2022-2023学年吉林省长春第二实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省长春第二实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若分式x−2x−3的值为0，则x的值为( )
A. −3B. −2C. 0D. 2
2.某红外线遥控器发出的红外线波长为0.00000094m，将0.00000094用科学记数法表示为( )
A. 9.4×10−7B. 0.94×10−6C. 9.4×10−6D. 9.4×107
3.若点P(2m−1,5)在第二象限，则m的取值范围是( )
A. m≥12B. m≤12C. m>12D. m<12
4.一次函数y=3x−2的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. x+2y+2B. xyx+yC. (x+y)2x2D. x−2y−2
6.已知点A(x1,−4)，B(x2,−3)，C(x3,5)都在反比例函数y=1x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系为( )
A. x2>x1>x3B. x1>x2>x3C. x3>x2>x1D. x3>x1>x2
7.如图，反比例函数y=kx的图象经过点A(8,2)，当y<2时，x的取值范围是( )
A. x<0或x>8
B. 0C. x>8
D. x<8
8.如图所示，直线y=23x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式为( )
A. y=−13x+2
B. y=−15x+2
C. y=−14x+2
D. y=−2x+2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：(13)−2+(π−5)0= ______．
10.在一次函数y=(2−k)x+1中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为______．
11.若关于x的分式方程ax−1−11−x=x−2x−1有增根，则a= ______．
12.将直线y=2x−1沿y轴向上平移3个单位，则平移后的直线解析式为 ．
13.如图，直线y=−x+2与y=ax+b(a≠0且a，b为常数)的交点坐标为(3,−1)，则关于x的不等式−x+214.如图，点B在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，点C在反比例函数y=−2x(x>0)的图象上，且BC//y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A，则△ABC的面积为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
15.解方程：xx−1=32x−2−2．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：(y6x2)2÷(−y24x)2．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(x−2x+2+4xx2−4)÷1x2−4，其中x= 5．
18.(本小题6分)
已知，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过点A(1,−1)和点B(3,3)
(1)求直线AB所对应的函数表达式；
(2)若点M(2,m)在直线AB上，求m的值．
19.(本小题7分)
为支持“抗疫防病”工作，某口罩厂由甲、乙两车间承制防护型口罩.已知乙车间每天生产口罩数量是甲车间每天生产口罩数量的2倍.如果两车间各自生产600万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用6天.求甲车间每天生产这种防护型口罩的数量．
20.(本小题7分)
如图所示，直线y=3x+5与x轴、y轴分别交于点A、B．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
21.(本小题8分)
甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BC→CD→DE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，

请根据图象解答下列问题：
(1)线段CD表示轿车在途中停留了______h；
(2)求线段DE对应的函数解析式；
(3)甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，求乙地与加油站之间的距离．
22.(本小题10分)
阅读下列材料：
若1−3xx2−1=Ax+1+Bx−1，试求A、B的值．
解：等式右边通分，得A(x−1)+B(x+1)(x+1)(x−1)=(A+B)x+(−A+B)x2−1，
根据题意，得A+B=−3−A+B=1，
解之，得A=−2B=−1．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知x+6(x+1)(2x−3)=Mx+1−N2x−3(其中M、N为常数)求M、N的值；
(2)若1(2n−1)(2n+1)=a2n−1−b2n+1对任意自然数n都成立，则a= ______，b= ______；
(3)计算：11×3+13×5+15×7+⋯+12019×2021= ______．
23.(本小题10分)
若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数−2x(x≤−1)|x−1|(x>−1)的图象与性质．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

(1)观察描出的这些点的分布，请你连线，在所给平面直角坐标系中作出此分段函数的图象．
(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①此函数与y轴的交点坐标为______．
②点A(−5,y1)，B(−72,y2)在函数图象上，则y1 ______y2(填“>”、“=”或“<”)．
③当函数值y=3时，自变量x的值为______．
④若直线y=a与函数图象有三个不同的交点，则a的取值范围为______．
24.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD=90°，AB=DC=4，AD=BC=8.延长BC到E，使CE=3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE=5.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．(t>0)
(1)当t=3时，BP=______；
(2)当t=______时，点P运动到∠B的角平分线上；
(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
(4)当0答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵x−2=0，x−3≠0，
∴x=2，
故选：D．
根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：0.00000094=9.4×10−7．
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：∵点P(2m−1,5)在第二象限，
∴2m−1<0，
解得m<12，
故选：D．
先根据第二象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式，解之即可．
本题主要考查点的坐标、解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=3x−2中，k=3>0，b=−2<0，
∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A．2x+22y+2=2(x+1)2(y+1)=x+1y+1≠x+2y+2，故本选项不符合题意；
B.2x⋅2y2x+2y=4xy2(x+y)=2xyx+y，即分式的值扩大2倍，故本选项不符合题意；
C.(2x+2y)2(2x)2=4(x+y)24x2=(x+y)2x2，即分式的值不变，故本选项符合题意；
D.2x−22y−2=2(x−1)2(y−1)=x−1y−1≠x−2y−2，故本选项不符合题意，
故选：C．
【分析】本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘同(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．
根据分式的基本性质进行逐一判断，最后得出结论．
6.【答案】D
【解析】解：∵A(x1,−4)，B(x2,−3)，C(x3,5)都在反比例函数y=1x的图象上，
∴x1=−14，x2=−13，x3=15，
又∵15>−14>−13，
∴x3>x1>x2，
故选：D．
将点A(x1,−4)，B(x2,−3)，C(x3,5)代入反比例函数y=1x之中求出x1，x2，x3，然后再比较它们的大小即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数图象上的点，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点A(8,2)，
即，当y=2时，x=8，
结合图象，所以当y<2时，x<0或x>8．
故选：A．
求得函数值为2时的x的值，根据反比例函数的图象即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：对于直线y=23x+2，令x=0，得到y=2，即B(0,2)，OB=2，
令y=0，得到x=−3，即A(−3,0)，OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
∠AMC=∠BOA=90°∠ACM=∠BAOAC=BA，
∴△CAM≌△ABO(AAS)，
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C(−5,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B(0,2)，
∴b=2−5k+b=3，
解得k=−15b=2．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=−15x+2．
故选：B．
过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AC=AB，利用AAS得到△CAM≌△ABO，由全等三角形对应边相等得到CM=OA，AM=OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函数表达式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
9.【答案】10
【解析】解：原式=9+1=10．
故答案为：10．
先根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
本题考查的是负整数指数幂及零指数幂，有理数的加减，熟知以上运算法则是解题的关键．
10.【答案】k<2
【解析】解：∵在一次函数y=(2−k)x+1中，y随x的增大而增大，
∴2−k>0，
∴k<2．
故答案是：k<2．
根据一次函数图象的增减性来确定(2−k)的符号，从而求得k的取值范围．
本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
11.【答案】−2
【解析】解：去分母，得：a+1=x−2，
由分式方程有增根，得到x−1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程，可得：a+1=1−2，
解得：a=−2．
故答案为：−2．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−1=0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12.【答案】y=2x+2
【解析】解：将直线y=2x−1沿y轴向上平移3个单位，所得直线的解析式是y=2x−1+3=2x+2，
故答案为y=2x+2．
根据函数平移的特点：上加下减、左加右减，可以得到直线y=2x−1沿y轴向上平移3个单位，所得直线的解析式，本题得以解决．
本题考查一次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，写出平移后的函数解析式，知道平移的特点：上加下减、左加右减．
13.【答案】x>3
【解析】解：如图，
∵直线y=−x+2与y=kx+b(k≠0且k，b为常数)的交点坐标为(3,−1)，
则关于x的不等式−x+23．
故答案为：x>3．
根据函数图象，写出直线y=−x+2的图象在直线y=ax+b的下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】4
【解析】解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，
∵BC/​/y轴，AC⊥BC，
∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，
∴S矩形OACD=|−2|=2，
S矩形ODBH=|6|=6，
∴S矩形ACBH=2+6=8，
∴△ABC的面积=12S矩形ACBH=4．
故答案为：4．
过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，利用反比例函数系数k的几何意义得到S矩形OACD=2，S矩形ODBH=6，则S矩形ACBH=8，然后根据矩形的性质得到△ABC的面积．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
15.【答案】解：方程两边同乘2(x−1)，得
2x=3−2(2x−2)，
2x=3−4x+4，
6x=7，
∴x=76．
检验：当x=76时，2(x−1)≠0．
∴x=76是原分式方程的解．
【解析】本题主要考查分式方程的解法：
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
(2)解分式方程一定注意要验根．
观察可得方程最简公分母为2(x−1).方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
16.【答案】解：(y6x2)2÷(−y24x)2
=y236x4⋅16x2y4
=49x2y2．
【解析】在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶数次方为正，而奇数次方为负，同时要注意运算顺序，先乘方，后除法．
本题考查分式的混合运算．有乘方时，应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．
17.【答案】解：原式=[x−2x+2+4xx(x−2)]⋅(x+2)(x−2)
=(x−2x+2+4x−2)⋅(x+2)(x−2)
=x−2x+2(x+2)(x−2)+4x−2⋅(x+2)(x−2)
=(x−2)2+4(x+2)
=x2−4x+4+4x+8
=x2+12，
当x= 5时，
原式=5+12=17．
【解析】先根据分式的加减运算与乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
18.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b经过点A(1,−1)和点B(3,3)，
∴k+b=−13k+b=3，得k=2b=−3，
即直线AB所对应的函数表达式是y=2x−3；
(2)∵点M(2,m)在直线AB上，
∴2×2−3=m，
解得，m=1，
即m的值是1．
【解析】(1)根据直线y=kx+b经过点A(1,−1)和点B(3,3)，可以求得直线AB所对应的函数表达式；
(2)根据(1)中的函数解析式和点M(2,m)在直线AB上，可以求得m的值．
本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
19.【答案】解：设甲车间每天生产这种防护型口罩x万只，则乙车间每天生产这种防护型口罩2x万只，
依题意，得：600x−6002x=6，
解得：x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解，且符合题意．
答：甲车间每天生产这种防护型口罩50万只．
【解析】设甲车间每天生产这种防护型口罩x万只，则乙车间每天生产这种防护型口罩2x万只，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合两车间各自生产600万只防护型口罩时乙车间比甲车间少用6天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在y=3x+5中，令y=0可得x=−53，令x=0可得y=5，
∴A(−53,0)，B(0,5)；
(2)∵OA=53，OB=5，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×53×5=256．
【解析】(1)由直线解析式根据图象上点的坐标特征可求得A、B两点的坐标；
(2)根据坐标可求得OA和OB的长，再利用三角形的面积可求得答案．
本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，掌握函数图象与坐标轴的交点的求法是解题的关键．
21.【答案】0.5
【解析】解：(1)线段CD表示轿车在途中停留了2.5−2=0.5(h)，
故答案为：0.5；
(2)设线段DE对应的函数解析式是y=kx+b，
将(2.5,80)，(4.5,300)代入得：
2.5k+b=804.5k+b=300，
解得k=110b=−195，
答：线段DE对应的函数解析式是y=110x−195(2.5≤x≤4.5)；
(3)货车匀速行驶，速度为300÷5=60(km/h)，
∴线段OA函数表达式是y=60x，
由60x=110x−195得：x=3.9，即x=3.9时，轿车追上货车，
∴轿车到达加油站时，x=3.9−0.4=3.5，
在y=110x−195中，令x=3.5，得y=190，
∴甲地与加油站之间的距离是190km，
∴乙地与加油站之间的距离为300−190=110(km)．
(1)观察图象直接可得轿车在途中停留了0.5h；
(2)设线段DE对应的函数解析式是y=kx+b，将(2.5,80)，(4.5,300)代入得线段DE对应的函数解析式是y=110x−195(2.5≤x≤4.5)；
(3)货车匀速行驶，速度为300÷5=60(km/h)，由60x=110x−195得x=3.9时，轿车追上货车，故轿车到达加油站时，x=3.5，即得y=190，即可求解．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，列出函数关系式．
22.【答案】12 12 10102021
【解析】解：(1)等式右边通分，得Mx+1−N2x−3=M(2x−3)−N(x+1)(x+1)(2x−3)=(2M−N)x+(−3M−N)(x+1)(2x−3)，
根据题意，得2M−N=1−3M−N=6，
解得M=−1N=−3；
(2)等式右边通分，得a2n−1−b2n+1=a(2n+1)−b(2n−1)(2n−1)(2n+1)=(2a−2b)n+(a+b)(2n−1)(2n+1)，
根据题意，得2a−2b=0a+b=1，
解得a=b=12．
故答案为：12，12；
(3)11×3+13×5+15×7+⋯+12019×2021
=12×(1−13)+12×(13−15)+12×(15−17)+⋯+12×(12019−12021)
=12×(1−13+13−15+15−17+⋯+12019−12021)
=12×(1−12021)
=12×20202021
=10102021．
故答案为：10102021．
(1)根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值；
(2)根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值；
(3)由11×3=12×(1−13)，13×5=12×(13−15)，⋯，利用裂项相消，即可求解．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.【答案】(0,1) < 4 0【解析】解：(1)如图，
(2)①当x≤−1时，y=−2x，
∵x≤−1
∴此时函数与y轴无交点，
当x>−1时，y=|x−1|，
令x=0，则y=1，
∴函数与y轴交点为(0,1)，
即函数与y轴交点为(0,1)；
故答案为：(0,1)；
②由图象可得，当x≤−1时，y随x的增大而增大，
∵−5<−72<−1，
∴y1故答案为：<；
④由图象可得，当x≤1时，y的最大值为2，
∴当x>1时，y=|x−1|=x−1，
令y=3，则x−1=3，
∴x=4，
故答案为：4；
⑤由图象可得，当a=2时，直线y=a与函数图象有两个交点，
当0∴a的取值范围为0故答案为：0(1)连接图中的点即可解决；
(2)①分段讨论，令x=0，求出每段函数对应的y值，即可求解；
②根据图象可得，当x≤−1时，y随x的增大而增大，又−5<−72<−1，所以y1③由于x≤1时，y的最大值为2，所以x>1时，y=x−1，令y=3，即可求解出x；
④由函数图象即可得到a的取值范围．
本题是三角形综合题，考查了反比例函数和一次函数的性质，数形结合是解决此题的关键．
24.【答案】6 8
【解析】解：(1)BP=2t=2×3=6，
故答案为：6；
(2)作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF=∠FBC，
∵∠A=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD/​/BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=4，
∴DF=AD−AF=8−4=4，
∴BC+CD+DF=8+4+4=16，
∴2t=16，解得t=8．
∴当t=8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
(3)根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP=12×BP×AB=12×2t×4=4t；(0②当点P在CD上运动时，
S△ABP=12×AB×BC=12×4×8=16；(4≤t≤6)；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP=12×AB×AP=12×4×(20−2t)=−4t+40；(6(4)当0根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP=4，
∴2t=4，解得t=2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE=DE=5，
∴PC=PE−CE=2，
∴8−2t=2，解得t=3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC=PH，
∵PC=2t−8，
∴PD=DC−PC=12−2t，
∴2t−812−2t=35，
解得t=194．
综上所述：t=2s或t=3s或t=194s时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
(1)根据题意可得BP=2t，进而可得结果；
(2)根据∠A=∠B=∠BCD=90°，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF=AB=4，得DF=4，进而可得t的值；
(3)根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
(4)当0本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．x
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−3
−52
−2
−32
−1
−12
0
12
1
32
2
52
3
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y
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23
45
1
43
2
32
1
12
0
12
1
32
2
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