2023-2024学年吉林省长春市南关区华泽学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市南关区华泽学校八年级（上）期中数学试卷（含解析），共1页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．9的平方根是（ ）
A．±3B．3C．﹣3D．81
2．﹣64的立方根是（ ）
A．﹣4B．±4C．﹣8D．±8
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝aC．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5
4．下列命题是真命题的（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．钝角没有余角
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．若a＞b，则a2＞b2
5．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
6．如图，已知∠1＝∠2，下列添加的条件不能使△ADC≌△CBA的是（ ）
A．AB∥DCB．AB＝CDC．AD＝BCD．∠B＝∠D
7．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥AC交CD于点E，连接AE，若ED＝EF，∠ECF＝58°，则∠DAE＝（ ）
A．32°B．18°C．16°D．29°
8．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8B．BC＝3，AB＝4，∠A＝40°
C．AB＝3，∠A＝60°，∠B＝40°D．AB＝3，∠C＝90°
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．3a2b•5a3b2等于 ．
10．计算：20182﹣2019×2017＝ ．
11．若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为 ．
12．如果的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b﹣＝ ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝65°，则∠CAD＝ ．
14．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
15．（16分）计算：
（1）（2a3）2+（﹣a3）2；
（2）a2•a4﹣a8÷a2+（a3）2；
（3）2a（ab+b2）﹣3ab（4a﹣2b）；
（4）（4a3﹣6a2+9a）÷2a．
16．（16分）因式分解：
（1）4ab﹣2a2b；
（2）25x2﹣9y2；
（3）2a2b﹣8ab2+8b3；
（4）x2（x﹣3）+9（3﹣x）．
17．先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），其中x＝．
18．如图，在一个边长为a米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为米的正方形．
（1）剩余部分的面积为 ；（用含a，b的式子表示）
（2）利用因式分解计算，当a＝3，b＝0.5时，剩余部分的面积．
19．如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．
20．如图，点B、C、D、F在一条直线上，FC＝BD，DE＝CA，EF＝AB，求证：EF∥AB．
21．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab﹣b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝4，ab＝2，求a2+b2的值；
解：因为a+b＝4，ab＝2，
所以（a+b）2＝16，2ab＝4，
所以a2+b2+2ab＝16，
所以a2+b2＝12．
根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分的面积．
22．如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上（点D不与点A、B重合），且AD＝AE．连结DE．
问题原型：将图①中△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②．求证：△ABD≌△ACE；
初步探究：在问题原型的条件下，延长BD交直线AC于点G，交直线CE于点F，请利用图③探究BD与CE的关系，并说明理由；
简单应用：如图③，把图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α°（0＜α＜90），连结BD和CE，延长BD交CE于点F．若∠FDE＝52°，则∠FED＝ °．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．9的平方根是（ ）
A．±3B．3C．﹣3D．81
【分析】直接根据平方根的定义求解即可．
解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根为±3．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±（a≥0）．
2．﹣64的立方根是（ ）
A．﹣4B．±4C．﹣8D．±8
【分析】根据立方根的定义求解即可．
解：∵（﹣4）3＝﹣64，
∴﹣64的立方根是﹣4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了立方根，熟记立方根的定义是解答本题的关键．
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝aC．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的法则进行计算即可．
解：a3与a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；
同上可得，选项B不符合题意；
（a2）3＝a2×3＝a6，因此选项C不符合题意；
a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，合并同类项的法则，掌握运算法则是正确计算的前提．
4．下列命题是真命题的（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．钝角没有余角
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．若a＞b，则a2＞b2
【分析】根据平行线的判定、余角的概念、平行公理、实数的乘方判断即可．
解：A、同旁内角互补，两直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、钝角没有余角，是真命题，符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、当a＝1，b＝﹣2时，a2＜b2，故若a＞b，则a2＞b2是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【分析】根据三角形内角和定理求出三个内角的度数即可判断．
解：设∠C＝α，
∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴∠A＝∠B＝2α，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2α+2α+α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，
∴该三角形是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的判定定理，熟知三角形的内角和是180°是解题的关键．
6．如图，已知∠1＝∠2，下列添加的条件不能使△ADC≌△CBA的是（ ）
A．AB∥DCB．AB＝CDC．AD＝BCD．∠B＝∠D
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
解：A、由AB∥CD，可得∠DCA＝∠CAB，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，且∠1＝∠2，AC＝AC，不能判定△ADC≌△CBA，故选项B符合题意；
C、由AD＝BC，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项C不符合题意；
D，由∠B＝∠D，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键．
7．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥AC交CD于点E，连接AE，若ED＝EF，∠ECF＝58°，则∠DAE＝（ ）
A．32°B．18°C．16°D．29°
【分析】由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△AFE，可得∠DAE＝∠FAE＝16°．
解：∵CD⊥AB，∠ECF＝58°，
∴∠DAC＝32°，
∵CD⊥AB，EF⊥AC，
∴在Rt△ADE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL）
∴∠DAE＝∠FAE，且∠DAC＝32°，
∴∠DAE＝16°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明Rt△ADE≌Rt△AFE是本题的关键．
8．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8B．BC＝3，AB＝4，∠A＝40°
C．AB＝3，∠A＝60°，∠B＝40°D．AB＝3，∠C＝90°
【分析】根据全等三角形的判定解决问题即可．
解：A、因为3+4＜8，所以不存在三角形．本选项不符合题意．
B、边边角，不能唯一确定三角形．本选项不符合题意．
C、角边角，能唯一确定三角形．本选项符合题意．
D、边角，不能确定三角形．本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．3a2b•5a3b2等于 15a5b3 ．
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．
解：3a2b•5a3b2
＝15a5b3．
故答案为：15a5b3．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
10．计算：20182﹣2019×2017＝ 1 ．
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
解：原式＝20182﹣（2018+1）×（2018﹣1）＝20182﹣20182+1＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
11．若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为 4 ．
【分析】由a＝b+2，可得a﹣b＝2，代入所求代数式即可．
解：∵a＝b+2，
∴a﹣b＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．
故答案为：4
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
12．如果的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b﹣＝ ﹣5 ．
【分析】先求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可．
解：∵，
∴的小数部分a＝，
∵，
∴的小数部分为b＝﹣3，
∴a+b﹣＝﹣2+﹣3﹣＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意估算，的取值范围是解答此题的关键．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝65°，则∠CAD＝ 25° ．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
解：∵AB＝AC，AD为中线，
∴AD⊥BC，
∵∠C＝65°，
∴∠CAD＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
14．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是 8 ．
【分析】根据正方形的性质得到AC＝AF，∠CAF＝90°，证明△CAE≌△AFB，根据全等三角形的性质得到EC＝AB＝4，根据三角形的面积公式计算即可．
解：∵四边形ACDF是正方形，
∴AC＝AF，∠CAF＝90°，
∴∠EAC+∠FAB＝90°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠AFB+∠FAB＝90°，
∴∠EAC＝∠AFB，
在△CAE和△AFB中，
，
∴△CAE≌△AFB（AAS），
∴EC＝AB＝4，
∴阴影部分的面积＝×AB×CE＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
15．（16分）计算：
（1）（2a3）2+（﹣a3）2；
（2）a2•a4﹣a8÷a2+（a3）2；
（3）2a（ab+b2）﹣3ab（4a﹣2b）；
（4）（4a3﹣6a2+9a）÷2a．
【分析】（1）先算乘方，再算加法，即可解答；
（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
（3）先去括号，再合并同类项，即可解答；
（4）利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答．
解：（1）（2a3）2+（﹣a3）2
＝4a6+a6
＝5a6；
（2）a2•a4﹣a8÷a2+（a3）2
＝a6﹣a6+a6
＝a6；
（3）2a（ab+b2）﹣3ab（4a﹣2b）
＝2a2b+2ab2﹣12a2b+6ab2
＝﹣10a2b+8ab2；
（4）（4a3﹣6a2+9a）÷2a
＝4a3÷2a﹣6a2÷2a+9a÷2a
＝2a2﹣3a+4.5．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（16分）因式分解：
（1）4ab﹣2a2b；
（2）25x2﹣9y2；
（3）2a2b﹣8ab2+8b3；
（4）x2（x﹣3）+9（3﹣x）．
【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；
（2）利用平方差公式进行分解，即可解答；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（4）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
解：（1）4ab﹣2a2b＝2ab（2﹣a）；
（2）25x2﹣9y2＝（5x+3y）（5x﹣3y）；
（3）2a2b﹣8ab2+8b3
＝2b（a2﹣4ab+4b2）
＝2b（a﹣2b）2；
（4）x2（x﹣3）+9（3﹣x）
＝（x﹣3）（x2﹣9）
＝（x﹣3）（x﹣3）（x+3）
＝（x﹣3）2（x+3）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
17．先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），其中x＝．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）
＝4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x
＝﹣9x+2，
当x＝时，原式＝﹣1+2＝1．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18．如图，在一个边长为a米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为米的正方形．
（1）剩余部分的面积为 （a2﹣4b2）平方米 ；（用含a，b的式子表示）
（2）利用因式分解计算，当a＝3，b＝0.5时，剩余部分的面积．
【分析】（1）根据剩余部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可得；
（2）先利用平方差公式分解因式，再将a＝3，b＝0.5代入计算即可得．
解：（1）由图可知，剩余部分的面积为（a2﹣4b2）（平方米），
故答案为：（a2﹣4b2）平方米．
（2）当a＝3，b＝0.5时，
剩余部分的面积为a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（3+2×0.5）×（3﹣2×0.5）＝4×2＝8（平方米），
答：剩余部分的面积为8平方米．
【点评】本题考查了平方差公式与图形面积、利用因式分解化简求值，熟练掌握平方差公式是解题关键．
19．如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．
【分析】根据全等三角形的判定：AAS证明△BAC≌△DAE，即可得BC＝DE．
【解答】证明：∵AC是∠BAE的平分线，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．
20．如图，点B、C、D、F在一条直线上，FC＝BD，DE＝CA，EF＝AB，求证：EF∥AB．
【分析】证明△ABC≌△EFD，利用全等三角形对应角相等得到∠B＝∠F，再利用内错角相等，两直线平行即可得出结论．
【解答】证明：∵FC＝BD
∴FC﹣CD＝BD﹣CD．
即FD＝BC．
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（SSS）．
∴∠B＝∠F，
∴AB∥FE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，证明△ABC≌△EFD是解题的关键．
21．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab﹣b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝4，ab＝2，求a2+b2的值；
解：因为a+b＝4，ab＝2，
所以（a+b）2＝16，2ab＝4，
所以a2+b2+2ab＝16，
所以a2+b2＝12．
根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ 17 ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据完全平方公式变形即可求解；
（2）设4﹣x＝a，5﹣x＝b，则a﹣b＝﹣1，ab＝8，进而根据完全平方公式即可求解；
（3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出AC⋅BC，即可求解．
解：（1）∵x+y＝8，
∴x2+y2+2xy＝64，
∵x2+y2＝40，
∴xy＝12；
（2）设4﹣x＝a，5﹣x＝b，则a﹣b＝﹣1，ab＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣1）2+2×8＝1+16＝17，
故答案为：17．
（3）∵S1+S2＝16，AB＝6，
∴AC2+BC2＝16，AC+BC＝AB＝6，
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC⋅BC＝36，
∴AC⋅BC＝20，
∴阴影的面积＝．
【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
22．如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上（点D不与点A、B重合），且AD＝AE．连结DE．
问题原型：将图①中△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②．求证：△ABD≌△ACE；
初步探究：在问题原型的条件下，延长BD交直线AC于点G，交直线CE于点F，请利用图③探究BD与CE的关系，并说明理由；
简单应用：如图③，把图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α°（0＜α＜90），连结BD和CE，延长BD交CE于点F．若∠FDE＝52°，则∠FED＝ 38 °．
【分析】问题原型：根据旋转的性质和已知，运用SAS证明即可；
初步探究：由问题原型中的结论：△ABD≌△ACE得出BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，进而得到∠BFC＝∠BAC，从而得到BD与CE的位置关系；
简单应用：由初步探究可知，∠DFE＝90°，再由三角形内角和定理即可求∠FED的度数．
【解答】问题原型：
证明：如图②，
由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE；
初步探究：
解：BD＝CE，BD⊥CE．
理由如下：如图③，
由问题原型可知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DGA＝90°，∠DGA＝∠CGF，
∴∠CGF+∠ACE＝90°，
∴BD⊥CE；
简单应用：
解：由初步探究可知，∠DFE＝90°，
∵∠FDE＝52°，
∴∠FED＝90°﹣∠FDE＝38°．
故答案为：38．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，