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初中人教版18.1.2 平行四边形的判定课后作业题
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这是一份初中人教版18.1.2 平行四边形的判定课后作业题，共62页。试卷主要包含了2 平行四边形的判定等内容，欢迎下载使用。
知识点一
平行四边形的判定
◆1、平行四边形的判定方法
◆2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法.
◆3、平行四边形的联系与区别
区别：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定.
联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系.
知识点二
三角形的中位线
◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且DE =12BC．
◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段.
◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半.
◆5、三角形的中线与中位线
相同点：都是与中点有关的线段.
不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
题型一 利用定义进行平行四边形的判定
【例题1】如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5B．∠3＝∠4C．∠1＝∠2D．∠B＝∠D
【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BDD．∠ABC+∠BAD＝180°
【变式1-2】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 ．
【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
【变式1-4】已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，连结BE．
求证：四边形BEFC为平行四边形．
题型二 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定
【例题2】(2023•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式2-1】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AD∥BCB．∠ABD＝∠BDCC．OB＝ODD．AC⊥BD
【变式2-2】(2023•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．
【变式2-3】(2023春•舒城县校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形．
【变式2-4】(2023•射阳县二模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．
题型三 利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题3】(2023春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上
的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
求证：四边形DBEC是平行四边形．
【变式3-1】下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．2：3：4：5B．3：3：4：4C．4：3：3：4D．4：3：4：3
【变式3-2】如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD＝BC．
（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式3-3】如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
题型四 利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题4】一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【变式4-1】下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3
【变式4-2】如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式4-3】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于点G，交AD于点E，交BC的延长线于点F，∠DEF＝∠CFG．求证：四边形ABCD是平行四边形．
题型五 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题5】(2023•天河区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，
（1）求证；四边形ABCD为平行四边形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式5-1】(2023春•巴中期末）已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是： ．（只需填一个你认为正确的条件即可）
【变式5-2】(2023春•柳南区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式5-3】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
【变式5-4】(2023春•黑山县期末）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点．
（1）求证：OD＝OC．
（2）求证：四边形AFBE平行四边形．
题型六 应用中位线定理求线段的长度
定
【例题6】如图，在▱ABCD中，AD＝10，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式6-1】(2023秋•任城区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF．若∠AFC＝90°，则AC的长度是 ．
【变式6-2】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．12B．1C．72D．7
【变式6-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式6-4】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．12B．14C．24D．21
【变式6-5】(2023春•顺德区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．
题型七 应用中位线定理推理证明
定
【例题7】如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
【变式7-1】(2023•濉溪县校级开学）已知，如图△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E为AD的中点，CE延长线交AB于点F．求证：AF=12FB．
【变式7-2】(2023春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．
【变式7-3】(2023春•城固县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
【变式7-4】如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点．
求证：DE=12（AB﹣AC）
【变式7-5】在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线
（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．
（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．
题型八 平行四边形性质与判定的综合运用
【例题8】(2023春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DFB．AE＝CFC．AF∥CED．∠BAE＝∠DCF
【变式8-1】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（ ）
A．26B．32C．34D．36
【变式8-2】(2023•丰顺县校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的有 个．
【变式8-3】(2023秋•莱阳市期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F．求证：BE＝CF．
【变式8-4】(2023秋•烟台期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长．
【变式8-5】(2023秋•泰山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
题型九 平行四边形的判定与动点运动问题
定
【例题9】(2023春•莲池区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形．
【变式9-1】(2023春•魏县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q以每秒3cm的速度从点D出发，沿DC，CB向B运动，两个点同时出发，在运动 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【变式9-2】(2023春•社旗县期末）在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【变式9-3】(2023秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝ ，BQ＝ ，（分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【变式9-4】(2023秋•任城区校级月考）.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝24cm，E是BC的中点．动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
（1）当动点P运动t（0＜t＜9）秒时，则PD＝ ；（用含t的代数式直接表示）
（2）当动点Q运动t秒时，
①若0＜t＜6，则EQ＝ ；（用含t的代数式直接表示）
②若6＜t＜9，则EQ＝ ；（用含t的代数式直接表示）
（3）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
类别
判定方法
图形
几何语言
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB = CD，AD = CB，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB∥CD，AB = CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AO = CO，DO = BO，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
解题技巧提炼
当已知条件中涉及或易得出四边形的对边分别平行时，应考虑使用平行四边形的定义这种判定方法.
解题技巧提炼
已知一组对边平行，可通过证明这组对边相等来证明平行四边形，“一组对边平行且相等”与“一组对边平行，另一组对边相等”不同，前者指的是同一组对边，后者指的不是同一组对边，不能用来判定平行四边形.
解题技巧提炼
当出现的已知要证明的四边形有一组对边相等，可选择证另一组对边相等，利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定.
解题技巧提炼
当已知条件出现在要证明的四边形的角上时，可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.
解题技巧提炼
当要证明的四边形的对角线交于一点，且易得出其对角线互相平分时，应选择用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.
解题技巧提炼
运用中位线定理求线段长的方法：当题目有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时，常考虑用三角形的中位线来解决，先证出它是三角形的中位线，在利用中位线构造线段之间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段长.
解题技巧提炼
当题中出现有三角形的中点时，联想到三角形中位线定理，应用定理证明两直线的位置关系或线段之间的关系.有时需要添加辅助线构造.
解题技巧提炼
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的；凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
解题技巧提炼
运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题.
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
18.2 平行四边形的判定
知识点一
平行四边形的判定
◆1、平行四边形的判定方法
◆2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法.
◆3、平行四边形的联系与区别
区别：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定.
联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系.
知识点二
三角形的中位线
◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且DE =12BC．
◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段.
◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半.
◆5、三角形的中线与中位线
相同点：都是与中点有关的线段.
不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
题型一 利用定义进行平行四边形的判定
【例题1】如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5B．∠3＝∠4C．∠1＝∠2D．∠B＝∠D
【分析】利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案．
【解答】解：A．∵∠D＝∠5，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A选项不符合题意；
B．∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B选项不符合题意；
C．∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故C选项符合题意；
D．∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BDD．∠ABC+∠BAD＝180°
【分析】先证AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】解：应增加的条件是：∠ABD＝∠CDB，理由如下：
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【变式1-2】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 ．
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴图中平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱CDGH，▱BCFE，▱ADFE，▱AGOE，▱BEOH，▱OFCH，▱OGDF共9个．
即共有9个平行四边形．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
【分析】由等腰三角形的性质得∠DEC＝∠C，再证∠B＝∠DEC，则AB∥DE，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【变式1-4】已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，连结BE．
求证：四边形BEFC为平行四边形．
【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再证∠EBC+∠BCA＝180°，则BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出结论．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠EBA＝∠DCA＝60°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，
∴∠EBC+∠BCA＝180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四边形BEFC为平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明△ABE≌△ACD是解题的关键．
题型二 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定
【例题2】(2023•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
∠BAE=∠DCF∠AEB=∠CFD=90°BE=DF．
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB＝CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【变式2-1】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AD∥BCB．∠ABD＝∠BDCC．OB＝ODD．AC⊥BD
【分析】由平行四边形的判定定理即可得出结论．
【解答】解：添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是∠ABD＝∠BDC，理由如下：
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
又∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟记“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．
【变式2-2】(2023•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．
【分析】证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，DE=12BC，再证明DE＝CF，即可得出结论．
【解答】证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵CF=12BC，
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形DCFE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【变式2-3】(2023春•舒城县校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形．
【分析】与证明四边形ABEO是平行四边形，只需推知AB＝OE且AB∥OE即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD和四边形DOEC都是平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝CD，OE∥CE且OE＝DC，
∴AB∥OE且AB＝OE．
∴四边形ABEO是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
【变式2-4】(2023•射阳县二模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．
【分析】（1）由SAS证明△ABC≌△DEF即可；
（2）由全等三角形的性质得AC＝DF，∠ACB＝∠F，则AC∥DF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
题型三 利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题3】(2023春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上
的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
求证：四边形DBEC是平行四边形．
【分析】先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△DCF和△EBF中，
∠CDF=∠FEB∠DCF=∠EBFFC=BF，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC＝BE，
∴四边形BECD是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质.
【变式3-1】下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．2：3：4：5B．3：3：4：4C．4：3：3：4D．4：3：4：3
【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故只有选项D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对边相等，故不能判定．
【解答】解：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知D正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对边分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
【变式3-2】如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD＝BC．
（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）根据HL可证明Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）由全等三角形的性质得出AB＝DC，AD＝BC，由平行四边形的判定可得出结论．
【解答】证明：（1）在Rt△ACD和Rt△CAB中，
AD=BCAC=CA，
∴Rt△ACD≌Rt△CAB（HL）；
（2）∵△ACD≌△CAB，
∴AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，证明Rt△ABF≌Rt△CDE是本题的关键．
【变式3-3】如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，由等边三角形的性质得出BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，证明△ADE≌△CBF（SAS），得出DE＝BF，则可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，
∵△ABE和△CDF是等边三角形，
∴BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，
∴∠DCB﹣∠DCF＝∠DAB﹣∠BAE，
即∠DAE＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠DAE=∠BCFAE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，
又∵BE＝DF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键．
题型四 利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题4】一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形即可得出结论．
【解答】解：∵一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，
∴度数为88°的两个内角是一组相等的对角，度数为92°的两个内角是另一组相等的对角，
∴这个四边形是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【变式4-1】下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．
【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
【变式4-2】如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】证出AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠DCB＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【变式4-3】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于点G，交AD于点E，交BC的延长线于点F，∠DEF＝∠CFG．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC，进而利用平行线的性质和平行四边形的判定解答即可．
【解答】证明：∵∠DEF＝∠CFG，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCF，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】此题考查平行四边形的判定，关键是根据两组对边平行的四边形是平行四边形解答．
题型五 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题5】(2023•天河区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，
（1）求证；四边形ABCD为平行四边形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由勾股定理可求AO＝13，可得AO＝CO＝13，即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由平行四边形面积公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝90°，
∴AO=AO2+OD2=122+52=13，
∵AC＝26，
∴CO＝AO＝13，
∵OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝2OD＝10，
∴四边形ABCD的面积＝AD×BD＝12×10＝120．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理；证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
【变式5-1】(2023春•巴中期末）已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是： ．（只需填一个你认为正确的条件即可）
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的四边形可知：添加BO＝DO可以使四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：添加BO＝DO，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：BO＝DO．
【点评】本题考查了平行四边形的判定：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【变式5-2】(2023春•柳南区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】利用边角边定理证得△DEC≌△FEB，从而得到DC＝BF，∠C＝∠EBF，进一步得到AB∥DC，然后得到DC＝AB，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD为平行四边形即可．
【解答】证明：在△DEC与△FEB中，
∠CDE=∠F∠DEC=∠BEFEC=BE，
∴△DEC≌△FEB（AAS），
∴DC＝BF，∠C＝∠EBF，
∴AB∥DC，
∵AB＝BF，
∴DC＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【变式5-3】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
【分析】利用平行线的性质得出∠BAE＝∠CFE，由AAS得出△ABE≌△FCE，得出对应边相等AE＝EF，再利用平行四边形的判定得出即可．
【解答】解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
∠BAE=∠CFE∠AEB=∠FECBE=CE，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
∴AE＝EF，
又∵BE＝CE
∴四边形ABFC是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式5-4】(2023春•黑山县期末）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点．
（1）求证：OD＝OC．
（2）求证：四边形AFBE平行四边形．
【分析】（1）利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质即可得解．
（2）此题已知OA＝OB，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．
【解答】证明：（1）∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D，
在△AOC和△BOD中，
∠C=∠D∠COA=∠DOBOA=OB，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OD＝OC；
（2）∵OD＝OC，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴OF=12OD，OE=12OC，
∴EO＝FO，
又∵OA＝OB，
∴四边形AFBE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
题型六 应用中位线定理求线段的长度
定
【例题6】如图，在▱ABCD中，AD＝10，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝10，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF=12BC=12×10＝5．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式6-1】(2023秋•任城区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF．若∠AFC＝90°，则AC的长度是 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE=12BC＝8，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质求出AC．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE=12BC＝8，
∵DE＝4DF，
∴DF=14DE＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝6，
∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，
∴AC＝2EF＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【变式6-2】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．12B．1C．72D．7
【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．
【解答】解：∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG＝AC＝3，GF＝CF，
∵AB＝4，AC＝3，
∴BG＝1，
∵AE是△ABC中线，
∴BE＝CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF=12BG=12，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【变式6-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC＝EF=12AC，由此即可解决问题．
【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC=AB2+BC2=82+62=10，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DF∥BM，DE=12BC＝3，
∴∠EFC＝∠FCM，
∵∠FCE＝∠FCM，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF=12AC＝5，
∴DF＝DE+EF＝3+5＝8．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
【变式6-4】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．12B．14C．24D．21
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG=12BC，EF＝GH=12AD，然后代入数据进行计算即可得解
【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC=BD2+CD2=42+32=5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG=12BC，EF＝GH=12AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
【变式6-5】(2023春•顺德区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝12，根据平行线的性质求出∠ADB，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，EF＝6，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，
∴∠ADB＝∠AFE＝50°，
在△BDC中，BD2+CD2＝122+92＝225，BC2＝225，
则BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°+50°＝140°．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
题型七 应用中位线定理推理证明
定
【例题7】如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
【分析】连接AC，由三角形的中位线定理可得EF=12AC，EF∥AC；GH=12AC，GH∥AC；于是可得EF=GH，EF∥GH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解.
【解答】证明：连接AC ,
∵E，F，G，H是四边形ABCD的中点,
∴EF，HG分别是△BCA和△DCA的中位线,
∴EF∥AC，HG∥AC，且EF=12AC=HG,
∴EF∥HG， EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
【点评】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定，根据三角形中线定义找出EF∥HG、EF=HG是解题的关键．
【变式7-1】(2023•濉溪县校级开学）已知，如图△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E为AD的中点，CE延长线交AB于点F．求证：AF=12FB．
【分析】过点D作DG∥CF，交AB于点G，易证EF是△AGD的中位线，DG是△BCF的中位线，得AF＝GF＝BG，即可得出结论．
【解答】证明：过点D作DG∥CF，交AB于点G，
在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD，
∴DG是△BCF的中位线，
∴BG＝GF，
∵点E为AD的中点，EF∥GD，
∴EF是△ADG的中位线，
∴AF＝GF，
∴AF＝GF＝BG，
∴AF=12FB．
【点评】本题考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确的添加辅助线得到AF＝GF＝BG．
【变式7-2】(2023春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．
【分析】连接EG、GF、FH、EH，根据三角形中位线定理得到EG=12AB，EG∥AB，FH=12AB，FH∥AB，进而得到EG＝FH，EG∥FH，证明四边形EGFH为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论．
【解答】解：EF与GH互相平分，
理由如下：连接EG、GF、FH、EH，
∵E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点，
∴EG是△ADB的中位线，FH是△ACB的中位线，
∴EG=12AB，EG∥AB，FH=12AB，FH∥AB，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
【变式7-3】(2023春•城固县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
【分析】（1）首先根据题干信息证明出△ACD为等腰三角形，然后即可证明出AE垂直平分CD；
（2）在△ABC中利用勾股定理求出AB，进而得到BD，再根据E为CD中点，F为BC中点，即可求出EF的长．
【解答】（1）证明：因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD+∠DCB＝90°，
因为∠ADC+∠DCB＝90°，
所以∠ACD＝∠ADC，
所以AC＝AD，即△ACD为等腰三角形，
因为AE平分∠CAB，
所以AE⊥CD，CE＝DE，
所以AE垂直平分CD；
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
所以AB=AC2+BC2=62+82=10，AD＝AC＝6，
所以BD＝AB﹣AD＝4，
因为点E为CD中点，点F为BC中点，
所以EF为△CBD的中位线，
所以EF=12BD＝2．
【点评】本题考查了三角形中位线定理以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式7-4】如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点．
求证：DE=12（AB﹣AC）
【分析】延长AC、BD交于点F，可以证得△ABF是等腰三角形，则DE是△BCF的中位线，依据三角形中位线定理即可证得．
【解答】证明：延长AC、BD交于点F，
∵在△ABD和△AFD中，
∠BAD=∠FADAD=AD∠ADB=∠ADF=90°，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴AB＝AF，BD＝DF，
又∵E是BC的中点，即ED是△BCF中位线，
∴DE=12CF=12（AB﹣AC）．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，以及等腰三角形的性质，正确证得DE是△BCF中位线是关键．
【变式7-5】在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线
（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．
（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．
【分析】（1）根据三角形中位线定理、角平分线的定义、平行线的性质证明AB＝BC，得到答案；
（2）根据（1）的结论计算即可；
（3）分点F在线段DE上、点F在线段DE的延长线上两种情况，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：（1）∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=12BC，DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵BE是∠B的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB=12AB，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）得，DE=12BC＝5，DF=12AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1；
（3）当点F在线段DE上时，由（2）得，EF=12（BC﹣AB）；
当点F在线段DE的延长线上时，EF=12（AB﹣BC）．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
题型八 平行四边形性质与判定的综合运用
【例题8】(2023春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DFB．AE＝CFC．AF∥CED．∠BAE＝∠DCF
【分析】由平行四边形的性质或全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AE＝CF不能判定四边形AECF一定是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
∴∠AFD＝∠CEB，
在△ADF和△CBE中，
∠ADF=∠CBE∠AFD=∠CEBAD=BC，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∠ABE=∠CDFAB=CD∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
【变式8-1】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（ ）
A．26B．32C．34D．36
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出∠EAO＝∠FCO，再根据平行四边形的判定和性质得出周长即可．
【解答】解：线段EF与AC交于点O且互相平分，得OA＝OC，OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB+CD+BC+AD＝10+6+6+10＝32；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定性质和全等三角形的与判定以及全等三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式8-2】(2023•丰顺县校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的有 个．
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥CD，
∵BD＝2AD，
∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点，
∴BE⊥AC，∴①正确；
∵E、F、分别是OC、OD中点，
∴EF∥DC，CD＝2EF，
∵G是AB中点，BE⊥AC，
∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB，
∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB，
∴四边形BGFE是平行四边形，∴②④正确；
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），∴③正确；
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
【变式8-3】(2023秋•莱阳市期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F．求证：BE＝CF．
【分析】要证明BE＝CF，先证四边形EFDC是平行四边形，再利用BE＝ED转化，进而可求出结论．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF
∴BE＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
【变式8-4】(2023秋•烟台期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形的在得AD＝BC，AD∥BC，再证MD＝NC，即可得出结论；
（2）连接ND，由平行四边形的性质得DC＝MN＝1，再证△NCD是等边三角形，得ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°，然后证∠BDC＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD＝NC．
∵MD∥NC，
∴四边形MNCD是平行四边形；
（2）解：如图，连接ND，
∵四边形MNCD是平行四边形，
∴DC＝MN＝1．
∵N是BC的中点，
∴BN＝CN=12BC．
∵BC＝2CD，
∴CD＝CN．
∵∠C＝60°，
∴△NCD是等边三角形，
∴ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB＝∠DNC，
∵DN＝CN＝BN，
∴∠DBN＝∠BDN=12∠DNC＝30°，
∴∠BDC＝∠CDN+∠BDN＝90°，
∴BC＝2DC＝2，
∴BD=BC2−DC2=22−12=3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式8-5】(2023秋•泰山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
【分析】（1）①由平行线的性质得出∠OAD＝∠OCB，可证明△AOE≌△COF（ASA）；
②证得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出OE＝OF，证出BE＝BF，由等腰三角形的性质得出∠OBF＝∠OBE＝32°，求出∠ABC＝116°，则可得出答案．
【解答】（1）①证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOE和△COF中，
∠OAE=∠OCFAO=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
②同理可证△AOD≌△COB，
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵EF⊥BD，
∴BE＝BF，
∴∠OBF＝∠OBE＝32°，
∴∠EBF＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证明△AOE≌△COF是解题的关键．
题型九 平行四边形的判定与动点运动问题
定
【例题9】(2023春•莲池区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形．
【分析】由题意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设点P运动了t秒，
∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm，
①当BQ＝AP时，且AD∥BC，则四边形APQB是平行四边形，
即15﹣t＝2t，
∴t＝5；
②当CQ＝PD时，且AD∥BC，则四边形CQPD是平行四边形，
即t＝18﹣2t，
∴t＝6，
综上所述：当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，点P运动了5秒或6秒，
故答案为：5或6．
【点评】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
【变式9-1】(2023春•魏县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q以每秒3cm的速度从点D出发，沿DC，CB向B运动，两个点同时出发，在运动 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，CD＝AB＝8cm，BC＝AD＝12cm，当Q在BC上，且PD＝BQ时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则12﹣t＝12+8﹣3t，求解即可．
【解答】解：设运动时间为t妙，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝8cm，BC＝AD＝12cm，
当Q在BC上，且PD＝BQ时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，
则12﹣t＝12+8﹣3t，
解得：t＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式9-2】(2023春•社旗县期末）在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】分两种情形，由平行四边形的判定列出方程，即可解决问题．
【解答】解：分两种情况：
①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，
解得：t=43；
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，
解得：t＝4，
综上所述，t=43s或4s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：43s或4s．
【点评】本题考查了平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式9-3】(2023秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝ ，BQ＝ ，（分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【分析】（1）由路程＝速度×时间，可求解；
（2）由面积关系可求解；
（3）分四种情况讨论，由平行四边形的性质列出方程可求解．
【解答】解：（1）∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，
∴AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∴BQ＝（15﹣3t）cm，
故答案为：t，3t；
（2）设点A到BC的距离为h，
∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍，
∴12×（12﹣t+3t）×h＝2×12×（t+15﹣3t）×h，
∴t＝3；
（3）若四边形APQB是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴t＝15﹣3t，
∴t=154；
若四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴12﹣t＝3t，
∴t＝3，
若四边形APCQ是平行四边形，
∴AP＝CQ，
∴t＝3t，
∴t＝0（不合题意舍去），
若四边形PDQB是平行四边形，
∴PD＝BQ，
∴12﹣t＝15﹣3t，
∴t=32，
综上所述：当t=154或3或32时，点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【变式9-4】(2023秋•任城区校级月考）.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝24cm，E是BC的中点．动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
（1）当动点P运动t（0＜t＜9）秒时，则PD＝ ；（用含t的代数式直接表示）
（2）当动点Q运动t秒时，
①若0＜t＜6，则EQ＝ ；（用含t的代数式直接表示）
②若6＜t＜9，则EQ＝ ；（用含t的代数式直接表示）
（3）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）根据题意即可得结论；
（2）根据BC＝24cm，E是BC的中点，BE＝CE＝12cm，然后即可解决①和②；
（3）分两种情况画图讨论：当PDQE为平行四边形时，当PDEQ为平行四边形时，结合（1）（2），列方程即可解决问题．
【解答】解：（1）当动点P运动t（0＜t＜9）秒时，则PD＝（9﹣t）cm，
故答案为：（9﹣t）cm；
（2）∵BC＝24cm，E是BC的中点．
∴BE＝CE＝12cm，
①若0＜t＜6，则EQ＝（12﹣2t）cm，
故答案为：（12﹣2t）cm；
②若6＜t＜9，则EQ＝（2t﹣12）cm，
故答案为：（2t﹣12）cm；
（3）如图1，当四边形PDQE为平行四边形时，
∵PD＝9﹣t，EQ＝EC﹣CQ＝12﹣2t，
∴9﹣t＝12﹣2t，
∴t＝3；
如图2，当四边形PDEQ为平行四边形时，
∵PD＝9﹣t，EQ＝CQ﹣CE＝2t﹣12，
∴9﹣t＝2t﹣12，
∴t＝7；
综上所述：当运动时间t为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了动点问题，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握分类讨论思想．
类别
判定方法
图形
几何语言
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB = CD，AD = CB，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB∥CD，AB = CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AO = CO，DO = BO，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
解题技巧提炼
当已知条件中涉及或易得出四边形的对边分别平行时，应考虑使用平行四边形的定义这种判定方法.
解题技巧提炼
已知一组对边平行，可通过证明这组对边相等来证明平行四边形，“一组对边平行且相等”与“一组对边平行，另一组对边相等”不同，前者指的是同一组对边，后者指的不是同一组对边，不能用来判定平行四边形.
解题技巧提炼
当出现的已知要证明的四边形有一组对边相等，可选择证另一组对边相等，利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定.
解题技巧提炼
当已知条件出现在要证明的四边形的角上时，可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.
解题技巧提炼
当要证明的四边形的对角线交于一点，且易得出其对角线互相平分时，应选择用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.
解题技巧提炼
运用中位线定理求线段长的方法：当题目有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时，常考虑用三角形的中位线来解决，先证出它是三角形的中位线，在利用中位线构造线段之间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段长.
解题技巧提炼
当题中出现有三角形的中点时，联想到三角形中位线定理，应用定理证明两直线的位置关系或线段之间的关系.有时需要添加辅助线构造.
解题技巧提炼
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的；凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
解题技巧提炼
运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题.
知识点一
平行四边形的判定
◆1、平行四边形的判定方法
◆2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法.
◆3、平行四边形的联系与区别
区别：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定.
联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系.
知识点二
三角形的中位线
◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且DE =12BC．
◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段.
◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半.
◆5、三角形的中线与中位线
相同点：都是与中点有关的线段.
不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
题型一 利用定义进行平行四边形的判定
【例题1】如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5B．∠3＝∠4C．∠1＝∠2D．∠B＝∠D
【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BDD．∠ABC+∠BAD＝180°
【变式1-2】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 ．
【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
【变式1-4】已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，连结BE．
求证：四边形BEFC为平行四边形．
题型二 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定
【例题2】(2023•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式2-1】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AD∥BCB．∠ABD＝∠BDCC．OB＝ODD．AC⊥BD
【变式2-2】(2023•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．
【变式2-3】(2023春•舒城县校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形．
【变式2-4】(2023•射阳县二模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．
题型三 利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题3】(2023春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上
的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
求证：四边形DBEC是平行四边形．
【变式3-1】下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．2：3：4：5B．3：3：4：4C．4：3：3：4D．4：3：4：3
【变式3-2】如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD＝BC．
（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式3-3】如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
题型四 利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题4】一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【变式4-1】下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3
【变式4-2】如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式4-3】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于点G，交AD于点E，交BC的延长线于点F，∠DEF＝∠CFG．求证：四边形ABCD是平行四边形．
题型五 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题5】(2023•天河区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，
（1）求证；四边形ABCD为平行四边形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式5-1】(2023春•巴中期末）已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是： ．（只需填一个你认为正确的条件即可）
【变式5-2】(2023春•柳南区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式5-3】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
【变式5-4】(2023春•黑山县期末）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点．
（1）求证：OD＝OC．
（2）求证：四边形AFBE平行四边形．
题型六 应用中位线定理求线段的长度
定
【例题6】如图，在▱ABCD中，AD＝10，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式6-1】(2023秋•任城区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF．若∠AFC＝90°，则AC的长度是 ．
【变式6-2】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．12B．1C．72D．7
【变式6-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式6-4】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．12B．14C．24D．21
【变式6-5】(2023春•顺德区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．
题型七 应用中位线定理推理证明
定
【例题7】如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
【变式7-1】(2023•濉溪县校级开学）已知，如图△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E为AD的中点，CE延长线交AB于点F．求证：AF=12FB．
【变式7-2】(2023春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．
【变式7-3】(2023春•城固县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
【变式7-4】如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点．
求证：DE=12（AB﹣AC）
【变式7-5】在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线
（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．
（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．
题型八 平行四边形性质与判定的综合运用
【例题8】(2023春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DFB．AE＝CFC．AF∥CED．∠BAE＝∠DCF
【变式8-1】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（ ）
A．26B．32C．34D．36
【变式8-2】(2023•丰顺县校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的有 个．
【变式8-3】(2023秋•莱阳市期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F．求证：BE＝CF．
【变式8-4】(2023秋•烟台期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长．
【变式8-5】(2023秋•泰山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
题型九 平行四边形的判定与动点运动问题
定
【例题9】(2023春•莲池区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形．
【变式9-1】(2023春•魏县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q以每秒3cm的速度从点D出发，沿DC，CB向B运动，两个点同时出发，在运动 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【变式9-2】(2023春•社旗县期末）在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【变式9-3】(2023秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝ ，BQ＝ ，（分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【变式9-4】(2023秋•任城区校级月考）.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝24cm，E是BC的中点．动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
（1）当动点P运动t（0＜t＜9）秒时，则PD＝ ；（用含t的代数式直接表示）
（2）当动点Q运动t秒时，
①若0＜t＜6，则EQ＝ ；（用含t的代数式直接表示）
②若6＜t＜9，则EQ＝ ；（用含t的代数式直接表示）
（3）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
类别
判定方法
图形
几何语言
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB = CD，AD = CB，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB∥CD，AB = CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AO = CO，DO = BO，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
解题技巧提炼
当已知条件中涉及或易得出四边形的对边分别平行时，应考虑使用平行四边形的定义这种判定方法.
解题技巧提炼
已知一组对边平行，可通过证明这组对边相等来证明平行四边形，“一组对边平行且相等”与“一组对边平行，另一组对边相等”不同，前者指的是同一组对边，后者指的不是同一组对边，不能用来判定平行四边形.
解题技巧提炼
当出现的已知要证明的四边形有一组对边相等，可选择证另一组对边相等，利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定.
解题技巧提炼
当已知条件出现在要证明的四边形的角上时，可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.
解题技巧提炼
当要证明的四边形的对角线交于一点，且易得出其对角线互相平分时，应选择用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.
解题技巧提炼
运用中位线定理求线段长的方法：当题目有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时，常考虑用三角形的中位线来解决，先证出它是三角形的中位线，在利用中位线构造线段之间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段长.
解题技巧提炼
当题中出现有三角形的中点时，联想到三角形中位线定理，应用定理证明两直线的位置关系或线段之间的关系.有时需要添加辅助线构造.
解题技巧提炼
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的；凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
解题技巧提炼
运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题.
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
18.2 平行四边形的判定
知识点一
平行四边形的判定
◆1、平行四边形的判定方法
◆2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法.
◆3、平行四边形的联系与区别
区别：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定.
联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系.
知识点二
三角形的中位线
◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且DE =12BC．
◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段.
◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半.
◆5、三角形的中线与中位线
相同点：都是与中点有关的线段.
不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
题型一 利用定义进行平行四边形的判定
【例题1】如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5B．∠3＝∠4C．∠1＝∠2D．∠B＝∠D
【分析】利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案．
【解答】解：A．∵∠D＝∠5，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A选项不符合题意；
B．∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B选项不符合题意；
C．∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故C选项符合题意；
D．∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BDD．∠ABC+∠BAD＝180°
【分析】先证AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】解：应增加的条件是：∠ABD＝∠CDB，理由如下：
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【变式1-2】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 ．
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴图中平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱CDGH，▱BCFE，▱ADFE，▱AGOE，▱BEOH，▱OFCH，▱OGDF共9个．
即共有9个平行四边形．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
【分析】由等腰三角形的性质得∠DEC＝∠C，再证∠B＝∠DEC，则AB∥DE，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【变式1-4】已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，连结BE．
求证：四边形BEFC为平行四边形．
【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再证∠EBC+∠BCA＝180°，则BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出结论．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠EBA＝∠DCA＝60°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，
∴∠EBC+∠BCA＝180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四边形BEFC为平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明△ABE≌△ACD是解题的关键．
题型二 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定
【例题2】(2023•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
∠BAE=∠DCF∠AEB=∠CFD=90°BE=DF．
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB＝CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【变式2-1】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AD∥BCB．∠ABD＝∠BDCC．OB＝ODD．AC⊥BD
【分析】由平行四边形的判定定理即可得出结论．
【解答】解：添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是∠ABD＝∠BDC，理由如下：
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
又∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟记“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．
【变式2-2】(2023•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．
【分析】证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，DE=12BC，再证明DE＝CF，即可得出结论．
【解答】证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵CF=12BC，
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形DCFE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【变式2-3】(2023春•舒城县校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形．
【分析】与证明四边形ABEO是平行四边形，只需推知AB＝OE且AB∥OE即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD和四边形DOEC都是平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝CD，OE∥CE且OE＝DC，
∴AB∥OE且AB＝OE．
∴四边形ABEO是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
【变式2-4】(2023•射阳县二模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．
【分析】（1）由SAS证明△ABC≌△DEF即可；
（2）由全等三角形的性质得AC＝DF，∠ACB＝∠F，则AC∥DF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
题型三 利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题3】(2023春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上
的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
求证：四边形DBEC是平行四边形．
【分析】先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△DCF和△EBF中，
∠CDF=∠FEB∠DCF=∠EBFFC=BF，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC＝BE，
∴四边形BECD是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质.
【变式3-1】下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．2：3：4：5B．3：3：4：4C．4：3：3：4D．4：3：4：3
【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故只有选项D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对边相等，故不能判定．
【解答】解：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知D正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对边分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
【变式3-2】如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD＝BC．
（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）根据HL可证明Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）由全等三角形的性质得出AB＝DC，AD＝BC，由平行四边形的判定可得出结论．
【解答】证明：（1）在Rt△ACD和Rt△CAB中，
AD=BCAC=CA，
∴Rt△ACD≌Rt△CAB（HL）；
（2）∵△ACD≌△CAB，
∴AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，证明Rt△ABF≌Rt△CDE是本题的关键．
【变式3-3】如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，由等边三角形的性质得出BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，证明△ADE≌△CBF（SAS），得出DE＝BF，则可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，
∵△ABE和△CDF是等边三角形，
∴BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，
∴∠DCB﹣∠DCF＝∠DAB﹣∠BAE，
即∠DAE＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠DAE=∠BCFAE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，
又∵BE＝DF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键．
题型四 利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题4】一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形即可得出结论．
【解答】解：∵一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，
∴度数为88°的两个内角是一组相等的对角，度数为92°的两个内角是另一组相等的对角，
∴这个四边形是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【变式4-1】下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．
【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
【变式4-2】如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】证出AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠DCB＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【变式4-3】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于点G，交AD于点E，交BC的延长线于点F，∠DEF＝∠CFG．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC，进而利用平行线的性质和平行四边形的判定解答即可．
【解答】证明：∵∠DEF＝∠CFG，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCF，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】此题考查平行四边形的判定，关键是根据两组对边平行的四边形是平行四边形解答．
题型五 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题5】(2023•天河区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，
（1）求证；四边形ABCD为平行四边形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由勾股定理可求AO＝13，可得AO＝CO＝13，即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由平行四边形面积公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝90°，
∴AO=AO2+OD2=122+52=13，
∵AC＝26，
∴CO＝AO＝13，
∵OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝2OD＝10，
∴四边形ABCD的面积＝AD×BD＝12×10＝120．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理；证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
【变式5-1】(2023春•巴中期末）已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是： ．（只需填一个你认为正确的条件即可）
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的四边形可知：添加BO＝DO可以使四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：添加BO＝DO，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：BO＝DO．
【点评】本题考查了平行四边形的判定：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【变式5-2】(2023春•柳南区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】利用边角边定理证得△DEC≌△FEB，从而得到DC＝BF，∠C＝∠EBF，进一步得到AB∥DC，然后得到DC＝AB，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD为平行四边形即可．
【解答】证明：在△DEC与△FEB中，
∠CDE=∠F∠DEC=∠BEFEC=BE，
∴△DEC≌△FEB（AAS），
∴DC＝BF，∠C＝∠EBF，
∴AB∥DC，
∵AB＝BF，
∴DC＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【变式5-3】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
【分析】利用平行线的性质得出∠BAE＝∠CFE，由AAS得出△ABE≌△FCE，得出对应边相等AE＝EF，再利用平行四边形的判定得出即可．
【解答】解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
∠BAE=∠CFE∠AEB=∠FECBE=CE，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
∴AE＝EF，
又∵BE＝CE
∴四边形ABFC是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式5-4】(2023春•黑山县期末）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点．
（1）求证：OD＝OC．
（2）求证：四边形AFBE平行四边形．
【分析】（1）利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质即可得解．
（2）此题已知OA＝OB，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．
【解答】证明：（1）∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D，
在△AOC和△BOD中，
∠C=∠D∠COA=∠DOBOA=OB，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OD＝OC；
（2）∵OD＝OC，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴OF=12OD，OE=12OC，
∴EO＝FO，
又∵OA＝OB，
∴四边形AFBE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
题型六 应用中位线定理求线段的长度
定
【例题6】如图，在▱ABCD中，AD＝10，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝10，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF=12BC=12×10＝5．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式6-1】(2023秋•任城区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF．若∠AFC＝90°，则AC的长度是 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE=12BC＝8，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质求出AC．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE=12BC＝8，
∵DE＝4DF，
∴DF=14DE＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝6，
∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，
∴AC＝2EF＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【变式6-2】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．12B．1C．72D．7
【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．
【解答】解：∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG＝AC＝3，GF＝CF，
∵AB＝4，AC＝3，
∴BG＝1，
∵AE是△ABC中线，
∴BE＝CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF=12BG=12，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【变式6-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC＝EF=12AC，由此即可解决问题．
【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC=AB2+BC2=82+62=10，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DF∥BM，DE=12BC＝3，
∴∠EFC＝∠FCM，
∵∠FCE＝∠FCM，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF=12AC＝5，
∴DF＝DE+EF＝3+5＝8．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
【变式6-4】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．12B．14C．24D．21
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG=12BC，EF＝GH=12AD，然后代入数据进行计算即可得解
【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC=BD2+CD2=42+32=5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG=12BC，EF＝GH=12AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
【变式6-5】(2023春•顺德区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝12，根据平行线的性质求出∠ADB，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，EF＝6，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，
∴∠ADB＝∠AFE＝50°，
在△BDC中，BD2+CD2＝122+92＝225，BC2＝225，
则BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°+50°＝140°．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
题型七 应用中位线定理推理证明
定
【例题7】如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
【分析】连接AC，由三角形的中位线定理可得EF=12AC，EF∥AC；GH=12AC，GH∥AC；于是可得EF=GH，EF∥GH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解.
【解答】证明：连接AC ,
∵E，F，G，H是四边形ABCD的中点,
∴EF，HG分别是△BCA和△DCA的中位线,
∴EF∥AC，HG∥AC，且EF=12AC=HG,
∴EF∥HG， EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
【点评】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定，根据三角形中线定义找出EF∥HG、EF=HG是解题的关键．
【变式7-1】(2023•濉溪县校级开学）已知，如图△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E为AD的中点，CE延长线交AB于点F．求证：AF=12FB．
【分析】过点D作DG∥CF，交AB于点G，易证EF是△AGD的中位线，DG是△BCF的中位线，得AF＝GF＝BG，即可得出结论．
【解答】证明：过点D作DG∥CF，交AB于点G，
在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD，
∴DG是△BCF的中位线，
∴BG＝GF，
∵点E为AD的中点，EF∥GD，
∴EF是△ADG的中位线，
∴AF＝GF，
∴AF＝GF＝BG，
∴AF=12FB．
【点评】本题考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确的添加辅助线得到AF＝GF＝BG．
【变式7-2】(2023春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．
【分析】连接EG、GF、FH、EH，根据三角形中位线定理得到EG=12AB，EG∥AB，FH=12AB，FH∥AB，进而得到EG＝FH，EG∥FH，证明四边形EGFH为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论．
【解答】解：EF与GH互相平分，
理由如下：连接EG、GF、FH、EH，
∵E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点，
∴EG是△ADB的中位线，FH是△ACB的中位线，
∴EG=12AB，EG∥AB，FH=12AB，FH∥AB，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
【变式7-3】(2023春•城固县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
【分析】（1）首先根据题干信息证明出△ACD为等腰三角形，然后即可证明出AE垂直平分CD；
（2）在△ABC中利用勾股定理求出AB，进而得到BD，再根据E为CD中点，F为BC中点，即可求出EF的长．
【解答】（1）证明：因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD+∠DCB＝90°，
因为∠ADC+∠DCB＝90°，
所以∠ACD＝∠ADC，
所以AC＝AD，即△ACD为等腰三角形，
因为AE平分∠CAB，
所以AE⊥CD，CE＝DE，
所以AE垂直平分CD；
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
所以AB=AC2+BC2=62+82=10，AD＝AC＝6，
所以BD＝AB﹣AD＝4，
因为点E为CD中点，点F为BC中点，
所以EF为△CBD的中位线，
所以EF=12BD＝2．
【点评】本题考查了三角形中位线定理以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式7-4】如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点．
求证：DE=12（AB﹣AC）
【分析】延长AC、BD交于点F，可以证得△ABF是等腰三角形，则DE是△BCF的中位线，依据三角形中位线定理即可证得．
【解答】证明：延长AC、BD交于点F，
∵在△ABD和△AFD中，
∠BAD=∠FADAD=AD∠ADB=∠ADF=90°，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴AB＝AF，BD＝DF，
又∵E是BC的中点，即ED是△BCF中位线，
∴DE=12CF=12（AB﹣AC）．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，以及等腰三角形的性质，正确证得DE是△BCF中位线是关键．
【变式7-5】在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线
（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．
（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．
【分析】（1）根据三角形中位线定理、角平分线的定义、平行线的性质证明AB＝BC，得到答案；
（2）根据（1）的结论计算即可；
（3）分点F在线段DE上、点F在线段DE的延长线上两种情况，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：（1）∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=12BC，DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵BE是∠B的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB=12AB，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）得，DE=12BC＝5，DF=12AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1；
（3）当点F在线段DE上时，由（2）得，EF=12（BC﹣AB）；
当点F在线段DE的延长线上时，EF=12（AB﹣BC）．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
题型八 平行四边形性质与判定的综合运用
【例题8】(2023春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DFB．AE＝CFC．AF∥CED．∠BAE＝∠DCF
【分析】由平行四边形的性质或全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AE＝CF不能判定四边形AECF一定是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
∴∠AFD＝∠CEB，
在△ADF和△CBE中，
∠ADF=∠CBE∠AFD=∠CEBAD=BC，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∠ABE=∠CDFAB=CD∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
【变式8-1】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（ ）
A．26B．32C．34D．36
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出∠EAO＝∠FCO，再根据平行四边形的判定和性质得出周长即可．
【解答】解：线段EF与AC交于点O且互相平分，得OA＝OC，OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB+CD+BC+AD＝10+6+6+10＝32；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定性质和全等三角形的与判定以及全等三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式8-2】(2023•丰顺县校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的有 个．
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥CD，
∵BD＝2AD，
∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点，
∴BE⊥AC，∴①正确；
∵E、F、分别是OC、OD中点，
∴EF∥DC，CD＝2EF，
∵G是AB中点，BE⊥AC，
∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB，
∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB，
∴四边形BGFE是平行四边形，∴②④正确；
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），∴③正确；
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
【变式8-3】(2023秋•莱阳市期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F．求证：BE＝CF．
【分析】要证明BE＝CF，先证四边形EFDC是平行四边形，再利用BE＝ED转化，进而可求出结论．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF
∴BE＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
【变式8-4】(2023秋•烟台期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形的在得AD＝BC，AD∥BC，再证MD＝NC，即可得出结论；
（2）连接ND，由平行四边形的性质得DC＝MN＝1，再证△NCD是等边三角形，得ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°，然后证∠BDC＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD＝NC．
∵MD∥NC，
∴四边形MNCD是平行四边形；
（2）解：如图，连接ND，
∵四边形MNCD是平行四边形，
∴DC＝MN＝1．
∵N是BC的中点，
∴BN＝CN=12BC．
∵BC＝2CD，
∴CD＝CN．
∵∠C＝60°，
∴△NCD是等边三角形，
∴ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB＝∠DNC，
∵DN＝CN＝BN，
∴∠DBN＝∠BDN=12∠DNC＝30°，
∴∠BDC＝∠CDN+∠BDN＝90°，
∴BC＝2DC＝2，
∴BD=BC2−DC2=22−12=3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式8-5】(2023秋•泰山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
【分析】（1）①由平行线的性质得出∠OAD＝∠OCB，可证明△AOE≌△COF（ASA）；
②证得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出OE＝OF，证出BE＝BF，由等腰三角形的性质得出∠OBF＝∠OBE＝32°，求出∠ABC＝116°，则可得出答案．
【解答】（1）①证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOE和△COF中，
∠OAE=∠OCFAO=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
②同理可证△AOD≌△COB，
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵EF⊥BD，
∴BE＝BF，
∴∠OBF＝∠OBE＝32°，
∴∠EBF＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证明△AOE≌△COF是解题的关键．
题型九 平行四边形的判定与动点运动问题
定
【例题9】(2023春•莲池区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形．
【分析】由题意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设点P运动了t秒，
∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm，
①当BQ＝AP时，且AD∥BC，则四边形APQB是平行四边形，
即15﹣t＝2t，
∴t＝5；
②当CQ＝PD时，且AD∥BC，则四边形CQPD是平行四边形，
即t＝18﹣2t，
∴t＝6，
综上所述：当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，点P运动了5秒或6秒，
故答案为：5或6．
【点评】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
【变式9-1】(2023春•魏县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q以每秒3cm的速度从点D出发，沿DC，CB向B运动，两个点同时出发，在运动 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，CD＝AB＝8cm，BC＝AD＝12cm，当Q在BC上，且PD＝BQ时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则12﹣t＝12+8﹣3t，求解即可．
【解答】解：设运动时间为t妙，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝8cm，BC＝AD＝12cm，
当Q在BC上，且PD＝BQ时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，
则12﹣t＝12+8﹣3t，
解得：t＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式9-2】(2023春•社旗县期末）在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】分两种情形，由平行四边形的判定列出方程，即可解决问题．
【解答】解：分两种情况：
①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，
解得：t=43；
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，
解得：t＝4，
综上所述，t=43s或4s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：43s或4s．
【点评】本题考查了平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式9-3】(2023秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝ ，BQ＝ ，（分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【分析】（1）由路程＝速度×时间，可求解；
（2）由面积关系可求解；
（3）分四种情况讨论，由平行四边形的性质列出方程可求解．
【解答】解：（1）∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，
∴AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∴BQ＝（15﹣3t）cm，
故答案为：t，3t；
（2）设点A到BC的距离为h，
∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍，
∴12×（12﹣t+3t）×h＝2×12×（t+15﹣3t）×h，
∴t＝3；
（3）若四边形APQB是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴t＝15﹣3t，
∴t=154；
若四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴12﹣t＝3t，
∴t＝3，
若四边形APCQ是平行四边形，
∴AP＝CQ，
∴t＝3t，
∴t＝0（不合题意舍去），
若四边形PDQB是平行四边形，
∴PD＝BQ，
∴12﹣t＝15﹣3t，
∴t=32，
综上所述：当t=154或3或32时，点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【变式9-4】(2023秋•任城区校级月考）.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝24cm，E是BC的中点．动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
（1）当动点P运动t（0＜t＜9）秒时，则PD＝ ；（用含t的代数式直接表示）
（2）当动点Q运动t秒时，
①若0＜t＜6，则EQ＝ ；（用含t的代数式直接表示）
②若6＜t＜9，则EQ＝ ；（用含t的代数式直接表示）
（3）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）根据题意即可得结论；
（2）根据BC＝24cm，E是BC的中点，BE＝CE＝12cm，然后即可解决①和②；
（3）分两种情况画图讨论：当PDQE为平行四边形时，当PDEQ为平行四边形时，结合（1）（2），列方程即可解决问题．
【解答】解：（1）当动点P运动t（0＜t＜9）秒时，则PD＝（9﹣t）cm，
故答案为：（9﹣t）cm；
（2）∵BC＝24cm，E是BC的中点．
∴BE＝CE＝12cm，
①若0＜t＜6，则EQ＝（12﹣2t）cm，
故答案为：（12﹣2t）cm；
②若6＜t＜9，则EQ＝（2t﹣12）cm，
故答案为：（2t﹣12）cm；
（3）如图1，当四边形PDQE为平行四边形时，
∵PD＝9﹣t，EQ＝EC﹣CQ＝12﹣2t，
∴9﹣t＝12﹣2t，
∴t＝3；
如图2，当四边形PDEQ为平行四边形时，
∵PD＝9﹣t，EQ＝CQ﹣CE＝2t﹣12，
∴9﹣t＝2t﹣12，
∴t＝7；
综上所述：当运动时间t为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了动点问题，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握分类讨论思想．
类别
判定方法
图形
几何语言
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB = CD，AD = CB，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB∥CD，AB = CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AO = CO，DO = BO，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
解题技巧提炼
当已知条件中涉及或易得出四边形的对边分别平行时，应考虑使用平行四边形的定义这种判定方法.
解题技巧提炼
已知一组对边平行，可通过证明这组对边相等来证明平行四边形，“一组对边平行且相等”与“一组对边平行，另一组对边相等”不同，前者指的是同一组对边，后者指的不是同一组对边，不能用来判定平行四边形.
解题技巧提炼
当出现的已知要证明的四边形有一组对边相等，可选择证另一组对边相等，利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定.
解题技巧提炼
当已知条件出现在要证明的四边形的角上时，可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.
解题技巧提炼
当要证明的四边形的对角线交于一点，且易得出其对角线互相平分时，应选择用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.
解题技巧提炼
运用中位线定理求线段长的方法：当题目有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时，常考虑用三角形的中位线来解决，先证出它是三角形的中位线，在利用中位线构造线段之间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段长.
解题技巧提炼
当题中出现有三角形的中点时，联想到三角形中位线定理，应用定理证明两直线的位置关系或线段之间的关系.有时需要添加辅助线构造.
解题技巧提炼
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的；凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
解题技巧提炼
运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题.
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