316，安徽省 桐城市第二中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

这是一份316，安徽省 桐城市第二中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(共10题；共40.0分)
1. 当函数 是二次函数时，的取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．
【详解】∵函数 是二次函数，
∴a-1≠0，=2，
∴a≠1，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．
2. 如图，抛物线与直线的交点为．当时，的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由，则抛物线在直线的上方，利用图像，即可得到的取值范围．
【详解】解：由，则抛物线在直线的上方，
∵抛物线与直线的交点坐标为A（1，3），B（6，1），
∴的取值范围是：或；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握抛物线与直线的交点进行解题．
3. 已知一个几何体如图所示，则该几何体左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图的定义：由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线)，判断即可．
【详解】解：根据左视图的定义，该几何体的左视图为：
故选B．
【点睛】此题考查的是判断一个几何体的左视图，掌握左视图的是解决此题的关键．
4. 如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A. 4B. 2C. 1D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可．
【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，交于点B，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
5. 如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，
∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，
∴△ADF∽△EBA，
∴图中共有相似三角形5对，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
6. 如图，在，，点D是边BC上的一点，且，，则a等于（ ）
A. B.
C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】证明△ABC∽△DAC得，然后列方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴∠B=∠C
又∵，
∴∠C=∠DAC
∴△ABC∽△DAC
∴
∴
解得，或（舍去）
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7. 已知，那么锐角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据当α=45°时sinα=csα和正弦函数和余弦函数的增减性即可得出答案．
【详解】解：∵α=45°时sinα=csα，当α是锐角时sinα随α的增大而增大，csα随α的增大而减小，
∴45°＜α＜90°．
故选D．
【点睛】考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小．
8. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出正十二边形的中心角，利用十二边形周长公式求解即可．
【详解】解：∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于H，又，
∴，
∴圆内接正十二边形的周长，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，解直角三角形，求出正十二边形的周长是解题的关键．
9. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A. cmB. cmC. cmD. cm
【答案】A
【解析】
【分析】如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图，
PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，故⑤正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题(共4题；共20.0分)
11. 若抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2-4x-1的顶点重合,且与y轴的交点的坐标为(0,1),则抛物线y=ax2+bx+c的表达式是__.
【答案】y=4x²-8x+1
【解析】
【分析】先求得抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），由抛物线y=ax2+bx+c与抛物绒y=2x2-4x-1的顶点重合，可得抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），由此可设此抛物线为y=a（x-1）2-3，把（0，1）代入求得a值，化为一般式即可.
【详解】∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物绒y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），
∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物绒y=2x2-4x-1的顶点重合，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），
∴设此抛物线为y=a（x-1）2-3，
∵与y轴的交点的坐标为（0，1），
∴1=a-3，解得a=4，
∴此抛物线为y=4（x-1）2-3=4x2-8x+1．
故答案为：y=4x2-8x+1．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化、用待定系数法求函数的解析式，求得抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标是解题的关键.
12. 如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为______．
【答案】4
【解析】
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，利用三角形相似的性质可求得，同理求得，它们的差即为所求答案．
【详解】线段被截成三等份，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：4．
13. 如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点D，若，则________．

【答案】35
【解析】
【分析】连接并延长交于点E，连接，根据切线的性质可得，从而求出，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．
【详解】解：连接并延长交于点E，连接，如图：

与相切于点A，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14. △ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
【答案】 ①. 80 ②. ##
【解析】
【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，
即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，
∴△ACE≌△BCD（ SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，
∴∠EAC=20°，
∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
设BF与AC相交于点H，如图：
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，
∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，
∴BD=4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，
过点F作FG⊥DE于点G，
∴DG=GE=，
∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-，
故答案为：80；4-．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题(共9题；共90.0分)
15. 已知△ABC中的∠A与∠B满足（1－tanA）2＋|sinB-|＝0．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求（1＋sinA）2－2－（3＋tanC）0的值．
【答案】（1）△ABC是锐角三角形；（2）
【解析】
【分析】（1）根据绝对值的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论；
（2）根据（1）中∠A及∠B的值求出∠C的数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：（1）∵|1-tanA）2+|sinB-|=0，
∴tanA=1，sinB=，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，
∴△ABC是锐角三角形；
（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，
∴原式=（1+）2-2-1，
=．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，1），B（－1，4），C（－3，3）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，的坐标为（-4，2）
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C以点B为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可．
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图△ABC位置确定A（-1,1），B（-1,4），C（-3,2），△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1，
∴A1横坐标为-1+（4-1）=2，纵坐标为4-（-1+2）=3，点A1（2，3），
C1横坐标为-1+（4-3）=0，纵坐标为4-（-1+3）=2，点C1（0，2），
在平面直角坐标系中描点A1，C1，顺次连结，，
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
∵是△ABC以原点为位似中心，位似比为2：1放大后的对应图形，点A的坐标为（-2，1），
∴的坐标为（-4，2）；
【点睛】此题主要考查旋转与位似图形的作图，解题的关键是熟知旋转的性质及位似的定义．
17. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险,详见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点

在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
过作，垂足为点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
18. 如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC

（1）求证：DE是⊙O的切线：
（2）若CE=2，DE=4，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD∥BE，再根据垂线和平行线的性质得出OD⊥DE，进而得出DE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理和垂径定理得出AF=FC=DE=4，在Rt△OAF中，由勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
【小问2详解】
如图，连接AC，交OD于F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠FDE=90°，∠DEC=90°，
∴四边形FDEC是矩形，
∴DF=CE=2，FC=DE=4．
由垂径定理可知
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得，
即（r-2）2+42=r2，
解得r=5．
即半径为5．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键．
19. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形绿化带，一边靠墙，另三边用总长为40米的栅栏围住．设长为x米，绿化带面积为．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大是多少？
（3）若墙长是18米，当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大？
【答案】（1），
（2）当时，绿化带面积最大，最大面积是200平方米
（3）当时，绿化带面积最大，最大面积是平方米
【解析】
【分析】（1）根据长方形的面积计算公式列函数关系式，利用边长大于零及墙的长度求自变量的取值范围；
（2）将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质求出最大值；
（3）先确定自变量的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解： ，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴当时，绿化带面积最大，最大面积是200平方米；
【小问3详解】
∵，
∴，
∵，
∴开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，绿化带面积最大，最大面积是平方米．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
20. 定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
（1）如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
（2）如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
【答案】（1）为的理想点,理由见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；
（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．
【小问1详解】
解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的“理想点”；
【小问2详解】
①在上时，如图：
是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
，
②，，
有，
“理想点” 不可能在边上，
③在边上时，如图：
是的“理想点”，
，
又，
，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
21. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【答案】（1）见解析 （2）；．
（3）
【解析】
【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解；
（2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解；
（3）根据列表法求概率即可求解．
【小问1详解】
解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，
【小问2详解】
在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
【小问3详解】
列表如下，
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22. 如图，抛物线交y轴于A点，交x轴于点B、C．
（1）求直线的表达式；
（2）当点在线段上方的抛物线上移动时，求四边形的面积的最大值；
（3）将该二次函数图象向下平移，若平移后的图形恰好与坐标轴有两个公共点，直接写出平移距离．
【答案】（1）
（2）8 （3）或2
【解析】
【分析】（1）根据求得、，设直线的解析式为：，利用待定系数法求解即可；
（2）设出点坐标和点坐标，已表示出的长度为，再利用割补法表示的面积，将得到的表达式转化为二次函数顶点式求解即可；
（3）平移后的二次函数图象恰好与坐标轴有两个公共点，可知抛物线顶点在x轴上或抛物线经过原点，进而可知平移至原点或则顶点平移至x轴上，即可求解．
小问1详解】
解：当时，，当时，，解得：，，
∴、，
设直线的解析式为：，把、，
代入可得：，解得：，
∴直线：；
【小问2详解】
如图1，过点M作轴，垂足为N，交直线与点D．
设M点横坐标为a，
则，，
∴，
∴,
∴．
故当时，的面积最大，为8；
【小问3详解】
，则其顶点坐标为，
∵平移后的二次函数图象恰好与坐标轴有两个公共点，
∴抛物线顶点在x轴上或抛物线经过原点，
∴平移距离为或平移距离为2．
【点睛】本题一方面考查了利用待定系数法求解函数解析式的基本思路，二次函数的平移，第二考查了通过解析式设点的坐标，利用数形结合的思想求解满足题意图形时点的坐标的能力．
23. 在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．
（1）如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积，
（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．
①求证：；
②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：．
【答案】（1）5 （2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】（1）由中点定义可得，从而可求，然后根据勾股定理和正方形的面积公式可求正方形EFGH的面积；
（2）①根据余角的性质可证，进而可证，然后利用相似三角形的性质和等量代换可证结论成立；
②先证明，再证明，利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义整理可得结论．
【小问1详解】
解：∵，点M是边AB的中点，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得
，
∴正方形EFGH的面积为5．
【小问2详解】
解：①由题意知，
∴，
∵四边形EFGH是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
②由①得，
又∵，，
∴，
设的面积为．
∵∠K=∠K， ∠KHI=∠A=90°，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．甲
乙