新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题3函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程

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这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题3函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋eq \f(1,a)的图象可能是( B )
【解析】由题意，若a>0时，函数y＝xa在(0，＋∞)递增，此时y＝ax＋eq \f(1,a)递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C；即a>0时，不符合题意；若a<0时，函数y＝xa在(0，＋∞)递减，又由y＝ax＋eq \f(1,a)递减可排除A，故选B．
2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－eq \f(1,2)的解集是( A )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】当x>0时，f(x)＝1－2－x>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)<－eq \f(1,2)的解集和f(x)>eq \f(1,2)的解集关于原点对称，由1－2－x>eq \f(1,2)得2－x1，则f(x)<－eq \f(1,2)的解集是(－∞，－1)．故选A．
3. (2023·广州三模)已知a＝cs 1，b＝ln(eq \r(2)＋1)，c＝2 eq \s\up10(－\f(π,3))，则( B )
A．aC．c【解析】 ∵eq \f(π,4)<1(1.4＋1)4>33>e3，∴eq \r(2)＋1>e eq \s\up10(\f(3,4))，∴ln(eq \r(2)＋1)>ln e eq \s\up10(\f(3,4))＝eq \f(3,4)，即b>eq \f(3,4)，∴c4. (2023·琼山区校级二模)函数f(x)＝ln(x＋3)的图象与函数g(x)＝|x2－2|的图象的交点个数为( D )
A．0 B．2
C．3 D．4
【解析】因为f(x)在(－3，＋∞)上是增函数，g(x)在(－∞，－eq \r(2))和(0，eq \r(2))上是减函数，在(－eq \r(2)，0)和(eq \r(2)，＋∞)上是增函数，且有f(－2)＝0，g(－eq \r(2))＝g(eq \r(2))＝0，g(0)＝2>f(0)＝ln 3，作出函数f(x)，g(x)的图象，如图，由图象可知它们有4个交点．故选D．
5. (2023·潍坊高三模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，x＝3，,\f(2,|x－3|)，x≠3，))若函数y＝f(x)－4有3个零点，则实数a的值为( C )
A．－2 B．0
C．4 D．2
【解析】由题意得，当eq \f(2,|x－3|)＝4，可得x1＝eq \f(7,2)，x2＝eq \f(5,2)，有两个零点，那么另一个零点在f(x)＝a上，即a＝4，故选C．
6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于( C )
A．－12 B．－6
C．－8 D．4
【解析】 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，∴f(x)周期T＝8；又∵f(x)是R上奇函数，∴由f(x－4)＝－f(x)，得f(4－x)＝f(x)，∴f(x)关于直线x＝2对称；再结合f(x)在区间[0,2]上是增函数，作出函数图象如图所示，根据图象，可得x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8，故选C．
7. (2023·赤峰模拟)已知函数f(x)＝－x＋lg2(4x＋4)，若方程f(x)＝b有解，则实数b的取值范围是( C )
A．(－∞，lg25) B．(－∞，lg25]
C．[2，＋∞) D．(－∞，2)
【解析】 f(x)＝－x＋lg2(4x＋4)＝lg22－x＋lg2(4x＋4)＝lg2(2x＋4·2－x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(4,2x)))≥lg24＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当2x＝\f(4,2x)，也即x＝1时取等号))，∴b≥2，故选C．
8. (2023·台江区校级模拟)已知函数f(x)＝xln x－x＋|x－a|，若f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为( A )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,e)，e)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,e)，e))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,e)，3)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,e)，3))
【解析】由f(x)＝0可知|x－a|＝x－xln x，即y＝|x－a|与y＝x－xln x存在两个交点，令g(x)＝x－xln x，则g′(x)＝－ln x，令g′(x)＝1，解得x＝eq \f(1,e)，则g(x)在x＝eq \f(1,e)处的切线方程为y＝x＋eq \f(1,e)，令g′(x)＝－1，解得x＝e，则g(x)在x＝e处的切线方程为y＝－x＋e，且这两条切线在x轴上的截距分别为－eq \f(1,e)，e，∴实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,e)，e)).故选A．
二、多项选择题
9.若4x－4y<5－x－5－y，则( AD )
A．xx－3
C．lg(y－x)>0 D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))y<3－x
【解析】不等式4x－4y<5－x－5－y，即4x－5－x<4y－5－y①，令f(x)＝4x－5－x＝4x－eq \f(1,5x)，由指数函数的单调性可得，随着x的增大4x增大，5－x减小，4x－5－x增大，f(x)是R上的增函数，不等式即f(x)＜f(y)，∴x＜y，故选AD．
10. (2023·青岛三模)已知实数a，b，满足a>b>0，ln aln b＝1，则( BCD )
A．ab>e2 B．lga2C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))ab＋1abba
【解析】对于选项A：因为ln aln b1，解得ln(ab)>2或ln(ab)<－2，所以ab>e2或0b>0，则ln a>ln b，即ln b－ln a<0，且ln 2>0，所以lga2－lgb2<0，即lga2b>0，且ln aln b＝1>0，可得ln a，ln b同号，则有：若ln a，ln b同正，可得a>e>b>1，则(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1>0，可得ab＋1>a＋b；若ln a，ln b同负，可得1>a>eq \f(1,e)>b>0，则(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1>0，可得ab＋1>a＋b；综上所述：ab＋1>a＋b，又因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在定义域内单调递减，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))ab＋1b>0，则a－b>0，可得y＝xa－b在(0，＋∞)内单调递增，可得aa－b>ba－b>0，且ab，ba>0，所以aabb>abba，故D正确．故选BCD．
11.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则( AC )
A．当k∈(－1,0)，则这期间人口数呈下降趋势
B．当k∈(－1,0)，则这期间人口数呈摆动变化
C．当k＝eq \f(1,3)，Pn≥2P0时，n的最小值为3
D．当k＝－eq \f(1,3)，Pn≤eq \f(1,2)P0时，n的最小值为3
【解析】 P0>0,0<1＋k<1，由指数函数的性质可知：Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)是关于n的单调递减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；k＝eq \f(1,3)，Pn＝P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))n≥2P0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))n≥2，所以n≥lg eq \s\d10(\f(4,3))2(n∈N)，lg eq \s\d10(\f(4,3))2∈(2,3)，所以n的最小值为3，故C正确；k＝－eq \f(1,3)，Pn＝P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,2)P0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,2)，所以n≥lg eq \s\d10(\f(2,3))eq \f(1,2)(n∈N)，lg eq \s\d10(\f(2,3))eq \f(1,2)＝lg eq \s\d10(\f(2,3))2∈(1,2)，所以n的最小值为2，故D不正确．故选AC．
12. (2023·杭州一模)已知函数f(x)＝xlg x－x－lg x(x>1)的零点为x1，函数g(x)＝x·10x－x－10x(x>1)的零点为x2，则( ABD )
A．x1＋x2＝x1x2 B．x1＋x2>11
C．x1－x2<10x2－lg x1 D．x1－x2>9
【解析】由题意可得x1·lg x1－x1－lg x1＝0，(x1>1)，令lg x1＝t>0，则x1＝10t，代入方程可得t10t－10t－t＝0，(t>0)变形为eq \f(1,t)＋eq \f(1,10t)－1＝0，令h(t)＝eq \f(1,t)＋eq \f(1,10t)－1，t>0，可知函数h(t)在(0，＋∞)上单调递减，又x210x2－x2－10x2＝0(x2>1)，∴x2＝t＝lg x1，即x1＝10x2.由x210x2－x2－10x2＝0，∴x2x1－x2－x1＝0，即x2＋x1＝x2x1，因此A正确；x2＋x1＝x2＋10x2>1＋10＝11，因此B正确；x1－x2＝10x2－lg x1，因此C不正确；令h(x)＝10x－x(x>1)，则h′(x)＝10xln 10－1>0，∴函数h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(1)＝9，∴x1－x2＝10x2－x2>9，因此D正确．故选ABD．
三、填空题
13. (2023·东方校级模拟)已知函数y＝eq \f(1,x)的图象与函数y＝ex＋1和y＝ln x－1的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝_1__.
【解析】 ex1＋1＝eq \f(1,x1)，则x1＋ln x1＋1＝0，ln x2－1＝eq \f(1,x2)，即eq \f(1,x2)＋lneq \f(1,x2)＋1＝0，设f(x)＝x＋ln x＋1，函数在(0，＋∞)上单调递增，f(x1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))，则x1＝eq \f(1,x2)，即x1x2＝1.
14. (2023·阿勒泰地区三模)正数a，b满足2a－4b＝lg2b－lg2a，则a与2b大小关系为_a<2b__.
【解析】因为2a－4b＝lg2b－lg2a，所以2a＋lg2a＝4b＋lg2b＝22b＋lg2b＋lg22－1＝22b＋lg2(2b)－1，设f(x)＝2x＋lg2x，则f(a)＝f(2b)－1，所以f(a)15. (2023·宜宾模拟)当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式k(t)＝k0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up10(\f(t,5 730))，其中k0为生物死亡之初体内的碳14含量，t为死亡时间(单位：年)，通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为eq \f(1,8)k0，则该生物的死亡时间大约是_17_190__年前．
【解析】由题意，生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式k(t)＝k0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up10(\f(t,5 730))，因为测定发现某古生物遗体中碳14含量为eq \f(1,8)k0，令k0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up10(\f(t,5 730))＝eq \f(1,8)k0，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up10(\f(t,5 730))＝eq \f(1,8)，所以eq \f(t,5 730)＝3，解得t＝17 190(年)．
16. (2023·和平区校级二模)设a∈R，函数
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs2πx－2πa，x 【解析】 x2－2(a＋1)x＋a2＋5＝0最多有2个根，所以cs(2πx－2πa)＝0至少有4个根由2πx－2πa＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，可得x＝eq \f(k,2)＋eq \f(1,4)＋a，k∈Z，由02时，令f(a)＝a2－2a(a＋1)x＋a2＋5＝－2a＋5≥0，则2eq \f(5,2)时，f(x)有1个零点．综上，要使f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(7,4)\f(5,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(11,4)

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