2022-2023学年吉林省长春市南湖实验中学八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年吉林省长春市南湖实验中学八年级（下）期末数学试卷

1.在平面直角坐标系中，点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为米，将数据用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、已知，，，则DF的长为(    )

A.
B.
C. 5
D. 5，2

4.如图，在中，，若，，则AC的长是(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，线段CD两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，将线段放大得到线段若点B的坐标为，则点A的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

6.某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，若每次降价的百分率为a，下列所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.如图，在中，，，，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则BF的长为(    )

A. 3 B. 4 C.  D.

8.如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的底边BC在x轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，延长AB交y轴于点D，若，的面积为，则k的值为(    )

A. 3
B. 4
C. 6
D. 8

9.计算：______.

10.已知，那么______ .

11.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______ .

12.在平面直角坐标系xOy中，把点向左平移3个单位得到点，则的值为______ .

13.如图，在矩形ABCD中，，，点E是BC边的中点，连接AE，过点E作交CD于点F，连接AF，则AF的长为______ .

14.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，点，点直线与交于点P，当点P在内部不包括边界时，m的取值范围是______ .

15.嘉嘉解方程的过程如表所示.

嘉嘉是用______ 填“配方法”“公式法”或“因式分解法”来求解的；从第______ 步开始出现错误；
请你用不同于中的方法解该方程.

16.先化简，再求值：，其中

17.某超市用900元购进一批新科技水杯，上架后很快销售一空，超市又紧急购进第二批这种水杯，数量是第一批的2倍，但每个水杯进价涨了4元，结果用去2160元，求该超市第一批购进水杯的个数.

18.如图，在和中，
求证：∽；
若：：16，，求EC的长.

19.如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.

______ ；
在图①中的边BC上确定一点D，连结AD，使；
在图②中的边AB上确定一点E，连结CE，使

20.如图，双曲线与直线交于A、B两点.点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点.
______ ，______ ；
直接写出使得的x的取值范围；
若的面积为12，求此时C点的坐标.

21.小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小聪骑共享单车，小明步行.当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线和线段OD分别表示两人离学校的路程千米与所经过的时间分钟之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
小聪在图书馆查阅资料的时间为______ 分钟，小聪返回学校的速度为______ 千米/分钟.
求小聪从图书馆返回学校时离学校的路程千米与分钟之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围.
若设两人在路上相距不超过千米时称为“可控距离”，则小聪和小明“可控距离”的时间共有______ 分钟.

22.阅读理解题：一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图①，已知AD是的角平分线，可得：，小亮的证明思路如下：过点C作，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明.

请参照上面小亮的证明思路，利用图①证明
如图②，在中，AD是的角平分线，已知，则的值为______ .
如图③，在矩形ABCD中，点E是CD上一点，已知，，，连接BE，AF平分与BE交于点F，则BF的长为______ .

23.如图，在中，，，，点P为AC的中点.点Q为边AB上一动点，点Q与点A不重合，连接PQ，以PQ，PC为邻边作▱设
的度数为______ ；
当点M落在边BC上时.求x的值；
连接BM，求线段BM的最小值；
当和有一个内角相等时，直接写出x的值.

24.如图，在平面直角坐标系中，点，，点P为射线BA上一点，横坐标为点为平面内一动点，当点Q不在直线AB上时，以PQ为边向右作正方形
直接写出直线AB的函数关系式为______ ；
当时，求线段PQ的长；
求正方形PQMN的周长用含m的代数式表示；
当时，若正方形PQMN相邻两边与线段OA只有两个交点，直接写出m的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：点P的横坐标为，点P的纵坐标为，
点P位于第二象限，
故选：
根据点P横纵坐标的正负情况，即可判断出点P所在的象限，即可得到答案．
本题考查了点的坐标，正确掌握判断点的坐标方法是解题的关键．

2.【答案】C 

【解析】解：，
故选：
根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】B 

【解析】解：，
，即，
，
，
故选：
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

4.【答案】B 

【解析】解：在中，，
，
，，

故选：
根据正弦的定义解答即可．
本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义．

5.【答案】A 

【解析】解：以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，，点B的坐标为，
，
线段CD和线段AB位似比为，
，
点A的坐标为：
故选：
根据题意得到线段CD和线段AB的位似比是1：3，根据位似变换的性质解答．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或

6.【答案】B 

【解析】解：根据题意得
故选：
利用经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7.【答案】B 

【解析】解：，，
，
由作图可知，
，
，

故选：
利用直角三角形30度角的性质求解．
本题考查作图-基本作图，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

8.【答案】C 

【解析】解：如图，作，垂足为M，连接OA，
，
∽，
，，
，
，
，
：：4，
的面积为，
，
，
，
反比例函数图象在第一象限，

故选：
根据相似得出面积比，根据面积导出三角形AOM的面积，反比例函数的k值随之也就求出来了．
本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的纵横坐标之积等于常数

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查负整数指数幂的运算．幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
【解答】
解：故答案为
根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了比例的基本性质．用到的知识点是比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若a：：d，则先由题干可得，整理之后再根据比例的基本性质即可求得的值．
【解答】
解：，
，
，

故答案为

11.【答案】 

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即，
解得：
故答案为：
由于关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，可知其根的判别式为0，据此列出关于m的不等式，解答即可．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．

12.【答案】7 

【解析】解：将点向左平移3个单位，得到点Q，点Q的坐标为，
，
，
，
故答案为：
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

13.【答案】 

【解析】解：四边形ABCD为矩形，
，，，
点E是BC边的中点，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
在中，根据勾股得：

故答案为：
根据矩形的性质得出，，，证明∽，得出，求出，得出，根据勾股定理求出
本题主要考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，证明∽

14.【答案】 

【解析】解：当时，解得，
，
点P在直线上，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
直线BC的解析式为，
当直线与BC边相交时，，
解得，
当与AC相交时，，
时，点P在内部不包括边界，
故答案为：
通过方程，求出P点坐标，从而可知点P在直线上，分别求出直线与BC边相交时，，与AC相交时，，则时，点P在内部不包括边界
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，会求两条直线的交点，能确定P点的运动轨迹是解题的关键．

15.【答案】配方法  二 

【解析】解：嘉嘉是用配方法来求解的；从第二步开始出现错误；
故答案为：配方法，二；
，
，
则或，
解得，
根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可；
利用十字相乘将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

16.【答案】解：原式

，
当时，
原式 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

17.【答案】解：设该超市第一批购进水杯的个数为x，则第二批购进新科技水杯2x，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该超市第一批购进水杯的个数为 

【解析】设该超市第一批购进水杯的个数为x，则第二批购进新科技水杯2x，利用单价=总价数量，结合第二批的进货单价涨了4元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

18.【答案】证明：，
，
，
又，
∽；
解：∽，
，
，
 

【解析】由，可得出，结合，可证出∽；
由∽，利用相似三角形的性质可得出，结合：：9，可求出EC的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：牢记“两角对应相等的两个三角形相似”；牢记“相似三角形面积的比等于相似比的平方”．

19.【答案】 

【解析】解：在中，
，
故答案为：；

如图①所示，点D即为所求；

如图②所示，点E即为所求．
的中点即为所求；
作AB的高线即可；
作AB的垂直平分线与BC是交点即为所求．
本题考查了锐角三角函数及作图的应用与设计，掌握网格线的特点及基本作图方法是解题的关键．

20.【答案】 

【解析】解：双曲线与直线交于A、B两点，点和点在双曲线上，
、B两点关于原点对称，
，
故答案为：3，；

观察图象，可得当或时，反比例函数值大于一次函数值，
即使得的x的取值范围是或；

，，
，
，
，
此时C点的坐标为
根据反比例函数的对称性即可求出a、b的值；
根据A与B的横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时x的范围即可；
根据，求出OC的长，进而得到此时C点的坐标．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．

21.【答案】 

【解析】解：由图象可得，小聪在图书馆查阅资料的时间为分钟
小聪返回学校的速度为千米/分钟；
故答案为：15，；
设小聪从图书馆返回学校时离学校的路程千米与分钟之间的函数表达式为，
由题意得，，
解得：，
所求函数表达式为；
设小明离开学校的路程千米与所经过的时间分钟之间的函数表达式为，
由题意得，，
解得：，
所求函数表达式为，
小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前，两人相距千米时，，
当小聪、小明在相遇之前，两人相距千米时，，解得，
当小聪、小明在相遇之后，两人相距千米时，，解得，
所以两人“可控距离”的时间为：分钟，
综上可知，两人“可控距离”的总时间为分钟
故答案为：
由函数图象的数据可以求出小聪在图书馆查阅资料的时间为15分钟，由速度=路程时间就可以得出小聪返回学校的速度；
设小聪从图书馆返回学校时离学校的路程千米与分钟之间的函数表达式为，由待定系数法求出其解即可；
分类讨论，当小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前、当小聪、小明在相遇之前及当小聪、小明在相遇之后，分别求出来即可．
本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

22.【答案】 

【解析】证明：，
，，
∽，
，
是的角平分线，
，
又，
，
，
；
解：，
，
，
故答案为：2；
解：如图3，延长AD，BE交于点H，

四边形ABCD是矩形，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：
根据平行线的性质易证∽，根据相似三角形的性质及角平分线的概念可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证；
先求出的值，由的结论可求解；
通过证明∽，由相似三角形的性质可求DH的长，由勾股定理可求BH的长，由的结论可求解．
本题是相似形综合题，考查了角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．

23.【答案】 

【解析】解：如图1，
作于D，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
如图2，
四边形PQMC是平行四边形，
，


；
如图3，
作于N，
四边形PCMQ是平行四边形，
，
，，
，
点M在与AB平行且到AB的距离等于4的直线上运动，
当时，BM最小，；
当时，
由知：，
如图4，
当时，
，
，
作于E，
，
，
如图5，
当时，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
综上所述：或或
作于D，解直角三角形ACD求得CD和AD，进一步得出结果；
可推出，从而，进一步得出结果；
作于N，可得出，从而得出点M在与AB平行且到AB的距离等于4的直线上运动，进一步得出结果；
分为三种情形：当时，由可得结果；当时，作于E，解直角三角形AEQ求得结果；当时，可推出∽，从而得出，从而求得结果．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论．

24.【答案】 

【解析】解：设直线AB的函数关系式为，则有：
，
解得：，
直线AB的函数关系式为；
故答案为：；

当时，
，
，，
；
即线段PQ的长为6；

由题意可知：，
点不在直线AB上，
，即，
当时，点P在点Q的下方，
，
；
当时，点P在点Q的上方，
，
，
故正方形PQMN的周长为：或；

设直线OA的解析式为，把点代入得：，
直线OA的解析式为，
当时，
可得：，，，，
当时，点P与B重合，此时点O恰好在边MN上，满足题意，
当点在直线OA上时，可得：
，
解得：，
；
当时，
可得：，，，，
当点在直线OA上时，可得：
，
解得：，
当点在直线OA上时，可得：
，
解得：，
，
综上所述，m的取值范围为或
设直线AB的函数关系式为，把A、B两点的坐标代入即可；
当时，，，直接求出PQ的长即可；
分两种情况进行讨论，分别用m表示出正方形的边长，即可写出正方形的周长；
先求出OA的解析式，用含m的式子分别表示出正方形PQMN各顶点的坐标，数形结合写出所有符合题意的情况即可．
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质等内容，熟练掌握数形结合思想在函数中的应用是解题的关键．