人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题第18章平行四边形单元测试(能力提升卷)(原卷版+解析)

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【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】第18章平行四边形单元测试（能力提升卷，八下人教）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023秋•青羊区期末）下列说法中，正确的是（　　）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形2．(2023秋•招远市期末）如图，▱ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，则对角线AC的长为（　　）A．27cm B．17cm C．12cm D．10cm3．(2023秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（　　）A．5 B．4 C．8 D．64．(2023秋•成华区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF．若AC＝10，则EF的长为（　　）A． B．3 C．4 D．55．(2023秋•锦江区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　）A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）6．(2023秋•新泰市期末）刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（　　）A．AB∥CD，AB＝CD B．∠B＝∠D，∠A＝∠C C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，BC＝AD7．(2023秋•南岸区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为（　　）A．12 B．16 C．20 D．408．(2023秋•朝阳区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（　　）A．22 B．24 C．25 D．269．(2023秋•大渡口区校级期末）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝2，BC＝8，则OB的长为（　　）A．5 B． C．4 D．210．(2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（　　）A．2 B．3 C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．(2023秋•宜宾期末）如图，点D、E是AB、AC的中点，若AD＝4，AE＝6，△ABC的周长为30，则DE＝　 　．12．(2023秋•张店区校级期末）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝3BG，S▱BEPG＝1.5，则S▱AEPH＝　 　．13．(2023秋•平遥县期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，要使平行四边形ABCD是矩形请添加一个条件　 　．14．(2023•南京模拟）如图，两个全等的矩形ABCD，CEFG叠放在一起，已知CE＝BC，点G为AC与BD的交点，现给出以下结论：①△CDG为等边三角形；②；③三角形GDH的面积等于矩形ABCD面积的；④CH⊥GD．其中正确的结论有 　 　（填写序号）．15．(2023秋•绿园区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 　 　．16．(2023秋•小店区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝10，CN＝16，则线段AN的长为 　 　．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023秋•碑林区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG．求证：DG＝BE．18．(2023春•雨花区期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．19．(2023秋•绿园区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝6，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，则平行四边形ABCD的面积为 　 　．20．(2023秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．21．（2023•市南区校级一模）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，延长边CD到点F，使DF＝DC，过点F作EF∥AC，连接OF、EC．（1）求证△ODC≌△EDF．（2）连接AF，已知 　 　．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形OCEF的形状，并证明你的结论．条件①：AF＝FC且AC＝2DC；条件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．22．(2023秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为 　 　cm；当点P运动2秒时，线段BQ的长度为 　 　cm；当点P运动5秒时，线段BQ的长度为 　 　cm；（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．23．(2023春•顺义区校级月考）如图，在正方形ABCD中，Q为对角线BD上一点（DQ＞BQ），连接AQ、CQ．（1）求证：AQ＝CQ；（2）过点Q作QR⊥BD交BC于点R，延长CB至点H使BH＝CR，连接AH．①依题意补全图形；②用等式表示AH与CQ之间的数量关系，并证明．【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】第18章平行四边形单元测试（能力提升卷，八下人教）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023秋•青羊区期末）下列说法中，正确的是（　　）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【分析】利用正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定依次判断可求解．【解析】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不合题意；C、对角线互相平分的四边形是菱形，故选项C符合题意；D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．2．(2023秋•招远市期末）如图，▱ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，则对角线AC的长为（　　）A．27cm B．17cm C．12cm D．10cm【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，∴AB+BC＝15cm，AB+BC+AC＝27cm，∴AC＝12cm，故选：C．3．(2023秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（　　）A．5 B．4 C．8 D．6【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可得出答案．【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，∴CD＝AB，∵AB＝12，∴CD＝6．故选：D．4．(2023秋•成华区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF．若AC＝10，则EF的长为（　　）A． B．3 C．4 D．5【分析】由可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．【解析】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴点F为AO中点，又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF＝OD＝BD＝．故选：A．5．(2023秋•锦江区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　）A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）【分析】首先连接AC，BD相交于点E，由在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（6，2），点D的坐标为（0，2），可求得点E的坐标，继而求得答案．【解析】解：连接AC，BD相交于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，∵点A在x轴上，点B的坐标为（6，2），点D的坐标为（0，2），∴BD＝6，AE＝2，∴DE＝BD＝3，AC＝2AE＝4，∴点C的坐标为：（3，4）．故选：C．6．(2023秋•新泰市期末）刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（　　）A．AB∥CD，AB＝CD B．∠B＝∠D，∠A＝∠C C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，BC＝AD【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【解析】解：A、可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；B、可利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；C、不能进行判定，故此选项符合题意；D、可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；故选：C．7．(2023秋•南岸区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为（　　）A．12 B．16 C．20 D．40【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．【解析】解：四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝OD＝4，AO＝OC＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝5，故菱形的周长为4×5＝20．故选：C．8．(2023秋•朝阳区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（　　）A．22 B．24 C．25 D．26【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．【解析】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE，则BE＝2AB＝24，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE＝＝＝26，∴PC+PB的最小值为26，即PC+QD的最小值为26，故选：D．9．(2023秋•大渡口区校级期末）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝2，BC＝8，则OB的长为（　　）A．5 B． C．4 D．2【分析】由三角形相似的性质可得CD＝4，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得OB的长．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD＝BC＝8，∵OM∥AB，∴OM∥CD，∴△AOM∽△ACD，∴，且点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM＝2，∴CD＝4，在Rt△ADC中，，∵在Rt△ABC中，点O是斜边AC上的中点，∴，故选：D．10．(2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（　　）A．2 B．3 C． D．【分析】延长FD到G，使FG＝FE，连接AG，由AF平分∠DFE，可证△GFA≌△EFA（SAS），得AG＝AE，GF＝EF，即可证Rt△ADG≌Rt△ABE（HL），得DG＝BE＝2，设DF＝x，根据∠C＝90°，有（6﹣2）2+（6﹣x）2＝（x+2）2，即可解得答案．【解析】解：延长FD到G，使FG＝FE，连接AG，如图：∵AF平分∠DFE，∴∠GFA＝∠EFA，∵AF＝AF，FG＝FE，∴△GFA≌△EFA（SAS），∴AG＝AE，GF＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADC＝∠ADG＝90°＝∠B，∴Rt△ADG≌Rt△ABE（HL），∴DG＝BE＝2，设DF＝x，则FG＝x+2＝EF，CF＝CD﹣DF＝6﹣x，∵∠C＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴（6﹣2）2+（6﹣x）2＝（x+2）2，解得x＝3，∴DF＝3，故选：B．二．填空题（共6小题）11．(2023秋•宜宾期末）如图，点D、E是AB、AC的中点，若AD＝4，AE＝6，△ABC的周长为30，则DE＝　5　．【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，再根据三角形周长公式计算即可．【解析】解：∵点D、E是AB、AC的中点，AD＝4，AE＝6，∴AB＝2AD＝8，AC＝2AE＝12，DE＝BC，∵△ABC的周长为30，∴AB+AC+BC＝30，∴BC＝30﹣8﹣12＝10，∴DE＝BC＝5，故答案为：5．12．(2023秋•张店区校级期末）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝3BG，S▱BEPG＝1.5，则S▱AEPH＝　4.5　．【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH＝S四边形PFCG，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．【解析】解：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，∴S△PEB＝S△BGP，同理可得S△PHD＝S△DFP，S△ABD＝S△CDB，∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD＝S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，即S四边形AEPH＝S四边形PFCG．∵CG＝3BG，S▱BEPG＝1.5，∴S四边形AEPH＝S四边形PFCG＝3×1.5＝4.5；故答案为：4.5．13．(2023秋•平遥县期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，要使平行四边形ABCD是矩形请添加一个条件　任意写出一个正确答案即可（如AC＝BD或∠ABC＝90°）　．【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．【解析】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：任意写出一个正确答案即可（如AC＝BD或∠ABC＝90°）14．(2023•南京模拟）如图，两个全等的矩形ABCD，CEFG叠放在一起，已知CE＝BC，点G为AC与BD的交点，现给出以下结论：①△CDG为等边三角形；②；③三角形GDH的面积等于矩形ABCD面积的；④CH⊥GD．其中正确的结论有 　①④　（填写序号）．【分析】由矩形的性质可得CG＝DG＝CD，从而可判断①，证明HG＝HD，∠DAC＝30°，从而可判断②，证明，可判断③，由CD＝CG，HG＝HD，可判断④，从而可得答案．【解析】解：∵两个全等的矩形ABCD，CEFG叠放在一起，点G为AC与BD的交点，∴GA＝GC＝GB＝GD＝DC＝DF＝DE，∠ADC＝∠FGC＝90°，CE＝FG＝AD＝BC，∴△GCD为等边三角形，故①符合题意；∴∠DGC＝60°，∠FGD＝∠ADB＝∠CAD＝30°，∵∠AGH＝∠FGC＝90°，∴，∴，故②不符合题意；设S△GHD＝m，∴S△AGD＝3m，S矩形ABCD＝4S△AGD＝12m，∴，故③不符合题意；∵△CGD为等边三角形，∴CG＝CD，而HG＝HD，∴CH是GD的垂直平分线，∴CH⊥DG，故④符合题意．故答案为：①④．15．(2023秋•绿园区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 　　．【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【解析】解：连接AD，∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，∴，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝，∴，∴MN的最小值为；故答案为：．16．(2023秋•小店区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝10，CN＝16，则线段AN的长为 　8　．【分析】连接AE，AF，EN，由正方形的性质可得AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，可证得△ABE≌△ADF（SAS），可得∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，从而可得∠EAF＝90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），可得EN＝FN，设DN＝x，则EN＝FN＝x+10，CE＝x+6，由勾股定理解得x＝24，可得DN＝24，AD＝BC＝40，由勾股定理即可求解．【解析】解：如图，连接AE，AF，EN，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，∴∠EAF＝90°，∴△EAF为等腰直角三角形，∵AN⊥EF，∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），∴EN＝FN，设DN＝x，∵BE＝DF＝10，CN＝16，∴CD＝CN+DN＝x+16，∴EN＝FN＝DN+DF＝x+10，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+16﹣10＝x+6，在Rt△ECN中，由勾股定理可得：CN2+CE2＝EN2，即162+（x+6）2＝（x+10）2，解得：x＝24，∴DN＝24，AD＝BC＝BE+CE＝10+x+6＝40，∴AN＝＝＝8，故答案为：8．三．解答题（共7小题）17．(2023秋•碑林区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG．求证：DG＝BE．【分析】由正方形的性质可得AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，由“SAS”可证△ABE≌△ADG，可得DG＝BE．【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴DG＝BE．18．(2023春•雨花区期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线互相垂直，再根据已知条件即可得四边形AODE是矩形；（2）先由矩形AODE的面积为12，可得AO•OD＝12，再由勾股定理可得OA+OD＝7，进而可得四边形AODE的周长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵EA⊥AO，DE⊥DO，∴∠EAO＝∠DOA＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：由（1）知，四边形AODE是矩形，∴∠AED＝90°，OA＝DE，OD＝AE，∵四边形AODE的面积为12，∴OA•OD＝12，在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2＝25，∴（OA+OD）2＝OA2+2OA•OD+OD2＝25+24＝49，∴OA+OD＝7，∴四边形AODE的周长为2（OA+OD）＝14．19．(2023秋•绿园区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝6，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，则平行四边形ABCD的面积为 　27　．【分析】（1）根据已知条件先证明四边形 AECF为平行四边形，再根据∠AEC＝90°即可得证；（2）由BF平分∠ABC，可求得AB＝AF，在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，则∠BAE＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质，求得BE，再求出AE，由已知BE＝DF进而即可求得AD即可得到答案．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，又∵BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即EC＝AF，∵EC∥AF，EC＝AF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．（2）解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，∵BC∥AD，∴∠AFB＝∠FBC，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，AB＝6，∴∠BAE＝30°∴，∴FD＝BE＝3，∴AD＝AF+FD＝9，∴，故答案为；．20．(2023秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论．（2）利用直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出．【解析】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴△BFC与△BEC都为直角三角形，∵M为BC的中点，∴FM、EM为斜边BC的中点，∴，，∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）在Rt△EBC中，∵∠EBC＝30°，∴CE＝＝＝5（cm）．21．（2023•市南区校级一模）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，延长边CD到点F，使DF＝DC，过点F作EF∥AC，连接OF、EC．（1）求证△ODC≌△EDF．（2）连接AF，已知 　②　．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形OCEF的形状，并证明你的结论．条件①：AF＝FC且AC＝2DC；条件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．【分析】（1）由DF＝DC，EF∥AC，可以证明△ODC≌△EDF；（2）由△ODC≌△EDF推出四边形OCEF是平行四边形，再由OD＝DC证明四边形OCEF是矩形，最后由∠BEC＝45°即可证明四边形OCEF是正方形．【解析】（1）证明：∵EF∥AC，∴∠EFC＝∠DCO，∠FED＝∠DOC，∵DF＝DC，∴△ODC≌△EDF（AAS）；（2）选择②，四边形OCEF是正方形，证明：∵△ODC≌△EDF（AAS），∴OD＝DE，CD＝DF，∴四边形OCEF是平行四边形，∵OD＝DC，∴OD＝DE＝CD＝DF，∴四边形OCEF是矩形，∵∠BEC＝45°，∴∠EOC＝45°，∴∠OEC＝∠EOC，∴OC＝CE，∴四边形OCEF是正方形，22．(2023秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为 　（15﹣t）　cm；当点P运动2秒时，线段BQ的长度为 　7　cm；当点P运动5秒时，线段BQ的长度为 　5　cm；（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．【分析】（1）由路程＝速度×时间，可求解；（2）分四种情况讨论，由平行四边形的性质，列出等式可求解．【解析】解：（1）∵点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，∴AP＝tcm，∴PD＝（15﹣t）cm，当点P运动2秒时，CQ＝2×4＝8cm，∴BQ＝15﹣8＝7cm，当点P运动5秒时，CQ＝4×5＝20cm，∴BQ＝20﹣15＝5cm，故答案为：（15﹣t）；7；5；（2）∵P在AD上运动，∴t≤15÷1＝15，即0＜t≤15，∵以点P、D、Q、B为顶点的平行四边形，已有PD∥BQ，还需满足DP＝BQ，①当点Q的运动路线是C﹣B时，BQ＝15﹣4t，由题意得：15﹣t＝15﹣4t，t＝0 不合题意，②当点Q的运动路线是C﹣B﹣C时，BQ＝4t﹣15，由题意得：15﹣t＝4t﹣15，解得：t＝6；③当点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B时，BQ＝45﹣4t，由题意得：15﹣t＝45﹣4t，解得：t＝10；④当点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B–C时，BQ＝4t﹣45，由题意得：15﹣t＝4t﹣45，解得：t＝12；综上所述，t的值为6或10或12．23．(2023春•顺义区校级月考）如图，在正方形ABCD中，Q为对角线BD上一点（DQ＞BQ），连接AQ、CQ．（1）求证：AQ＝CQ；（2）过点Q作QR⊥BD交BC于点R，延长CB至点H使BH＝CR，连接AH．①依题意补全图形；②用等式表示AH与CQ之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABQ≌△CBQ，即可得证；（2）①根据题意补全图形即可求解；②连接HQ，证明△QBH≌△QRC，进而证明△ADH是等腰直角三角形，即可得出结论【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，又BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴AQ＝CQ；（2）解：①补全图形，如图，②，理由如下，如图，连接HQ，∵QR⊥BD，∠QBR＝45°，∴∠QRB＝45°，∴∠QBR＝∠QRB，∴BQ＝RQ，∠QRC＝∠QBH＝135°，又∵CR＝HB，∴△QBH≌△QRC（SAS），∴QH＝QC，∠HQB＝∠RQC，由（1）可知△ABQ≌△CBQ，∴∠AQB＝∠BQC，∴∠AQH+∠HQB＝∠BQR+∠RQC，∴∠AQH＝∠BQR＝90°，∵AQ＝QC，∴AQ＝HQ，∴△ADH是等腰直角三角形，∴，∴．