2023-2024学年福建省南平三中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省南平三中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中是轴对称图形的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是( )
A. 1，3，3B. 1，2，4C. 1，2，3D. 2，3，7
3.五边形的内角和是( )
A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°
4.如图，在平分角的仪器中，AB=AD，BC=DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是( )
A. SSS
B. ASA
C. SAS
D. AAS
5.如图，能全等的两个三角形是( )
A. ③④B. ②③C. ①②D. ①④
6.在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是( )
A. B.
C. D.
7.如图，在△ABC中，若点D、E分别为边BC、AD的中点，且△ABC的面积等于16，则图中阴影部分的面积为( )
A. 12B. 8C. 6D. 4
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上，AB⊥AD，AD=2cm，则BC的长为( )
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
9.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为30，则△ACO的面积为( )
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24
10.如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形.AN与CM交于点E，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D.下列结论：①AN=BM；②EF//AB；③CE=CF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠ADB.其中正确的是( )
A. ①③④B. ①②③⑤C. ①③⑤D. ①②③④⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.点A(−5,−8)关于x轴的对称点的坐标是______．
12.等腰三角形两边长为3和5，则它的周长是______．
13.如图，在五边形ABCDE中，AB/​/ED，∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为______．
14.如图，作△ABC边AB的垂直平分线，交AB于E点，交BC于D点，连接AD，若BC=9，AC=6，则△ADC的周长______．
15.已知△ABC的三边长为a、b、c，化简|b−a−c|−|a+b−c|的结果是______．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题4分)
已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则这个等腰三角形的底角为______．
17.(本小题8分)
一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
18.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都在格点上，请完成下列问题：
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)△ABC的面积为______；
(3)在x轴上找一点P，使AP+BP最小，在图中画出点P的位置.(不限作图工具，保留作图痕迹)
19.(本小题8分)
如图，点E、F在AC上，∠A=∠C，AD=CB，AE=CF.求证：△AFD≌△CEB．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC边上的一点，且∠CBE=∠CAD.求证：BE⊥AC．
21.(本小题10分)
如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．
(1)证明：△ACD≌△CBE；
(2)求BE的长．
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°
(1)请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接AD，求证：△ABD是等边三角形．
23.(本小题8分)
求证：等腰三角形两腰上的高相等．
24.(本小题12分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC．
(2)写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．
25.(本小题14分)
在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．
(1)如图1，当AE⊥BC时，求证：DE/​/AC；
(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0①如图2，当DE⊥BC时，求x的值．
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：左起第三、第四两个图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
第一、第二两个图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
所以是轴对称图形的个数是2个．
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：A.∵1+3>3，∴能组成三角形，故此选项符合题意；
B.∵1+2<4，∴不能组成三角形，故此选项不合题意；
C.∵1+2=3，∴不能组成三角形，故此选项不合题意；
D.∵2+3<7，∴不能组成三角形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3.【答案】C
【解析】解：五边形的内角和是：
(5−2)×180°
=3×180°
=540°
故选：C．
根据n边形的内角和为：(n−2)×180°(n≥3，且n为整数)，求出五边形的内角和是多少度即可．
此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确n边形的内角和为：(n−2)×180°(n≥3，且n为整数)．
4.【答案】A
【解析】解：在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
故选：A．
利用SSS证明△ABC≌△ADC，可得答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据SAS定理可得①②全等，
故选：C．
利用三角形全等的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，由此可以直接选出答案．
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角三角形).注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6.【答案】C
【解析】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC于某点，因此只有C符合条件，故选C．
根据三角形的高的概念判断．
本题考查了利用基本作图作三角形高的方法．
7.【答案】B
【解析】解：∵点D为边BC中点，△ABC的面积=16，
∴△ABD的面积=△ACD的面积=12△ABC的面积=8，
∵点E为边AD的中点，
∴△BED的面积=12△ABD的面积=4，△ECD的面积=12△ACD的面积=4，
∴图中阴影部分的面积=△BED的面积+△ECD的面积=8，
故选：B．
根据三角形的一条中线可以把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算，即可解答．
本题考查了三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB⊥AD，AD=2m，
∴BD=2AD=4m，∠ADB=60°，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=CD=2m，
∴BC=BD+CD=6cm，
故选：C．
根据等腰三角形的性质可得∠B=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD的长，再证明∠DAC=∠C，可得CD=AD，进一步即可求出BC的长．
本题考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵点O是三条角平分线的交点，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比=AB：AC=10：8=5：4．
∵△ABO的面积为30，
∴△ACO的面积为24．
故选：D．
由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．
此题主要考查角平分线的性质，正确记忆角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：①∵△ACM、△BCN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB(SAS)，
∴AN=BM，∠CMB=∠CAN，故①正确，
③∵∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠MCN=60°=∠ACM，
又∵AC=CM，∠CMB=∠CAN，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE=CF，故③正确，
②∵∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=∠CFE=60°，
∴∠FEC=∠ACM=60°，
∴EF//AB，故②正确；
④∵△ACE≌△MCF，
∴∠AEC=∠MFC，
∵∠AEC+∠CED=180°，
∴∠CED+∠MFC=180°，
∴∠CED不一定等于∠CFM，
∴∠DEF不一定等于∠DFE，
∴DE不一定等于DF，
又∵CE=CF，
∴CD不一定垂直平分EF，故④错误；
⑤如图，过点C作CG⊥AN于G，CH⊥MB于H，
∵△ACN≌△MCB，
∴S△ACN=S△MCB，
∴12AN×CG=12BM×CH，
∴CH=CG，
又∵CD=CD，
∴Rt△CDG≌Rt△CDH(HL)，
∴∠CDG=∠CDH，
∴CD平分∠ADB，故⑤正确；
故选：B．
由“SAS”可证△ACN≌△MCB，可得AN=BM，∠CMB=∠CAN，故①正确；由“ASA”可证△ACE≌△MCF，可得CE=CF，故③正确；可证△CEF是等边三角形，可得∠CEF=∠CFE=60°=∠ACM，可证EF/​/AB，故②正确；由全等三角形的性质可得∠AEC=∠MFC，可得∠CED+∠MFC=180°，则可证DE不一定等于DF，即CD不一定垂直平分EF，故④错误；由全等三角形的性质可得S△ACN=S△MCB，由面积公式可证CG=CH，由“HL”可证Rt△CDG≌Rt△CDH，可得∠CDG=∠CDH，故⑤正确，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】(−5,8)
【解析】解：在平面直角坐标系中，点A(−5,−8)关于x轴的对称点的坐标是(−5,8)．
故答案为：(−5,8)．
根据关于x轴的对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案．
本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
12.【答案】11或13
【解析】解：①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，
∵3+3=6>5，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：3+3+5=11；
②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，
∵5+3=8>5，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：5+5+3=13，
综上所述，它的周长是：11或13．
故答案为：11或13．
由等腰三角形两边长为3、5，分别从等腰三角形的腰长为3或5去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．
此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．
13.【答案】180°
【解析】解：∵五边形的内角和为：(5−2)×180°=540°，
∴∠A+∠E+∠ABC+∠BCD+∠CDE=540°，
∵AB/​/ED，
∴∠A+∠E=180°，
∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°，
∵∠1=180°−∠ABC，∠2=180°−∠BCD，∠3=180°−∠CDE，
∴∠1+∠2+∠3=540°−(∠ABC+∠BCD+∠CDE)=180°．
故答案为：180°．
先根据多边形的内角和定理求出∠A+∠E+∠ABC+∠BCD+∠CDE=540°，再根据AB/​/ED得∠A+∠E=180°，进而得∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°，然后根据邻补角的定义的∠1=180°−∠ABC，∠2=180°−∠BCD，∠3=180°−∠CDE，由此可得∠1+∠2+∠3的度数．
此题主要考查了多边形的内角和，平行线的性质，准确识图，熟练掌握多边形的内角和，平行线的性质是解决问题的关键．
14.【答案】15
【解析】解：∵DE垂直平分线段AB，
∴BD=DA，
∵BC=9，AC=6，
∴△ADC的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=9+6=15，
故答案为：15．
利用线段垂直平分线的性质可得BD=DA，再利用三角形的周长公式计算可得到△ADC的周长．
本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等．
15.【答案】2c−2b
【解析】解：∵△ABC的三边长为a、b、c，
∴bc，
∴|b−a−c|−|a+b−c|
=a+c−b−(a+b−c)
=a+c−b−a−b+c
=2c−2b．
由三角形三边关系定理得到bc，由绝对值的意义即可化简|b−a−c|−|a+b−c|．
本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是由三角形三边关系定理得到bc，由绝对值的意义即可化简求值．
16.【答案】65°或25°
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
如图1，∠ABD=40°，
∴∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=180°−∠A2=65°；
如图2，∠ABD=40°，
∴∠BAD=50°，
∴∠ABC=∠C=12∠BAD=25°．
∴这个等腰三角形的底角为：65°或25°．
故答案为：65°或25°．
首先根据题意画出图形，然后由等腰三角形的性质，即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
17.【答案】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得(n−2)·180°=3×360°−180°，
n−2=6−1，
n=7．
∴这个多边形的边数是7．
【解析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
18.【答案】72
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点A1的坐标为(−4,2)．
(2)△ABC的面积为12×(2+3)×3−12×2×1−12×3×2=152−1−3=72．
故答案为：72．
(3)如图，取点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，连接AP，
此时AP+BP=A′P+BP=A′B，为最小值，
则点P即为所求．
(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
(2)利用割补法求三角形的面积即可．
(3)取点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，则点P即为所求．
本题考查作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】证明：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
在△AFD和△CEB中，
AF=CE∠A=∠CAD=CB，
∴△AFD≌△CEB(SAS)．
【解析】根据AE=CF求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
20.【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC．
【解析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．
21.【答案】(1)证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
∠E=∠ADC∠EBC=∠DCACB=AC，
∴△CEB≌△ADC(AAS)，
(2)解：由(1)可知，△ACD≌△CBE，
∴BE=CD，CE=AD=2.5cm，
∵CD=CE−DE，DE=1.7cm，
∴CD=2.5−1.7=0.8(cm)，
∴BE=0.8cm，
即BE的长为0.8cm．
【解析】(1)由AAS证明△CEB≌△ADC即可；
(2)由全等三角形的性质得BE=CD，CE=AD=2.5cm，再求出CD的长，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】(1)解：如图所示：DE即为所求；
(2)证明∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠C=30°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°，
∴∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形．
【解析】(1)利用线段垂直平分线的作法作图即可；
(2)首先利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等证明AD=CD，进而可得到∠ADB的度数，然后再计算出∠B的度数，进而可得结论．
此题主要考查了等边三角形的判定和线段垂直平分线的作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
23.【答案】解：已知：AB=AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D．
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD．
【解析】根据已知画出图形，易证△ACE≌△ABD，根据全等三角形的性质，得CE=BD．
本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；证明的步骤是：先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证，最后写出证明过程．
24.【答案】证明：(1)∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
∴点D在∠BAC的角平分线上，
∴AD平分∠BAC；
(2)AB+AC=2AE．
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴∠E=∠AFD=90°，
在△AED与△AFD中，
∠EAD=∠CAD∠E=∠AFDAD=AD,
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定．
(1)根据“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE=DF，则根据到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得AD平分∠BAC；
(2)由(1)得AD平分∠BAC可得∠EAD=∠FAD，则可证△AED≌△AFD，故AE=AF，从而得出结论．
25.【答案】(1)证明：∵∠BAC=90°，AE⊥BC，
∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，
∴∠CAF=∠B，
由翻折可知，∠B=∠E，
∴∠CAF=∠E，
∴AC/​/DE；
(2)①∵∠C=2∠B，∠C+∠B=90°，
∴∠C=60°，∠B=30°，
∵DE⊥BC，∠E=∠B=30°，
∴∠BFE=60°，
∵∠BFE=∠B+∠BAF，
∴∠BAF=30°，
由翻折可知，x°=∠BAD=12∠BAF=15°，
∴x=15；
②存在，x=22.5或45；
解：∠BAD=x°，
∵∠ADE=∠ADB=180°−30°−x°=150°−x°，
∴∠ADF=180°−∠ADB=30°+x°，
∴∠FDE=∠ADE−∠ADF=(120−2x)°，
∵∠DFE=∠BAF+∠B=(2x+30)°，
∴当∠EDF=∠DFE时，120−2x=2x+30，
解得，x=22.5，
当∠DFE=∠E=30°时，2x+30=30，
解得，x=0，
∵0∴不合题意，故舍去，
当∠EDF=∠E=30°，120−2x=30，
解得，x=45，
综上可知，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等，且x=22.5或45．
【解析】(1)根据折叠的性质得到∠B=∠E，根据平行线的判定定理证明；
(2)①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质计算即可；
②分∠EDF=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可．
本题考查的是翻转变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握三角形内角和等于180°、翻转变换的性质是解题的关键．