数学七年级下册2.2.3运用乘法公式进行计算综合训练题

这是一份数学七年级下册2.2.3运用乘法公式进行计算综合训练题，共11页。

1. 会运用平方差公式和完全平方公式进行进行运算并解决问题；
2. 掌握平方差公式及完全平方公式并进行综合练习；
3. 应用平方差公式及完全平方公式的解决问题。
【要点梳理】
一.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
持别说明：
1、在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2、平方差公式的拓展
二. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
持别说明：
公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
完全平方公式的拓展与变形：
平方差公式与完全平方公式综合题：
在运算过程程，灵活运用平方差公式及完全平方公式的综合运算尤其重要，主要有以下的一些题型。

【典型例题】
类型一、平方差公式
1、(2023·陕西省西安市育才中学七年级月考）某同学在计算3（4+1）（+1）时，把3写成(4﹣1)后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：
3（4+1）（+1）=（4﹣1）（4+1）（+1）=（﹣1）（+1）=﹣1=255．
请借鉴该同学的经验，计算：．
【答案】2.
【解析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
试题解析：原式=
=
=2．
考点：平方差公式．
举一反三：
【变式1】(2023·全国七年级专题练习）王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（2-1）得：
解：原式 = （2-1）（2+1）（22+1）（24+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）
=（24-1）（24+1）
=28-1
根据上题求:（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字
【答案】6
【分析】首先利用平方差公式求出代数式的值，然后根据的个位数以2、4、8、6这四个数字进行循环得出所求的答案.
解 ：原式 = （2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=264
的个位数以2、4、8、6这四个数字进行循环 则64÷4=16
则264个位数字是6
【点拨】本题考查平方差公式的应用
【变式2】(2023·全国八年级课时练习）先阅读下列材料，然后解答问题：
某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算，即．很受启发，后来在求的值时，又改造此法，在乘积式前面乘1，然后把1写成的形式，
即
……
．
问题：
（1）请借鉴该同学的经验，计算：；
（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：．（为自然数，且）
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）根据题意将写成，然后连续运用平方差公式计算即可；
（2）逆用平方差公式再进行计算即可．
解：（1）原式
；
（2）
．
【点拨】本题考查平方差公式，熟练应用平方差公式，并能根据题意构造出平方差公式是解题的关键．
类型二、完全平方公式
2(2023·浙江杭州市·七年级期末）数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．
（1）观察图，直接写出代数式，ab之间的等量关系________；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知．求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）（a+b）2=4ab+（a-b）2；（2）①±3；②
【分析】（1）根据图形可知：大正方形是由四个小长方形和中间阴影的小正方形组成，且小正方形的边长为a-b，列式即可得出结论；
（2）①根据（1）的结论直接计算即可；
②根据（1）的结论直接计算即可．
解：（1）由S大正方形=4S小长方形+S阴影得：
（a+b）2=4ab+（a-b）2．
故答案为：（a+b）2=4ab+（a-b）2．
（2）①∵a-b=7，ab=-10，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=72+4×（-10）=9，
∴a+b=±3；
②∵，，
∴，
∴，
∴.
【点拨】本题考查了对完全平方公式几何意义的理解及完全平方公式在代数式求值中的运用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】(2023·广东广州市·八年级期末）已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9．求a2﹣6ab+b2．
【答案】﹣7
【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可得a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab，（a﹣b）
解：因为（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，
所以（a﹣b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，
所以a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab＝9﹣16＝﹣7．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
举一反三：
【变式2】(2023·山东济宁市·八年级期末）阅读下列文字，并解决问题．
已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．
我们知道，满足x2y＝3的x，y的值可能较多，不可能逐一代入求解，而运用整体思想能使问题化繁为简，化难为易，运用整体代入的方法能巧妙地解决一些代数式的求值问题，于是将x2y＝3整体代入．
解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）
＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y
＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y
＝2×33﹣6×32﹣8×3
＝﹣24．
请你用上述方法解决问题：
（1）已知ab＝4，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值；
（2）已知x﹣＝5，求的值．
【答案】（1）-192；（2）．
【分析】
（1）根据单项式乘多项式的运算法矩形计算，根据积的乘方法则变形，把已知数据代入计算即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形，把已知数据代入计算即可．
解：（1）∵ab＝4，
∴（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）
＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab
＝﹣4（ab）3+6（ab）2﹣8ab
＝﹣4×43+6×42﹣8×4
＝﹣192；
（2）∵x﹣＝5，
∴．
【点拨】本题考查的整式的混合运算及完全平方公式，正确理解题意掌握相关运算顺序和计算法则正确计算是解题的关键．
3．(2023·浙江杭州市·七年级其他模拟）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______；
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
①________________；
②__________________．
（3）观察图2你能写出，，三个代数式之间的等量_____________．
（4）运用你所得到的公式，计算若知，求和的值．
（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值．
【答案】（1）m-n；（2）①（m-n）2；②（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（4），=±48；（5）3
【分析】
（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答；
（2）从整体与局部两个思路考虑解答；
（3）根据大正方形的面积减去阴影部分小正方形的面积等于四个长方形的面积解答；
（4）根据，可得a-b的值，再根据=求出的值；
（5）利用完全平方公式将原式变形为，再根据非负数的性质可求出最小值为3．
解：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n；
（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n）2，
还可以表示为（m+n）2-4mn；
（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn；
（4）∵，
∴==36，
∴，
若，则===48，
若，则===-48；
（5）
=
=
∵，，
∴≥3，即最小值为3．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．
【变式】(2023·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）已知，你能求出它的最小值吗？此时x，y分别是多少？
【答案】最小值1，x=4，y=-2
【分析】代数式配方变形后，利用非负数的性质求出最小值，以及此时x与y的值．
解：∵（x-4）2≥0，（y-2）2≥0，
∴x2+y2-8x+4y+21=（x-4）2+（y+2）2+1≥1，
则当x=4，y=-2时，代数式取得最小值1．
【点拨】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
类型三、平方差公式与完全平方公式综合训练及应用
4(2023·安徽安庆市·金拱初中七年级期末）
【答案】9x2-y2-12x+4
【分析】首先应用平方差公式，可得：（3x-y-2）（3x+y-2）=（3x-2）2-y2；然后再应用完全平方公式，求出算式的值是多少即可．
解：（3x-y-2）（3x+y-2）
=（3x-2）2-y2
=9x2-y2-12x+4
【点拨】此题主要考查了平方差公式的应用，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．
【点拨】(2023·广东佛山市·七年级月考）利用整式乘法公式计算(要求有运用公式的过程)：
（1）108×112 （2）(a﹣2b+3)(a+2b﹣3)
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）根据平方差公式计算即可．
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
解：（1）
．
（2）
．
【点拨】本题考查了实数和整式的运算问题，掌握平方差公式是解题的关键．
5．(2023·全国七年级单元测试）公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个青年，他们在交谈．老人说：“我俩的年龄的平方差是195…”，不等老人说完，青年人就说：“真巧，我俩年龄的平方差也是195”．这时，一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我俩年龄的平方差也是195”．现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少岁？如果你有兴趣，不妨把第四对人的年龄也找出来．
【答案】第四对人的年龄是1岁和14岁．
【分析】设两人的年龄是x，y，然后把195分解质因数,看有几种情况两数相乘是195,然后再依此列方程求解,就是他们的年龄.
解：设两人的年龄是x，y，
则x2﹣y2=195
即（x+y）（x﹣y）=195
把195分解因数可知：1×195=195
那么，
解得x=98，y=97，
∴两位老人年龄97岁，98岁；
∵5×39=195
∴，
解得x=22，y=17，
∴两位青年人的年龄是22岁，17岁；
∵65×3=195
∴，
解得，x=34，y=31
∴中年夫妇的年龄是31岁，34岁；
∵15×13=195
∴，
解得x=14，y=1
∴第四对人的年龄是1岁和14岁．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可.本题的关键是要明白平方差是195，就是两数的积是195，然后依此求解.
【变式】(2023·全国七年级单元测试）(1)已知2x＋2＝a，用含a的代数式表示2x；
(2)已知x＝3m＋2，y＝9m＋3m，试用含x的代数式表示y.
【答案】（1）；（2）y＝x2－3x＋2.
【分析】（1）因为2x+2=2x•22=a，由此即可求出答案；
（2）因为x=3m+2，所以x-2=3m，y=9m+3m=（3m）2+3m，然后代换即可．
解：(1)∵
∴
(2)∵
∴
∴
【点拨】考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键.