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专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程--2024年高考数学复习二轮讲义
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这是一份专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程--2024年高考数学复习二轮讲义，共4页。
考点一 基本初等函数的图象与性质
核心提炼
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
例1 (1)已知lg2a＋lg2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x与g(x)＝lgbx的图象可能是( )
(2)(2023·六盘水质检)设a＝0.70.8，b＝0.80.7，c＝lg0.80.7，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>c>a B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
规律方法 (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
跟踪演练1 (1)(多选)(2023·惠州模拟)若6a＝2,6b＝3，则( )
A．a＋b＝1 B.eq \f(b,a)>1
C．ab(2)(2023·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．
考点二 函数的零点
核心提炼
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
考向1 函数零点个数的判断
例2 (2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考向2 求参数的值或范围
例3 若关于x的方程ex＝a|x|恰有两个不同的实数解，则实数a＝________.
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
跟踪演练2 (1)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3x－4，x≥0，,x2＋2x，x<0))的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2023·九江模拟)函数f(x)＝4sin eq \f(π,2)x－|x－1|的所有零点之和为________．
考点三 函数模型及其应用
核心提炼
解函数应用题的步骤
(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．
例4 (1)某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤(参考数据：lg 2≈0.301 0)( )
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
跟踪演练3 (1)(2023·合肥模拟)Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t的关系时，得到的Malthus模型是N(t)＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为(ln 6.3≈1.84)( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解析式为h＝mln(t＋a)(a>0)．若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知eq \r(2)≈1.414，结果取一位小数)( )
A．4.0天 B．4.3天
C．4.7天 D．5.1天
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40
考点一 基本初等函数的图象与性质
核心提炼
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0
例1 (1)已知lg2a＋lg2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x与g(x)＝lgbx的图象可能是( )
(2)(2023·六盘水质检)设a＝0.70.8，b＝0.80.7，c＝lg0.80.7，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>c>a B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
规律方法 (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
跟踪演练1 (1)(多选)(2023·惠州模拟)若6a＝2,6b＝3，则( )
A．a＋b＝1 B.eq \f(b,a)>1
C．ab
考点二 函数的零点
核心提炼
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
考向1 函数零点个数的判断
例2 (2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考向2 求参数的值或范围
例3 若关于x的方程ex＝a|x|恰有两个不同的实数解，则实数a＝________.
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
跟踪演练2 (1)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3x－4，x≥0，,x2＋2x，x<0))的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2023·九江模拟)函数f(x)＝4sin eq \f(π,2)x－|x－1|的所有零点之和为________．
考点三 函数模型及其应用
核心提炼
解函数应用题的步骤
(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．
例4 (1)某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤(参考数据：lg 2≈0.301 0)( )
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
跟踪演练3 (1)(2023·合肥模拟)Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t的关系时，得到的Malthus模型是N(t)＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为(ln 6.3≈1.84)( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解析式为h＝mln(t＋a)(a>0)．若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知eq \r(2)≈1.414，结果取一位小数)( )
A．4.0天 B．4.3天
C．4.7天 D．5.1天
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
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10
50～60
电动汽车
10
40
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