2022-2023学年河北省唐山市高一上学期期末模拟数学试题（解析版）

河北省唐山市2022-2023学年高一年级期末数学模拟试卷

一、单选题

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解出一元二次不等式，再求交集即可.

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：B.

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数真数大于0，分母不为0，偶次根下大于等于0，列出相应的不等式方程组进行求解.

【详解】由已知得，，解得，故定义域为.

故选：A

3. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”.

故选：C

4. 函数对于任意的实数、都有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由指数的运算性质得到，逐一核对四个选项即可得到结论.

【详解】解：由函数，
得，
所以函数对于任意的实数、都有.
故选：B.

【点睛】本题考查了指数的运算性质，是基础题.

5. 设，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别将，，与和进行比较即可.

【详解】∵在上单调递增，

∴，即，

∵在上单调递减且值域为，

∴，即，

∵在区间上单调递增，

∴，即，

综上所述，，，的大小关系为.

故选：B.

6. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知，根据二倍角公式及同角的三角函数关系可得，即可得答案.

【详解】解：因为，

所以.

故.

故选：C.

7. 已知x，y是实数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】由充要条件的定义求解即可

【详解】因为 ，

若，则，

若，则，即，

所以 ，即“”是“”的充要条件，

故选：C.

8. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用零点存在定理即可判断.

【详解】函数的定义域为R.

因为函数均为增函数，所以为R上的增函数.

又，，

，.

由零点存在定理可得：的零点所在的区间为.

故选：C

二、多选题

9. 为了得到函数的图象，只需把余弦曲线（    ）

A. 所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将其向右平移个单位长度

B. 向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位长度

D. 向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【答案】AD

【解析】

【分析】根据三角函数的图象的周期变换、相位变换的结论以及诱导公式进行求解可得答案.

【详解】对于A，把余弦曲线的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，再将其向右平移个单位长度，得到的图象，故A正确；

对于B，把余弦曲线的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将其图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，故B不正确；

对于C，把余弦曲线的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将其图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C不正确；

对于D，把余弦曲线的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将其图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，故D正确；

故选：AD

10. 下列不等式不一定成立的是（    ）

A. （） B. （）

C. （） D. （）

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用特殊值判断A和B；利用完全平方式判断C；根据不等式的性质判断D.

【详解】解：A中，当时，，即，所以A不一定成立；

B中，当时，，所以B不一定成立；

C中，不等式，即恒成立，所以C一定成立；

D中，因为，所以，所以D不成立.

故选：ABD

11. 幂函数，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 函数是偶函数

C.  D. 函数的值域为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据幂函数定义可知，即可解得的值，结合是正整数即可对选项做出判断.

【详解】由幂函数定义可知，系数，解得或，

又因为，所以；故A正确；

时，，其定义域为，且满足，所以函数是偶函数，即B正确；

由可知，函数在为单调递减，所以，所以C错误；

函数的值域为，即D正确；

故选：ABD.

12. 已知函数的定义域为，，，且当时，，则以下结论正确的是（    ）

A.  B. 在内零点之和为6

C. 在区间内单调递减 D. 在内的值域为

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题设的周期为4且关于对称，结合区间解析式画出的部分图象，应用数形结合法及图象的对称性、周期性判断各选项的正误.

【详解】由题设，的周期为4且关于对称，

∴，A正确；

又时，可得的部分图象如下：

由图知：在内6个零点关于对称，故零点之和为6，B正确；

由图象及对称性知：在内单调递增，在内的值域为，C错误，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13. ______．

【答案】

【解析】

【分析】利用诱导公式和两角和公式即可求得.

【详解】由诱导公式可得：

.

故答案为：

14. 如果幂函数的图象过点，那么______．

【答案】

【解析】

【分析】设出幂函数解析式，由已知点坐标求得幂函数解析式，然后求函数值．

【详解】设，由已知，则，∴，

．

故答案为：．

15. 不等式的解集是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据正切函数的性质求解不等式.

【详解】由题设，，则解集为.

故答案为：

16. 已知 ，则函数 _______．

【答案】

【解析】

【分析】采用换元法，令，即可得，即可求得函数解析式.

【详解】令，则，

故，即，

故答案为：.

四、解答题

17. 计算：

（1）；

（2）

【答案】（1）1；    （2）.

【解析】

【分析】（1）由已知，对原式利用指数运算进行化简即可得到答案；

（2）由已知，对原式利用对数运算进行化简即可得到答案；

【小问1详解】

；

【小问2详解】

.

18. 设函数．

（1）求函数最小正周期；

（2）求函数的单调递减区间；

（3）求函数在闭区间内的最大值以及此时对应的x的值．

【答案】（1）   

（2），   

（3）在内的最大值为，此时

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得＝＋根据周期公式计算即可；

（2）令＋2k≤2x－≤＋2k，，计算即可求得的单调递减区间；

（3）由0≤x≤，可得－≤2x－≤，利用正弦型函数性质即可求得最值及对应的的值．

【小问1详解】

f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosx

＝－cos2x＋2cosx

＝－cos2x＋＋sin2x 

＝sin2x－cos2x＋ 

＝＋．
函数f(x)的最小正周期为T＝＝π．

【小问2详解】

令＋2k≤2x－≤＋2k，，

解得＋k≤x≤＋k，，

函数f(x)的单调递减间为，．

【小问3详解】

因为0≤x≤，－≤2x－≤，所以

当2x－＝时，即x＝时，f(x)有最大值为．

19. 关于的不等式：

（1）当时，解关于的不等式；

（2）当时，解关于的不等式．

【答案】（1）或；（2）答案不唯一，具体见解析．

【解析】

【分析】（1）将不等式化为即可求得结果；（2）当时直接求得；当时，原不等式所对应方程根为，注意到，根据两根大小关系讨论不等式解集，需要分不同情况讨论.

【详解】解：（1）当时，原不等式化为，

方程的实数根为，

所以原不等式解集为或．

（2）．

当时，原不等式化为，所以原不等式的解集为．

当时，原不等式所对应方程的根为,

,

当时，，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集；

当时，原不等式的解集为．

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为．

【点睛】本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二次方程根的大小，从而得到解集；易错点是忽略了二次项系数为零的情况，导致情况不完整.

20. 珠海某生物试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是千元.

（1）要使生产该产品2小时获得利润等于30千元，求的取值；

（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，求生产速度的值？并求此最大利润.

【答案】（1）3；（2）该工厂应该选取6千克/小时生产速度，最大利润为610千元.

【解析】

【分析】（1）由题意直接列方程求解即可；

（2）生产120千克该产品所用时间为小时，而每小时可获得的利润是万元，从而可得获得的利润为万元，然后整理换元可求出其最大值.

【详解】（1）由题意可知：，

∴，∴或，

又因为，∴.

（2）∵，，

令，∴，

当即时，∴千元.

答：该工厂应该选取6千克/小时生产速度，利润最大，且最大利润为610千元.

21. 已知函数（且）．

（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性和单调性（不用证明）；

（2）是否存在实数，使得不等式成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）答案见解析   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据对数函数性质求定义域，由奇偶性定义判断奇偶性，由复合函数的单调性得单调性结论（可用定义证明）；

（2）假设存在，分类讨论，由单调性及定义域得出不等式组，解得的范围即可．

【小问1详解】

解：由得．所以的定义域为，

因为函数的定义域关于原点对称，且，

所以为奇函数．

又，内层函数为上的增函数，

∴时是增函数，则为的增函数，

当时是减函数，为上的减函数．

证明如下：设，，，

，时，，

即，

∴时，为的增函数，

同理时，为上的减函数；

【小问2详解】

①当时，在上为增函数，

假设存在实数，使得不等式成立，

则，解得．

②当时，在上为减函数，假设存在实数，

使得不等式成立，则，解得．

综上，①当时，存在，使得不等式成立；

②当时，存在，使得不等式成立．

22. 如图，在平面四边形中，，，．

（1）若，求．

（2）若，求．

【答案】（1）   

（2）．

【解析】

【分析】（1）由两角差的正切公式求得，从而在直角三角形中求得；

（2）设设，表示出，由正弦定理结合三角函数恒等变换求得，再由正弦定理求得．

【小问1详解】

由已知，

所以；

【小问2详解】

设，则，，，

由正弦定理得，

，，

，

，

是锐角，，故解得，

由正弦定理，所以．