湘教版七年级下册5.2 旋转达标测试

这是一份湘教版七年级下册5.2 旋转达标测试，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·江西省南丰县教育局教学研究室九年级一模）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是（ ）
B．C．D．
2．(2023·江苏九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是（ ）
A．45°B．60°C．62.5°D．67.5°
3．(2023·首都师范大学附属育新学校九年级月考）在中，．在同一平面内，将绕点旋转到，若恰好落在线段上，连接．则下列结论中错误的是（ ）
B．C．D．
4．(2023·山东菏泽市·八年级期末）如图，将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，使点E落在BC边上，则对于结论：①DE＝BC；②∠EAC＝∠DAB；③EA平分∠DEC；④若DE∥AC，则∠DEB＝60°；其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．(2023·陕西九年级学业考试）如图，点A、点B、点C是⊙O上逆时针分布的三点，将沿BC对折后恰好经过圆心O，将沿AC对折后也恰好经过圆心O，则∠ACB的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
6．(2023·武汉市光谷实验中学）四边形ABCD中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=75°，AD=2，DC=3，则BD的长度为（ ）
A．5B．C．D．
7．(2023·濮阳市第一中学九年级月考）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④．其中正确的结论有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．(2023·福建三明市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AC=2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1B．C．D．4
9．(2023·浙江九年级其他模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，DE是△ABC的中位线，点D在AB上，把点B绕点D按顺时针方向旋转α（0°<α<180°）角得到点F，连接AF，BF．下列结论：①△ABF是直角三角形；②若△ABF和△ABC全等，则α=2∠BAC或2∠ABC；③若α=90°，连接EF，则S△DEF=4.5；其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③
10．(2023·河北保定市·九年级一模）如图， 在等边△ABC中， AB=2， 点D在△ABC内或其边上，AD=2， 以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE．设CE的最小值为m； 当ED的延长线经过点B时，， 则m， n的值分别为（ ）
A．，55B．，60
C．2-2，55D．2-2，60
11．(2023·台州市路桥区桐屿镇中学九年级月考）如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论：①∠EAF=45°； ②BE=CD；③EA平分∠CEF； ④，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．(2023·宜兴市实验中学八年级期中）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．
13．(2023·台州市路桥实验中学九年级月考）如图，边长为2a的等边△ABC中，D为BC中点，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．aB．C．D．
二、填空题
14．(2023·江苏南通市·九年级期末）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______．
15．(2023·湖北武汉市·八年级期中）在中，，，以CB为边作一个形状等边三角形，则DA的最大值是________．
16．(2023·上海九年级专题练习）平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为____．
17．(2023·江苏扬州市·七年级期末）如图①，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上，将图①中的三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第秒时所在直线恰好平分，则的值为________．
18．(2023·广东东莞市·九年级期末）如图，等边三角形中，点是的中心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于定值；④当时，周长最小．上述结论中正确的有__________（写出序号）．
19．(2023·陕西西安市·高新一中八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点逆时针旋转90°至线段，连接，则的最小值是______．
20．(2023·重庆渝中区·九年级期末）如图，在中，，，，为内一点，则的最小值为__________．
三、解答题
21．(2023·贵州安顺市·九年级期末）如图，在中，是直角边所在直线上的一个动点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接．
（1）如图1，当点E恰好在线段上时，请判断线段和之间的数量关系，并说明理由．
（2）当点E不在直线上时，如图2、图3，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请在图2、图3中选择一个给予证明；若不成立，请直接写出和之间的数量关系．
22．(2023·重庆渝中区·九年级期末）如图，将和拼成一个四边形，其中，，，过点作，垂足为点，连接．
（1）探索线段、、之间有何等量关系，并加以证明；
（2）设，将绕点旋转得，连接、，请直接写出的最大面积．
参考答案
1．B
【分析】
由旋转可得是等腰三角形，旋转角从而可求的度数，再由三角形内角和180度，可计算，最后根据三角形一个外角等于不相邻两个内角和解题即可．
【详解】
是由绕点顺时针旋转后得到的图形，
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．D
【分析】
根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可证△ACD≌△BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰△BEF，则可计算出∠BEF的度数．
【详解】
解：由旋转性质可得： CD＝CE，∠DCE＝90°．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°．
∴∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
∴△ACD≌△BCE．
∴∠CBE＝∠A＝45°．
∵AD＝BF，
∴BE＝BF．
∴∠BEF＝∠BFE＝ 67.5°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题．
3．B
【分析】
A、由旋转知=180º-计算即可，
B、由BC=BC′等边对等角∠B=∠B′，利用旋转角相等∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º=50º，由AC=A′C，∠CAA′=∠CA′A=计算即可，
C、由BC=BC′等边对等角∠B=∠B′，利用旋转角相等∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º计算即可 ，
D、先求∠BAC=180º-∠ACB-∠B，再求∠CAA′，计算∠BAA′=∠BAC+∠CAA′即可．
【详解】
A、∠BAC=180º-，
由旋转知，正确，
B、∴BC=BC′，∴∠B=∠B′，∴AC=A′C，∴∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º=50º，
∴∠CAA′=∠CA′A=，不正确，
C、∴BC=BC′，∴∠B=∠B′，∴AC=A′C，∴∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º=50º，正确
D、∵∠BAC=180º-∠ACB-∠B=25º，∠CAA′=，
∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25º+65º=90º，AB⊥AA′，正确
故选择：B．
【点睛】
本题考查旋转变换问题，掌握旋转图形的性质，会找旋转角，会利用点B′在AB上，求旋转角，利用三角形的内角和求∠CAA′，会求两角和证垂直是解题关键．
4．A
【分析】
由旋转的性质可知，△ABC≌△ADE，DE＝BC，可得①正确；∠CAE＝∠CAB﹣∠BAE，∠DAB＝∠DAE﹣∠BAE，可得∠EAC＝∠DAB，可判定②正确；AE＝AC，则∠AEC＝∠C，再由∠C＝∠AED，可得∠AEC＝∠AED；可判定③正确；根据平行线的性质可得可得∠C＝∠BED，∠AEC＝∠AED=∠C，根据平角的定义可得∠DEB＝60°；综上即可得答案．
【详解】
∵将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，使点E落在BC边上，
∴△ABC≌△ADE，
∴DE＝BC，AE=AC，∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠AED，故①正确；
∴∠CAE＝∠CAB﹣∠BAE，∠DAB＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠EAC＝∠DAB；故②正确；
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠C，
∴∠AEC＝∠AED，
∴EA平分∠DEC；故③正确；
∵DE∥AC，
∴∠C＝∠BED，
∵∠AEC＝∠AED=∠C，
∴∠DEB＝∠AEC＝∠AED =60°，故④正确；
综上所述：正确的结论是①②③④，共4个，
故选：A．
【点睛】
本题考查旋转的性质，旋转前、后的两个图形全等，对应边、对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
5．D
【分析】
连接OC，作OE⊥AC于E，交⊙O于D，作OG⊥BC于G，交⊙O于F，由折叠的性质得OE＝DE＝OD＝OC，由直角三角形的性质得∠OCA＝30°，同理∠OCB＝30°，即可得出答案．
【详解】
连接OC，作OE⊥AC于E，交⊙O于D，作OG⊥BC于G，交⊙O于F，如图所示：
由折叠的性质得：OE＝DE＝OD＝OC，
∴∠OCA＝30°，
同理：∠OCB＝30°，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝60°．
故选：D．
【点睛】
考查了折叠的性质、直角三角形的性质等知识；解题关键是熟练掌握折叠的性质和直角三角形的性质并灵活运用．
6．B
【分析】
将ABD绕点A逆时针旋转60°后，AB与AC重合，得到ACE，易得∠EDC＝135°，所以过点C作CH⊥ED，交ED延长线于H点，得到等腰直角CDH，求出DH、CH长，然后在RtECH中利用勾股定理可求CE值，最后BD＝CE．
【详解】
解：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∴将ABD绕点A逆时针旋转60°后，AB与AC重合，得到ACE，如图所示
∴CE＝BD．
∴AE＝AD，∠EAD＝60°，
∴AED是等边三角形，∠EDA＝60°，DE＝AD＝2．
在EDC中，∠EDC＝60°＋75°＝135°，
过点C作CH⊥ED，交ED延长线于H点，
∴∠CDH＝180°－135°＝45°．
∴CDH是等腰直角三角形，CH＝DH＝CD＝．
∴EH＝ED＋DH＝．
在RtECH中，利用勾股定理可得
CE＝
＝
＝．
所以BD＝．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，通过作旋转辅助线转化角，使得已知线段“归一”组成三角形，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
7．C
【分析】
证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，故结论④错误．
【详解】
解：如图，
由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=OC=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转变换、等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．
8．C
【分析】
将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE，有△ABC与△ADE全等，证明C、D、E三点共线，再根据△ACE为等边三角形即可求解；
【详解】
解：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE，
则有△ABC与△ADE全等．
∴AC=AE，∠ABC=∠ADE．
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°．
∴∠ADC+∠ADE=∠ADC+∠ABC=180°．
∴C、D、E三点共线．
∴BC+CD=DE+DC=CE．
又∵∠CAE等于旋转角，即∠CAE=60°，
∴△ACE为等边三角形．
∴△ACE的面积为．
由旋转可知四边形ABCD的面积等于△ACE的面积
故选：C
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，关键是将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE．
9．C
【分析】
①根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断；
②分两种情况讨论：或，分别求α即可 ；
③先根据题意画出图形，首先证明 ，然后得出，最后利用即可求解．
【详解】
①∵DE是△ABC的中位线，
．
由旋转可知，
，
．
，
，
即 ，
∴△ABF是直角三角形，故①正确；
，
．
若△ABF和△ABC全等，
当时，
；
当时，
，
综上所述，若△ABF和△ABC全等，则α=2∠BAC或2∠ABC，故②正确；
过点F作交ED的延长线于点G，
∵DE是的中位线，
，
．
，
．
，
，
．
，
．
，D为AB中点，
．
在和中，

，
，故③正确；
所以正确的有：①②③．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
10．D
【分析】
先判断点E在以A为圆心，2为半径的圆上，利用三角形三边关系得到CE≥AC-AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），从而可求得m的值；当ED的延长线经过点B时，如图，通过证明△ABD≌△ACE可得∠ADB=∠AEC，然后再求得∠AED的度数即可求得答案．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，∠BAC=60°，
∵△ADE是边长为2的等边三角形，
∴点E在以A为圆心，2为半径的圆上，
∴CE≥AC-AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），
∴m=AC-2=2-2；
当ED的延长线经过点B时，如图，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠DAE=∠AED=60°，AD=AE，
∴∠BAC-∠DAC=∠CAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，
而∠ADB=180°-∠ADE=120°，
∴∠AEC=120°，
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°，
即：n=60°，
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
11．C
【分析】
根据等腰直角三角形求出∠ABC=∠C=45°，根据旋转得出BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，∠FBA=∠C，即可判断①，证△EAF≌△EAD，即可判断③，求出BF=DC，∠FBE=90°，根据勾股定理即可判断④，根据已知判断②即可．
【详解】
解：正确的有①③④，
理由是：∵在Rt△ABC 中，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°，∴①正确；
即∠FAE=∠DAE=45°，
在△FAE和△DAE中
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴∠FEA=∠DEA，
即EA平分∠CEF，∴③正确；
∴EF=DE，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠C=∠FBA=45°，BF=DC，
∵∠ABC=45°，
∴∠FBE=45°+45°=90°，
在Rt△FBE中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE2+DC2=DE2，∴④正确；
不能推出BE=DC，∴②错误；
∴正确的个数是3个；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，旋转的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
12．A
【分析】
如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小；
【详解】
如图，取AB的中点E，连接CE，PE，则AE＝BE＝4．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∵BE＝AE，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE，
∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，
∴∠QBC＝∠PBE，
∵QB＝PB，CB＝EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），
∴QC＝PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE＝4，∠A＝30°，
∴PE＝AE＝2，
∴CQ的最小值为2，
故选：A．
【点睛】
本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
13．D
【分析】
连接MD，根据等边三角形的性质可得BH=BD，再求出∠HBN=∠MBD，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBD≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MD，然后根据垂线段最短可得MD⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【详解】
解：如图，连接MD，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠DBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BD，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBD和△NBH中，
，
∴△MBD≌△NBH（SAS），
∴MD=NH，
根据垂线段最短，MD⊥CH时，MD最短，即HN最短，
此时∵∠BCH=×60°=30°，CD=AB=×2a=a，
∴MD=CD=×a=，
∴HN=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
14．1.5
【分析】
由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
【详解】
解：由旋转的性质可得：AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=2，BC=3.5，
∴CD=BC-BD=3.5-2=1.5．
故答案为1.5．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
15．5．
【分析】
将△BAC绕点B逆时针旋转60º，易知△ABA′为等边三角形，当A、A′、D三点在一线时AD最大，AD最大=AA′+A′D．
【详解】
如图以点B为旋转心，将△BAC逆时针旋转60º后的图形为△BA′D，
连结AA′，BA=BA′，∠ABA′=60º，
∴△BAA′为等边三角形，
则AA′=BA=2，A′D=AC=3，
当A、A′、D三点在一线时AD最大，AD最大=2+3=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查AD的最值问题，掌握旋转变换的性质，会用旋转变化构造等边三角形，使问题转化为两线段和最大问题使问题得以解决是关键．
16．
【分析】
如图，作轴于点，由旋转可知≌，推出，，可得到，令，，可知，即可知点在直线的图象上运动，设直线交轴于点，交轴于点，作于点，根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，构建方程组确定交点的坐标即可求解．
【详解】
解：如图，作轴于点，设点A的坐标为（0，m)；
，，
，，
，，
，，
，
在与中
，
≌，
，，
，
令，，
，
点在直线上运动，
设直线交轴于点，交轴于点，
作于点，
则直线的解析式为：，
由，
解得：，
，
根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，此时．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识点，正确找到点的运动轨迹是解题的关键．
17．25或55
【分析】
根据平角的定义得到∠BOC＝60°，根据角平分线定义列出方程可求解．
【详解】
解：∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∵OP所在直线恰好平分∠BOC，
∴∠BOP＝∠BOC＝30°，或∠BOP＝180°-30°＝150°，
∴6t＝180-30或6t＝180+150，
∴t＝25或55，
故答案为：25或55．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，考查了角平分线定义，平角的定义，列出正确的方程是本题的关键．
18．①③④
【分析】
连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对①进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=S△ABC，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，计算出S△ODE=OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=a+DE=a+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，
而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD=CE，OD=OE，
∴①正确；
作OH⊥DE于H，如图，则DH=EH，
∵∠DOE=120°，
∴∠ODE=∠OEH=30°，
∴OH=OE，HE=OH=OE，
∴DE=OE，
∴S△ODE=×OE×OE=OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；
故②错误；
设等边三角形ABC的边长为a，
∵△BOD≌△COE，
∴S△BOD=S△COE，
∴四边形ODBE的面积=S△OBC═S△ABC=×，
∴四边形的面积始终等于定值；
故③正确；
∵BD=CE，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=a+DE=a+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=，
∴△BDE周长的最小值=a+，为定值
∴④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
19．
【分析】
作BD⊥x轴，垂直为D，证明△AOC≌△CBD，设点C坐标为（0，m），得到点B坐标为（m，m+1），进而确定点B在直线y=x+1上，从而得到△MON为等腰直角三角形，根据垂线段最短即可求出OB的最小值．
【详解】
解：如图，作BD⊥x轴，垂直为D，
∴∠BDC=∠COA=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACO=90°，
∴∠CBD=∠ACO，
由旋转的性质得AC=CB
∴△AOC≌△CBD，
∴AO=CD=1，OC=DB，
设点C坐标为（0，m），
则点B坐标为（m，m+1），
∴点B在直线y=x+1上，
如图，设直线与y轴交点为M，与x轴交点为N，
则点M坐标为（0,1），点N坐标为（-1,0），
∴OM=ON，
∴△MON为等腰直角三角形，
∴MN=，
∴当OB⊥MN时，OB最短，
OB=MN=．
故答案为：
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中全等三角形的判定与性质，根据点的特点确定点所在直线解析式，垂线段最短等知识，综合性较强，理解点B的运动轨迹是一条直线是解题关键．
20．
【分析】
将△APB绕点A顺时针旋转60°，得到△，连接、，作CN⊥交的延长线于点N，则△≌△APB，由题意可证△ 是等边三角形，所以，所以当 共线时，最小，求出即可；
【详解】
将△APB绕点A顺时针旋转60°，得到△，连接、，作CN⊥交的延长线于点N，
则△≌△APB，
∴∠BAP=∠ ，
∴ ， ， ，
∴△ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 当 共线时，最小，
∴∠CAN=180°-∠ ，CN⊥AN，
∴∠ACN=30°，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形判定与性质，旋转的性质，以及等边三角形的性质和求线段最值的问题，掌握做辅助线是解题的关键．
21．（1），理由见解析；（2）成立，证明见解析.
【分析】
(1)首先证明△ADE是等边三角形，后证明，推理证明即可；
(2) 过点E作，垂足为F，利用推理证明即可．
【详解】
解：（1）．
理由如下：由旋转可知，，
为等边三角形，
．
，
，
，
．
（2）图2、图3中结论仍成立．
选择图2证明如下：如图2，过点E作，垂足为F．
在中，，
，
，
，
即．
又，
．
在中，．
，
又．
由（1）知．
选择图3证明如下：如图3，过点E作，垂足为F．
在中，，
，
，
，
即．
又，
．
在中，．
，
又．
由（1）知．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，三角形的全等，直角三角形的性质，结论猜想与证明，熟练掌握性质，灵活构造垂线，证明三角形的全等是解题的关键.
22．（1），证明见解析；（2）．
【分析】
（1）过点作交的延长线于点．先证明，得到，，根据勾股定理得到，即可得出结论；
（2）根据勾股定理得到AE=CE= ，再根据旋转性质得到，根据不变得到当边上高最大时， 的面积最大，进而得到当AC、在同一直线上时 ,此时的面积最大，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：（1）线段、、之间的等量关系为．
证明：如图，过点作交的延长线于点．
，
∵，∠AEC=90°，
，
又
在和中，
,
，，
又,
,
;
（2）的最大面积为．
如图，在等腰直角三角形AEC中，
∵AC=2，
∴AE=CE=，
∵绕点旋转得，
∴，
∴当边上高最大时， 的面积最大，
∴当AC、在同一直线上时 ,此时的面积最大，
的最大面积为 ．
【点睛】
本题考查全等三角形的证明，勾股定理、图形的旋转等知识，根据题意添加辅助线构造全等三角形是第（1）步的关键，理解旋转的性质是解第（2）步关键．