2023-2024学年广西柳州市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西柳州市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 绿色饮品B. 绿色食品
C. 有机食品D. 速冻食品
2.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 2x+y=1B. x2+3xy=6C. x+1x=4D. x2=3x−2
3.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )
A. 点数的和为1B. 点数的和为6C. 点数的和大于12D. 点数的和小于13
4.下列各点中，不在反比例函数y=6x图象上的点是( )
A. (1,6)B. (−6,−1)C. (6,1)D. (2,−3)
5.如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为( )
A. 10
B. 9
C. 8
D. 5
6.已知x=3是方程x2−4x+c=0的一个根，则c的值是( )
A. −21B. −3C. 3D. 21
7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD.若∠BAC=28°，则∠D的度数是( )
A. 56°
B. 58°
C. 60°
D. 62°
8.电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为( )
A. 3(1+x)=10B. 3(1+x)2=10
C. 3+3(1+x)2=10D. 3+3(1+x)+3(1+x)2=10
9.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(1,0)，对称轴是直线x=−32，根据图象判断以下说法正确的是( )
A. b2−4ac<0B. 4a+c<0
C. 若y>0，则−410.如图，正方形ABCD，边长AB=2，对角线AC、BD相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小值为( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点P(−5,3)关于原点对称点P′的坐标是______．
12.已知线段PQ=2cm，以P为圆心，1.5cm为半径画圆，则点Q与⊙P的位置关系是点Q在______.(填“圆内”、“圆外”或“圆上”)
13.已知二次函数y=3(x−a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是______．
14.请你给出一个c值，c= ______ ，使方程x2−3x+c=0无实数根．
15.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=5，则BE的长度为______．
16.如图，已知点P是y轴正半轴上一点，过点P作EF/​/x轴，分别交反比例函数y=4x(x>0)和y=kx(x<0)图象的于点E和点F，以EF为对角线作平行四边形EMFN.若点N在x轴上，平行四边形EMFN的面积为10，则k的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：x2−6x−18=0．
四、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，△ABC位于一平面直角坐标系中．
(1)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
(2)在(1)的操作下，求点B经过的路径长.(结果保留π)
19.(本小题6分)
已知：如图，PA是⊙O的切线，A是切点．B为⊙O上一点，PA=PB.求证：PB是⊙O的切线．
20.(本小题8分)
某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分，两边足够长)，用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，AD两边)，设AB=x米．
(1)若花园的面积为300米 ​2，求x的值；
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园的面积能否为400米 ​2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
21.(本小题8分)
如图，直线y1=x+1与双曲线y2=kx(k为常数，k≠0)交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为(m,2)．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)结合图象直接写出当y122.(本小题8分)
如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下.以喷水池中心为原点，水平方向为x轴、中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水柱高度y(单位：m)与水柱距离喷水池中心的水平距离x(单位：m)之间的关系如图2所示.当水流与中心线的水平距离为2m时，达到最大高度3.61m，此时水柱刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高2.61m．
(1)求如图2所示抛物线的解析式．
(2)为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用(p,0)表示.(仅考虑y轴右侧的情况)．
①求p的取值范围；
②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时p的值______ ．
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，把边CB绕点C旋转到CF．

(1)如图1，连接AF，使FA=FC，BC=2AB=4，求F到AC的距离；
(2)如图2，连接FB交AC于点D，当BD⊥AC时，在BC边取一个点E，使BE=BA，过点E作BC的垂线交AC于点H，交CF于点M，交BF延长线于点G，求证：BE+GM=MC；
(3)如图3，若∠BCF=90°，连接AF，点N是Rt△ACB内部一个动点，连接AN、BN使∠NAB=∠CBN，连接CN、NF，若AB=2 2，BC= 6，当CN取最小时，请直接写出△CNF的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；
B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；
C、原式为分式方程，不符合题意；
D、原式为一元二次方程，符合题意，
故选：D．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意；
B、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意；
C、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=6x，
∴xy=6，
A、∵1×6=6，
∴点(1,6)在反比例函数y=6x图象上，故本选项不符合题意；
B、∵−6×(−1)=6，
∴点(−6,−1)在反比例函数y=6x图象上，故本选项不符合题意；
C、∵6×1=6，
∴点(6,1)在反比例函数y=6x图象上，故本选项不符合题意；
D、∵2×(−3)=−6≠6，
∴点(2,−3)不在反比例函数y=6x图象上，故本选项符合题意．
故选：D．
根据反比例函数解析式可得xy=6，然后对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5.【答案】A
【解析】解：
设⊙O的半径为R，则OE=R−1，
∵AB⊥CD，AB=6，
∴AE=BE=3，∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO2=AE2+OE2，
R2=(R−1)2+32，
解得：R=5，
即CD=10，
故选：A．
设⊙O的半径为R，则OE=R−1，根据垂径定理求出AE=BE=3，∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理得出方程R2=(R−1)2+32，求出方程的解即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是求出AE的长和得出关于R的方程，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
6.【答案】C
【解析】解：∵x=3是方程x2−4x+c=0的一个根，
∴9−12+c=0，
解得：c=3．
故选：C．
直接把x的值代入求出答案．
此题主要考查了一元二次方程的解，正确把x的值代入是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=28°，
∴∠B=90°−∠BAC=62°，
∴∠B=∠D=62°，
故选：D．
连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B=62°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
若把增长率记作x，则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元，
依题意得：3+3(1+x)+3(1+x)2=10．
故选：D．
9.【答案】C
【解析】解：A、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故本选项说法错误，不符合题意；
B、∵抛物线与x轴交于点(1,0)，
∴a+b+c=0，
∵抛物线的对称轴是直线x=−32，
∴−b2a=−32，
∴b=3a，
∴4a+c=0，故本选项说法错误，不符合题意；
C、∵抛物线与x轴交于点(1,0)，对称轴是直线x=−32，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−4,0)，
∴若y>0，则−4D、当x<−32时，y随x的增大而增大，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
根据抛物线与x轴的交点情况，抛物线的对称性、抛物线的性质判断即可．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，正确理解二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点的关系是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，∠ODC=∠OCB=45°，OC⊥OD，
∵∠EOF=90°=∠COD，
∴∠DOF=∠COE，且OC=OD，∠ODC=∠OCB=45°，
∴△OEC≌△OFD(ASA)
∴OE=OF，且∠EOF=90°，
∴EF= 2OE，
∴OE取最小值，EF有最小值，
当OE⊥BC时，OE有最小值，
∵OB=OC，∠BOC=90°，OE⊥BC，
∴OE=12BC=1，
∴EF的最小值为 2，
故选：C．
由“ASA”可证△OEC≌△OFD，可得OE=OF，可得EF= 2OE，则OE取最小值，EF有最小值，当OE⊥BC时，OE有最小值，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△OEC≌△OFD是本题的关键．
11.【答案】(5,−3)
【解析】解：点P(−5,3)关于原点对称点P′的坐标是(5,−3)，
故答案为：(5,−3)．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】圆外
【解析】解：∵⊙O的半径为1.5cm，PQ=2cm，
∴2>1.5，
∴点Q在圆外．
故答案为：圆外．
根据点的圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d13.【答案】a≤2
【解析】解：二次函数y=3(x−a)2的对称轴为直线x=a，
∵当x>a时，y的值随x值的增大而增大，
∴a≤2．
故答案为：a≤2．
根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：由题意知△=9−4c<0，
∴c>94，
满足条件c值有很多，例如：3、4、5．
故填：3(大于94即可)．
由于方程无实数根，则△<0，由此建立关于c的不等式，然后解不等式即可求出c的取值范围．
总结：
1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
2、本题为开放题，不仅考查了知识点，还能张显学生个性化的答案．
15.【答案】5
【解析】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE=AB，
∵AB=5，
∴BE=5．
故答案为：5．
根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE=AB=5．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】−6
【解析】解：连接OF、OE，
∵EF//x轴，
∴S△EFN=S△EFO，
又∵四边形FNEM是平行四边形，EF为对角线，
∴S△EFN=12S▱FNEM=12×10=5，
由反比例函数系数k的几何意义得，
S△FOP=12|k|，S△EOP=12×|4|=2，
又∵S△EFO=S△FOP+S△EOP=12|k|+2=5，
∴|k|=6，
解得k=−6，k=6>0(舍去)，
故答案为：−6．
连接OE、OF，利用反比例函数系数k的几何意义可得S△FOP=12|k|，S△EOP=12×|4|=2，再根据同底等高的三角形面积相等，得到S△EFN=S△EFO，由平行四边形的面积为10可求出S△EFN=12S▱FNEM=5，进而求出答案
本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确应用的前提．
17.【答案】解：x2−6x+9=27，
(x−3)2=27，
x−3=±3 3，
所以x1=3+3 3，x2=3−3 3．
【解析】先把27移到方程右边，再两边加上9，利用完全平方公式得到(x−3)2=27，然后利用直接开平方法求解．
本题考查了解一元二次方程−配方法：把方程左边含未知数的项配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)∵OB= 12+22= 5，
∴点B经过的路径长为90π× 5180= 52π．
【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．
本题考查作图−旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解答本题的关键．
19.【答案】证明：连接OA、OB、OP，如图：
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
在△OBP和△OAP中，
OB=OAPB=PAOP=OP，
∴△OBP≌△OAP(SSS)，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB⊥OB，
又∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线．
【解析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得出∠OAP=90°，证明△OBP≌△OAP(SSS)，得出∠OBP=∠OAP=90°，即可得出结论．
本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵AB=x米，
∴BC=(40−x)米，
由题意得：x(40−x)=300，
解得：x1=10，x2=30，
即x的值为10或30；
(2)花园的面积不能为400米 ​2，理由如下：
由题意得：x(40−x)=400，
解得：x1=x2=20，
当x=20时，40−x=40−20=20，
即当AB=20米，BC=20米<24米，这棵树没有被围在花园内，
∴将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园的面积不能为400米 ​2．
【解析】(1)由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
(2)根据题意可得方程x(40−x)=400，求出x的值，然后再根据P处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)把A(m,2)代入直线y=x+1，可得2=m+1，
解得m=1，
∴A(1,2)，
把A(1,2)代入双曲线y2=kx(k为常数，k≠0)，可得k=2，
∴双曲线的解析式为y=2x；
(2)解y=x+1y=2x得x=1y=2或x=−2y=−1，
∴D(−2,−1)，
由图象可知，当y1【解析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．
(1)把点A的坐标(m,2)代入直线y=x+1，求得m，然后再代入双曲线y2=kx(k为常数，k≠0)，根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
(2)解析式联立，解方程组求得就点D的坐标，然后根据图象即可求得．
22.【答案】5
【解析】解：(1)由题意可知，该抛物线的顶点坐标为(2,3.61)，点A(0,2.61)，
设该抛物线的解析式为y=a(x−2)2+3.61，
将点A(0,2.61)代入，可得2.61=a(0−2)2+3.61，
解得a=−14，
∴该抛物线的解析式为y=−14(x−2)2+3.61；
(2)①对于抛物线y=−14(x−2)2+3.61，
当y=0时，可有0=−14(x−2)2+3.61，
解得x=5.8或x=−1.8(舍去)，
根据题意，喷水头向中心线沿直线滑动，若要求喷水柱最高点不能超过中心线，如下图，
则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，
此时抛物线解析式为y=−14x2+3.61，
令y=0，即有0=−14x2+3.61，
解得x=3.8或x=−3.8(舍去)，
∴p的取值范围为3.8≤p≤5.8；
②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为k m，
则抛物线解析式为y=−14(x−2+k)2+3.61，
当水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，即此时抛物线经过点(0,3.25)，
将点(0,3.25)代入抛物线y=−14(x−2+k)2+3.61，
可得3.25=−14(0−2+k)2+3.61，
解得k=0.8或k=3.2(滑动距离超出①中范围，舍去)，
∴此时抛物线解析式为y=−14(x−2+0.8)2+3.61=−14(x−1.2)2+3.61，
令y=0，即有0=−14(x−1.2)2+3.61，
解得x=5或x=−2.6(舍去)，
∴此时喷头位置为(5,0)．
故答案为：5．
(1)由题意可知，该抛物线的顶点坐标为(2,3.61)，点A(0,2.61)，设该抛物线的解析式为y=a(x−2)2+3.61，将点A(0,2.61)代入求解即可；
(2)对于抛物线y=−14(x−2)2+3.61，当y=0时，可解得x=5.8或x=−1.8(舍去)；
则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，此时抛物线解析式为y=−14x2+3.61，令y=0，即有0=−14x2+3.61，解得x=3.8或x=−3.8(舍去)，即可确定p的取值范围；②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为k m，则抛物线解析式为y=−14(x−2+k)2+3.61，根据题意，将点(0,3.25)代入并求解，可得k=0.8，即可确定此时抛物线解析式为y=−14(x−1.2)2+3.61，再令y=0，求解即可确定此时喷头位置．
本题主要考查了利用二次函数解决实际问题，理解题意，利用数相结合的思想分析问题是解题关键．
23.【答案】(1)解：如图1，

作FG⊥AC于G，
∵FA=FC，
∴CG=AG=12AC，
∵∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2= 22+42=2 5，
∴CG= 5，
∵CF=BC=4，
∴FG= FC2−CG2= 42−( 5)2= 11，
∴点F到AC的距离为 11；
(2)证明：如图2，

延长EG至K，使KG=AB，连接AK，
∵AB⊥BC，EG⊥CB，
∴EG//AB，
∴四边形ABKG是平行四边形，
∴AK=BC，∠AKG=∠ABD，
∵FC=CB，
∴∠FCD=∠ACB，
∵∠ABC=∠BGE=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠ACB+∠EBG=90°，
∴∠BAC=∠EBG，
∵AB=BE，
∴△ABC≌△BEG(ASA)，
∴AC=BG，
∴AK=AC，
∴∠AKC=∠ACK，
同理可得，
∠ABD=∠ACB，
∴∠ABD=∠FCD，
∴∠AKG=∠FCD，
∴∠AKC−∠AKG=∠ACK−∠FCD，
∴∠MKC=∠MCK，
∴CM=KM=CK+GM=BE+GM；
(3)解：如图3，

∵∠ABC=90°，
∴∠ABN+∠CBN=90°，
∵∠NAB=∠CBN，
∴∠ABN+∠ABN=90°，
∴∠ANB=90°，
∴点N在以AB为直径的圆O的运动，
∴当点N是OC与⊙O的交点，
∵∠ABC=90°，BC= 6，OB=12AB= 2，
∴OC= OB2+CB2=2 2，
∴OC=OC−ON=2 2− 2= 2，
作NM⊥CB于M，
∴NM/​/AB，
∴CMCB=CNOC=12，
∴CM=12CB= 62，
∴S△FCN=12FC⋅CM=12× 6× 62=32．
【解析】(1)作FG⊥AC于G，先求得AC的长，进而求得CG，进而求得结果；
(2)延长EG至K，使KG=AB，连接AK，可证得四边形ABKG是平行四边形，从而AK=BG，证明△ABC≌△BEG，从而BG=BC，进而得出CF=AK，从而得出∠AKC=∠ACK，可推出∠AKC=∠MCK.从而得出MK=CM，进一步得出结论；
(3)可推出∠ANB=90°，从而得出点N在以AB为直径的圆O的运动，即当点N是OC与⊙O的交点，根据勾股定理求得OC的长，进而求得CN，进而求得FC上的高，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形．