统考版2024高考数学二轮专题复习专题六函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程理

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习专题六函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程理，共8页。试卷主要包含了指数与对数式的七个运算公式，指数函数与对数函数的图象和性质等内容，欢迎下载使用。

1．指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝________；
(2)(am)n＝________；
(3)lga(MN)＝________；
(4)lga＝________；
(5)lgaMn＝________；
(6)＝________；
(7)lgaN＝________．
注：a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
2．指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为________，当0例 1 (1)[2023·陕西师范大学附属中学模拟]已知a＝lg23，b＝lg34，c＝ eq \f(3,2)，则( )
A．cC．c(2)[2023·江西省重点中学协作体联考]草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津、健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x(x＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据： eq \r(3,2)≈1.26， eq \r(3,4)≈1.59)( )
A．30.24元/千克 B．33.84元/千克
C．38.16元/千克 D．42.64元/千克
(3)[2023·陕西省渭南市高三检测]已知函数f(x)满足：①定义域为R，②f(x＋1)为偶函数，③f(x＋2)为奇函数，④对任意的x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，则f(－ eq \f(7,3))，f( eq \f(2,3))，f( eq \f(11,3))的大小关系是( )
A．f(－ eq \f(7,3))B．f(－ eq \f(7,3))C．f( eq \f(11,3))D．f( eq \f(11,3))归纳总结
基本初等函数的图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断；
(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
对点训练
1.[2023·内蒙古赤峰市八校高三联考]纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则(1614)和纳皮尔算筹(1617)，而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式t＝4[lg3(T1－T0)－lg3(T－T0)]得出；现有一杯温度为70 ℃的温水，放在空气温度为零下10 ℃的冷藏室中，则当水温下降到10 ℃时，经过的时间约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．3.048分钟 B．4.048分钟
C．5.048分钟 D．6.048分钟
2．[2023·陕西省咸阳市高三下学期五模]已知a＝lg2 eq \f(1,3)，b＝2 eq \s\up6(\f(1,3))，c＝( eq \f(1,3))2，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b3．[2022·北京卷]已知函数f(x)＝ eq \f(1,1＋2x)，则对任意实数x，有( )
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0
C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝ eq \f(1,3)
考点二 函数的零点——“零点”“实根”相互转化
1．函数的零点及其方程根的关系
对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
角度1确定函数零点的个数或其存在范围
例 2 (1)[2023·陕西省咸阳市高三检测]函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－1（x≤0）,x－2＋ln x（x>0）))的零点个数为__________．
(2)[2023·河南省高三上学期考试]已知函数f(x)＝lg2(x－1)＋a在区间(2，3)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为________．
归纳总结
1．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；
(2)利用零点存在性定理进行判断；
(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．判断函数零点个数的方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．
角度2根据函数的零点求参数的取值或范围
例 3 函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是( )
A．(7，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)
D．(－1，7)
归纳总结
利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法
对点训练
1.[2023·安徽安庆一中高三期末]函数f(x)＝x＋lg2x的零点所在的区间为( )
A． B． C． D．
2．[2023·黑龙江哈师大附中三模]已知有且只有一个实数x满足x3－ax－1＝0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，－)
C．(－∞，2] D．(－∞，)
考点三 函数模型的应用——提取信息，合理建模
应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒.
例 4[2023·河南省驻马店市高考三模]水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q(单位：L/min)计算公式为q＝K eq \r(10P)和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为N＝ eq \f(S·W,q)计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力(单位：MPa)，K为水雾喷头的流量系数(其值由喷头制造商提供)，S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度(单位：L/min·m2).水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35 MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为14 m2，保护对象的设计喷雾强度W为20 L/min·m2时，保护对象的水雾喷头的数量N约为(参考数据： eq \r(3.5)≈1.87)( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
归纳总结
解决函数实际应用题的两个关键点
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．
(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．
对点训练
[2021·全国甲卷]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
第2讲 基本初等函数、函数与方程
考点一
1．（1）am＋n （2）amn （3）lgaM＋lgaN （4）lgaM－lgaN （5）nlgaM （6）N （7） eq \f(lgbN,lgba)
2．增函数 减函数
[例1] 解析：（1）因为32>23，则3>2 eq \s\up6(\f(3,2))，故lg23>lg22 eq \s\up6(\f(3,2))＝ eq \f(3,2)，所以a>c；因为42<33，则4<3 eq \s\up6(\f(3,2))，故lg34（2）由题可知 eq \f(e4a＋b,ea＋b)＝e3a＝2，ea＝ eq \r(3,2)，由ea＋b＝24，则e3a＋b＝e2a·ea＋b＝24e2a＝24· eq \r(3,4)≈38.16.
（3）∵f（x＋1） 在R上为偶函数，
∴f（x＋1）＝f（－x＋1），
∴f（x）关于x＝1对称．
∵f（x＋2） 在R上为奇函数，
∴f（x＋2）＋f（－x＋2）＝0，
∴f（x）关于（2，0）对称，且f（2）＝0，
∵f（x＋1）＝f（－x＋1），∴f（x）＝f（－x＋2）（将上式中的x换成x－1） ①
又∵f（x＋2）＋f（－x＋2）＝0，∴f（－x＋2）＝－f（x＋2） ②
∴由①②得：f（x）＝－f（x＋2） ③
∴由③得：f（x＋2）＝－f（x＋4） ④ （将③中的x换成x＋2）
∴由③④得：f（x）＝f（x＋4），
∴f（x）的一个周期为T＝4，且f（0）＝0，f（x）关于（0，0）对称，
又∵对任意的x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有（x1－x2）（f（x1）－f（x2））>0，
∴f（x）在[0，1]上单调递增．
∴f（x）在一个周期内的草图为：
∴f（－ eq \f(7,3)）＝f（－ eq \f(7,3)＋4）＝f（ eq \f(5,3)）＝f（2－ eq \f(5,3)）＝f（ eq \f(1,3)），
f（ eq \f(11,3)）＝f（ eq \f(11,3)－4）＝f（－ eq \f(1,3)），
∴如图所示：f（－ eq \f(1,3)）即f（ eq \f(11,3)）答案：（1）B （2）C （3）C
对点训练
1．解析：依题意，T1＝70，T0＝－10，T＝10，代入公式得：
t＝4[lg3（T1－T0）－lg3（T－T0）]＝4（lg380－lg320）＝4lg3 eq \f(80,20)＝4lg34＝ eq \f(4lg 4,lg 3)＝ eq \f(8lg 2,lg 3)≈ eq \f(8×0.301,0.477)≈5.048（分钟），故选C.
答案：C
2．解析：因为a＝lg2 eq \f(1,3)<0，b＝2 eq \s\up6(\f(1,3))>1，0所以a答案：B
3．解析：由f（x）＝ eq \f(1,1＋2x)，得f（－x）＝ eq \f(1,1＋2－x)＝ eq \f(1,1＋\f(1,2x))＝ eq \f(1,\f(2x＋1,2x))＝ eq \f(2x,1＋2x)，所以f（－x）＋f（x）＝ eq \f(2x,1＋2x)＋ eq \f(1,1＋2x)＝1.故选C.
答案：C
考点二
[例2] 解析：（1）当x≤0时，x2－1＝0，解得：x＝－1，
当x>0时，f（x）＝x－2＋ln x单调递增，并且f（1）＝1－2＋ln 1＝－1<0，f（2）＝2－2＋ln 2>0，f（1）f（2）<0，所以在区间（1，2）内必有一个零点，所以零点个数为2个．
（2） 由对数函数的性质，可得f（x）为单调递增函数，且函数f（x）在（2，3）上有且仅有一个零点，
所以f（2）·f（3）<0，即a·（a＋1）<0，解得－1所以实数a的取值范围是（－1，0）.
答案：（1）2 （2）（－1，0）
[例3] 解析：∵y＝2x和y＝－ eq \f(3,x)在（0，＋∞）上是增函数，
∴f（x）＝2x－ eq \f(3,x)－a在（0，＋∞）上是增函数，
∵y＝f（x）的一个零点在区间（1，3）内，
∴只需f（1）·f（3）<0即可，即（－1－a）·（7－a）<0，解得－1答案：D
对点训练
1．解析：f（x）＝x＋lg2x为（0，＋∞）上的递增函数，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝ eq \f(1,3)＋lg2 eq \f(1,3)＝ eq \f(1,3)－lg23< eq \f(1,3)－lg22＝－ eq \f(2,3)<0，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \f(1,2)＋lg2 eq \f(1,2)＝－ eq \f(1,2)<0，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝ eq \f(2,3)＋lg2 eq \f(2,3)＝ eq \f(5,3)－lg23＝ eq \f(1,3)（5－3lg23）＝ eq \f(1,3)（lg232－lg227）>0，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))＝ eq \f(3,4)＋lg2 eq \f(3,4)＝－ eq \f(5,4)＋lg23＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5＋4lg23))＝ eq \f(1,4)（－lg232＋lg281）>0，
则函数f（x）＝x＋lg2x的零点所在的区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))，故选B.
答案：B
2．解析：x＝0显然不是x3－ax－1＝0的根，所以x≠0，
因此只有一个实数x满足x3－ax－1＝0等价于方程a＝x2－ eq \f(1,x)只有一个实数根．
令f（x）＝x2－ eq \f(1,x)，∴f′（x）＝2x＋ eq \f(1,x2)，令f′（x0）＝2x0＋ eq \f(1,x02)＝0⇒x0＝ eq \f(1,－\r(3,2))，故可知：
当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,－\r(3,2)))) 时，f′（x）<0 ，此时f（x）单调递减，
当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,－\r(3,2))，0)) 时，f′（x）>0 ，此时f（x）单调递增，当x∈（0，＋∞） 时，f′（x）>0 ，此时f（x）单调递增，且当x＝－100时，f（x）＝10 000＋ eq \f(1,100)，x＝100时，f（x）＝10 000－ eq \f(1,100)，当x＝－ eq \f(1,100)时，f（x）＝ eq \f(1,10 000)＋100，当x＝ eq \f(1,100)时，f（x）＝ eq \f(1,10 000)－100，故f（x）图象如图：
故a答案：D
考点三
[例4] 解析：依题意，P＝0.35 MPa，K＝24.96，S＝14 m2，W＝20 L/min·m2，
由q＝K eq \r(10P)，N＝ eq \f(S·W,q)，得N＝ eq \f(S·W,K\r(10P))＝ eq \f(14×20,24.96×\r(3.5))≈ eq \f(280,24.96×1.87)≈6，
所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个．故选C.
答案：C
对点训练
解析：4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝10－ eq \f(1,10)＝ eq \f(1,\r(10,10))≈ eq \f(1,1.259)≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
答案：C