曲线得，，即，则，又，∵以为直径的圆过双曲线的右顶点∴，即，∴，∴，化简，得，即 ∴，，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾．当时，直线的方程为，过定点，所以直线过定点，该定点的坐标为．5．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且点F与圆M：(x+4)2+y2＝1上点的距离的最大值为1．(1)求p；(2)已知直线l：y＝kx+4与C相交于A，B两点，过点B作平行于y轴的直线BD交直线l'：y＝﹣4于点D．问：直线AD是否过y轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【答案】(1)p＝2(2)直线AD恒过y轴上的一定点(0，0)(1)由抛物线的方程可得焦点F(0，)，圆M：(x+4)2+y2＝1可得圆心M(﹣4，0)，半径r＝1，F到圆M的最大距离为：|FM|+r1，由题意可得11，p＞0，解得：p＝2；(2)由(1)得抛物线的方程为：x2＝4y，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理可得：x2﹣4kx﹣16＝0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣16，由题意可得D(x2，﹣4)，所以直线AD的方程为：y+4(x﹣x2)x，令x＝0，可得y0，所以直线AD恒过y轴上的一定点(0，0)．6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1．(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；(3)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．【答案】(1)y2＝8x(2)（2，4）或（2，-4）(3)证明见解析(1)（1）抛物线的焦点F为，双曲线的渐近线方程为，即，则，解得p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x，(2)设P（x0，y0），由抛物线的定义可知，即，解得x0＝2，将x0＝2代入方程y2＝8x，得y0＝±4，即P的坐标为（2， 4）或（2，-4）．(3)由题意知直线l不能与x轴平行，故方程可设为x＝my+n（n≠0），与抛物线联立得，消去x得y2﹣8my﹣8n＝0，设A（x1，y1）B（x2，y2），则y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，由OA⊥OB，所以，所以x1x2+y1y2＝0，又，所以，即，亦即﹣8n（1）＝0，又n≠0，解得n＝8，所以直线方程为x＝my+8，易得直线l过定点（8，0）．重点题型十：圆锥曲线中的定值问题1．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.【答案】(1)(2)存在点，使得为定值.(1)设，易得，直线的斜率为，直线的斜率为，则，整理得，则曲线E方程为；(2)当直线的斜率为不为0时，设直线的方程为，设定点联立方程组，消可得，设，，可得，，所以.要使上式为定值，则，解得，此时当直线的斜率为0时，，，此时，也符合.所以，存在点，使得为定值.2．已知定点，动点满足：直线，的斜率之积为．(1)求动点的轨迹方程；(2)设的轨迹为．直线过抛物线的焦点且与相交于不同的两点，．在轴上是否存在一个定点，使得的值为定值？若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)1；(2)存在一个定点.(1)设 ，因为直线，的斜率之积为．所以，整理得方程为1 .即动点的轨迹方程为1.(2)因为抛物线的焦点，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入椭圆方程，得，设，则，，，故，令，则,所以，解得m，此时；当直线与轴垂直时，的方程为，代入椭圆方程解得，所以；综上所述：在轴上存在一个定点，使得为定值．3．已知为坐标原点，椭圆的右顶点为，离心率为.动直线与相交于两点，点关于轴的对称点为，点到的两焦点的距离之和为.(1)求的标准方程；(2)若直线与轴交于点，的面积分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)为定值，定值为1(1)解：因为点在椭圆上，由椭圆的对称性，点关于x轴的对称点为也在椭圆上，再由点到的两焦点的距离之和为可得，即，又椭圆的离心率，所以，可得，所以椭圆的方程为：；(2)解：为定值，且定值为1，证明如下：设 ，则，联立，整理可得：，则，直线的方程为：，令，可得；所以当变化时直线与轴交于定点，所以，即为定值，且定值为.4．已知双曲线的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值．【答案】(1)；(2)见解析.(1)虚轴长为4，，即，直线为双曲线的一条渐近线，，，故双曲线的标准方程为．(2)由题意知，，，由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线的方程为，设，，，联立，得，，，，直线的斜率，直线的斜率，，为定值．5．已知双曲线的渐近线方程为：，且过点（1）求双曲线的标准方程（2）过右焦点且斜率不为的直线与交于，两点，点坐标为，求【答案】（1）；（2）（1）由题意可得： 解得：，所以所以双曲线的标准方程为；（2），所以，设直线：，，，由 可得：，所以，，，所以.6．已知抛物线上一点到焦点的距离．(1)求C的方程；(2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：由抛物线定义，得，由题意得，，解得所以抛物线的方程为．(2)证明：①直线斜率不存在时，可设，，，，，又，，，解得，，为垂足，，故存在定点，使得为定值，②直线斜率存在时，设直线，解得，设，，，，则，，因为，所以，得，所以，得，即，当时，过定点，不符合题意；当时，直线过点，所以点在以为直径的圆上，故当为的中点时，定值．7．已知曲线E上的点到的距离比它到直线的距离小1.(1)求曲线E的方程；(2)若直线l经过点F，与曲线相交于A，B两点，与直线相交于点C，已知点，设直线PA，PB，PC的斜率分别为，，，求证：为定值，并求出该定值.【答案】(1)；(2)证明见解析，.(1)由题设，令曲线E上的点为，则，当时，，整理得且，满足前提；当时，，整理得且，不满足前提；所以曲线E的方程为.(2)由题设，直线l的斜率必存在且不为0，设，则，联立，整理可得：，则，，所以，又，，且，，，则，故为定值.重点题型十一：圆锥曲线中的定直线问题1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．【答案】(1)；(2)证明见解析.(1)由题意知，，化简得，解得，故椭圆的方程为；(2)设过点G的直线方程为，，消去x，得，，设，则，所以又，得，所以直线AM的方程为，直线BN的方程为，两式相除，得，即，又，即，解得，即直线AM与BN的交点的横坐标为4，所以直线AM与BN的交点在定直线上.2．已知椭圆的左､右顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，且椭圆的焦距为.(1)求椭圆的标准方程.(2)直线与椭圆交于，（其横坐标）两点，直线与的交点为，试问点是否在定直线上？若在，请给予证明，并求出定直线方程；若不在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，证明见解析，点在定直线(1)由题意可得，，设，则，，所以.因为点在椭圆上，所以，所以，则.因为，且，所以，，故椭圆的标准方程为.(2)设，，联立，整理得，则，.由（1）可知，，则直线的方程为，直线的方程为，从而，即，解得：.故点在定直线上.3．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.【答案】（1）或；（2）证明见解析.解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线联立方程组，，可得，则，（1），，由，可得，即①，②，把①式代入②式，可得，解得，，即直线的方程为或．（2）直线的方程为，直线的方程为，直线与的交点为，故，即，进而得到，又，故，解得故点在定直线上．4．如图所示，P（在函数的左边）与Q（在函数的右边）分别为函数的两个点，F为该抛物线的焦点．（1）若P的坐标为（-2，t），连接PF交抛物线另一点于H点，求H点的坐标；（2）记PQ直线为m，其在y轴上的截距为6，过P作抛物线的切线，交抛物线的准线于M点，连接QF，若QF恰好经过M点，求直线m的方程．【答案】（1）（2，1）；（2）．（1）∵P位于抛物线上，故P的坐标为（-2，1）-又∵F为抛物线的焦点，得2p=4，解得故F：（0，1）则过PF的直线为y=1根据抛物线的对称性，则H点坐标为（2，1）-（2）由（1）可知，抛物线的准线方程应当为y=-1令P：）；Q：设过PQ的直线m为，将其代入抛物线得，故因为P为切点，故其切线方程为,根据化简得 当y=-1时，得，得故M点的坐标为（，-1）Q点的坐标为则MQ直线方程为，其过点（0，1），故有，化简得得，化简得得，故，（舍）故解得4k=2，得k=，直线m的方程为5．设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为.（1）求抛物线的方程；（2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析.（1）由题意，得，则，解得，故抛物线的方程为.（2）证明：设，，，直线的方程为.由得，，.由，，得，，故，化简得.又，故，化简得，即，则或.当点在定直线上时，直线与抛物线只有一个交点，与题意不符.故点在定直线上.6．已知抛物线上的点到其焦点距离为3，过抛物线外一动点作抛物线的两条切线，切点分别为，且切点弦恒过点.（1）求和；（2）求证：动点在一条定直线上运动.【答案】（1），.（2）证明见解析（1）由题意得抛物线方程为，∴，（2）首先推导抛物线切线方程的一般性：设抛物线上的一点为，由，所以抛物线过点的切线的斜率为，切线方程为，化简得.设∴抛物线的切线的方程：抛物线的切线的方程：∵均经过，∴故直线即过，也过故方程：∵它恒过，∴，∴它在上运动.重点题型十二：圆锥曲线中的向量问题1．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点A作倾斜角为的直线与C相交于A，B，且，其中O为坐标原点．(1)求椭圆的离心率e；(2)若，过点F作与直线平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点．①求的值；②点M满足，直线与椭圆的另一个交点为N，若，求的值．【答案】(1)(2)①；②.(1)解：由题意得：，所以，代入椭圆方程得，即，所以椭圆的离心率是；(2)①由（1）知：b=1, ，则椭圆方程为：，设直线方程为：，与椭圆方程联立，消去x得，设，则，则，，所以；②设，因为，所以，则，因为，所以，则，因为P，Q，N在椭圆上，所以，则，即，由①知，所以，解得.2．设，，分别为椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为．(1)求椭圆的焦距；(2)如果，求椭圆的方程．【答案】(1)(2)(1)解：因为直线的倾斜角为且过点，所以直线的方程为，到直线的距离为，，解得，椭圆的焦距.(2)由（1）可得，设，，联立，整理可得，解得①，②，因为，即，所以③，由①③得，④，将④代入②得，整理得⑤，因为，所以，代入⑤得，因为，所以，故椭圆的方程为.3．已知椭圆的焦距为为C上不同的三点，关于原点对称，直线与的斜率之积为．(1)求C的方程；(2)已知直线过点，与C交于两点，求的取值范围．【答案】(1)；(2).(1)设，则，为C上的三点，，直线与的斜率之积为，，，化简整理得，由，，所以椭圆C的方程为.(2)①当直线的斜率不存在时，，，②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.设，则， ， .综上，.的取值范围为.4．已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点的坐标为，过的直线与双曲线交于不同两点、.(1)求双曲线的方程；(2)求的取值范围（为坐标原点）.【答案】(1)；(2)或.(1)解：双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为∵双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，∴， ，∵ ∴，∴双曲线的方程为.(2)解：点的坐标为，设过的直线的方程为，与双曲线方程联立可得消去可得 ①，不符合题意，舍去；②时，得.设，，则， ∴∴.∵，, ∴，∴或 ∴或∴或.5．已知双曲线C的方程为（），离心率为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线交曲线于两点，求的取值范围.【答案】(1)；(2).(1)根据题意，由离心率为，知双曲线是等轴双曲线，所以，故双曲线的标准方程为.(2)当直线斜率存在时，设直线的方程为，则由消去，得到，∵直线与双曲线交于M､N两点，，解得.设，则有，，因此，∵，∴且，故或，故；②当直线的斜率不存在时，此时，易知，，故.综上所述，所求的取值范围是.6．已知椭圆C：的右焦点F与抛物线E：的焦点相同，曲线C的离心率为，为E上一点且.(1)求曲线C和曲线E的方程；(2)若直线l：交曲线C于P､Q两点，交y轴于点R.（i）求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）.（ii）若，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)（i）；（ii）(1)，椭圆C：又，椭圆C：，抛物线E：.(2)（i）设，联立由，且，，原点O到直线l距离，，令，所以，当且仅当，，时，等号成立，此时面积最大为.（ii），，， ，，又，，（）.7．已知抛物线经过点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析(1)∵抛物线过点，．．∴动点的轨迹的方程为．(2)设，，由得，，．，．，或．，舍去．，满足．∴直线的方程为．∴直线必经过定点．
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