235，安徽省亳州市利辛县2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份235，安徽省亳州市利辛县2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共19页。

2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握定义解答的关键．
【详解】根据题意，得抛物线的顶点坐标是，
故选A．
2. 如图，将绕着点C顺时针旋转后得到．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角，，由即可求解．
【详解】解：由旋转的性质知，，
，
，
故选：C．
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 相等的圆心角所对的弦相等
C. 相等的弧所对的弦相等D. 相等的弦所对的弧相等
【答案】C
【解析】
【分析】首先要明确否同圆或者等圆，其次还要明确优弧还是劣弧.
【详解】A、B选项中的结论必须要有“同圆或等圆”的前提，故均错误；D选项除了要明确“同圆或等圆”外，还要明确是优弧还是劣弧，故也错误；
故选择C.
【点睛】对于定理，一定不能忽略它的前提和一些限制条件.
4. 两圆的半径分别为3和4，圆心距为5，则两圆的位置关系是（ ）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了两圆的位置关系，本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
【详解】解：∵两圆的半径分别为3和4，圆心距为5，且，
∴两圆的位置关系是相交，
故选：B．
5. 在中，，若，，则的长是（ ）
A. 36B. 80C. 90D. 100
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题关键是明确三角函数的意义，准确得出直角三角形边之间的关系．根据三角函数值确定和的关系，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6. 如图，在和中，，要使与相似，还需要满足下列条件中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
，
故选A．
7. 如图，两圆相交于，两点，小圆经过大圆的圆心，四边形内接于小圆，点在大圆上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵四边形内接于小圆，
∴，
故选：A．
8. 如图，已知在中，，高，相交于O点，连接，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. 和的周长比为
C. D. 和的面积比为
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，余弦函数，利用相似的性质计算判断即可．
【详解】∵，高，相交于O点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故A正确；
∵，，
∴和周长比为，
故B正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故D正确；
在和，只有一个公共角，无法判定相似，
故C错误；
故选C．
9. 若抛物线向上平移p（p为正数且不等于3）个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则p的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移，抛物线与x轴的交点，解不等式组，在范围内与x轴只有一个交点，当，函数值小于零；当，函数值大于或等于零；
列式计算即可．
【详解】根据题意，平移后的抛物线的表达式为，
∵平移后抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴要使在范围内与x轴只有一个交点，只需当，函数值小于零；当，函数值大于或等于零；
∴，
解得，
故选D．
10. 如图，在直角中，，D，E分别是，上的一点，且．若以为直径的圆与斜边相交于M，N，则的最大值为（ ）

A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】作于F，根据垂线段最短，当经过圆心O时，最小，根据垂径定理，勾股定理计算即可．
【详解】如图，作于F，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
根据垂线段最短，当经过圆心O时，最小，有最大值，
∴，
连接，
∴，
根据垂径定理，得，
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 函数的图象，当时，y的值随x的值增大而______．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的增减性，根据抛物线开口向下，对称轴的右边，y随x的增大减小解答即可．
【详解】∵，
∴抛物线开口向下，
∴，即对称轴的右边，y随x的增大减小，
故答案：减小．
12. 如图，是的弦，半径，，则弦的长是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理.过点O作，垂足为C，利用垂径定理，勾股定理计算即可.
【详解】解：过点O作，垂足为C，

∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：.
13. 双曲线与直线相交于A，B两点，过点B作轴于C，连接，则的面积是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数k的几何意义．根据题意得点A，B关于原点对称，即可得到，由反比例函数k的几何意义得到，即可得到结果．
【详解】解：双曲线与直线相交于A，B两点，
点A，B关于原点对称，
，
，
故答案为：2．
14. 如图，中，，平分交于点D，交于点E，．
（1）的值为______；
（2）的面积为______．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】本题考查了角的平分线的性质，勾股定理，三角函数的应用，
（1）作于H，得，利用两次勾股定理计算即可．
（2）利用三角函数求得即可．
【详解】（1）作于H，
∵平分交于点D，，
∴，
在中，由勾股定理,得．
在中，，
即，
得，
得，
故答案为：6．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 如图，已知为的直径，弦，，交于F．求证：．
【答案】证明详见解析．
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理及推论，等腰三角形的判定定理，连接，证，根据圆周角定理的推论，等腰三角形的判定即可证得．
【详解】证明：连接，
，
∴，
又∵，
∴，
，
．
16. 某种型号的蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，已知当时，．
（1）求出I与R的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）某次使用这种蓄电池时，电路中电阻，求此时电路中电流的大小．
【答案】16. ；
17. ．
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，是解决问题的关键．
（1）设该反比函数解析式为 ，根据当 时， ，可得该反比函数解析式为，
（2）把代入，即可求解．
小问1详解】
解：设，
把，代入，
得，，
解得，，
∴；
【小问2详解】
解：当时，
，
答：所求电路中电流为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，AB为的直径，AC平分交于点C，，垂足为点D.求证：CD是的切线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠ACO，根据平行线的判定得出OC∥AD，根据平行线的性质得出OC⊥DC，再根据切线的判定得出即可．
【详解】解：证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DC，
∵OC过圆心O，
∴CD是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，能熟记经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线是解此题的关键．
18. 如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形的四个顶点都在格点上，O为边的中点，若把四边形绕着点O顺时针旋转180°，试解决下列问题：
（1）画出四边形旋转后的图形四边形；
（2）设点B旋转后的对应点为，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了旋转变换作图及解直角三角形，根据已知在Rt中求出的值是解题关键．
（1）根据旋转的性质找到、、、的对应点、、、，顺次连接即可．
（2）先利用网格得出为直角三角形，再根据正切函数定义计算．
【小问1详解】
解：四边形如图所示；
【小问2详解】
连接，则，，，则，，
∴，则为直角三角形，
∴，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 从喷水池喷头出的流水线，在空中形成一条抛物线，如图所示．抛物线上点的竖直高度y（单位：m）与该点到喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式，求喷出的流水线到达的最大高度和最大的水平距离是多少？

【答案】流水线到达的最大高度为，最大的水平距离为9m
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的应用，利用配方法求解，令解方程计算即可．
【详解】解：配方得，
当时，，
令得，，
解得：，（舍去），
答：流水线到达的最大高度为，最大的水平距离为9m．
20. 如图，A，B两个村庄之间有一条小河，为测量A，B两村之间的距离，在小河一侧的公路l上选出了C，D两个观测点，并使，若测得，，米，试求A，B两个村庄之间的距离（结果保留根号）．
【答案】米．
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，连接，作于E．求得，，的长，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接，作于E．则四边形是矩形，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米）．
∴（米），
又四边形是矩形，（米），
∴（米），，
∴（米），
∴（米），
答：A，B两个村庄之间的距离为米．
六、（本题满分12分）
21. 如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.
（1）求证：AB=AC；
（2）若，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【解析】
【分析】（1）由同圆半径相等和对顶角相等得∠OBP=∠APC，由圆的切线性质和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，则∠ABP=∠ACB，根据等角对等边得AB=AC；
（2）设⊙O的半径为r，分别在Rt△AOB和Rt△ACP中根据勾股定理列等式，并根据AB=AC得52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r的值即可．
【详解】解：（1）连接OB，∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP，∵∠OPB=∠APC，
∴∠OBP=∠APC，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，
∴∠ABP+∠OBP=90°，∵OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠APC=90°，∴∠ABP=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△AOB中，AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，
在Rt△ACP中，AC2=PC2﹣PA2，AC2=（2）2﹣（5﹣r）2，
∵AB=AC，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，
则⊙O半径为3．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径；并利用勾股定理列等式，求圆的半径；此类题的一般做法是：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；简记作：见切点，连半径，见垂直．
七、（本题满分12分）
22. 某公司开发出一种新技术产品，上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量y（件）与第x个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本z（元）与当月销售量y（件）之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元．
（1）求出y与x之间的函数关系式和z与y之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）求第几个月获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；；
（2）第9个月利润最大，最大利润为6500元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，二次函数的应用，待定系数法．
（1）利用待定系数法解答即可．
（2）根据二次函数的性质，求函数的最值．
【小问1详解】
设y与x的函数关系式，代入和，
得，
解得，
∴；
将代入，
得，
∴．
【小问2详解】
设第x个月的利润为w元，
，
，
当时，，
答：第9个月利润最大，最大利润为6500元．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在中，点P在最长边上，点Q在射线上，连接，，若，则称点P，Q为，边上一对“相似点”．
初步运用
（1）如图1，在中，点P，Q为，边上一对“相似点”，证明：；
（2）如图1，在△ABC中，点P，Q为，边上一对“相似点”，若，求的值；
拓展提升
如图2，在等腰中，，在线段上找出一点P，在射线找出一点Q，使点P，Q为，边上一对“相似点”．画出图形并求和的长．
【答案】初步运用：（1）证明详见解析；（2）；拓展提升：图见解析，，
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的新定义问题．
（1）根据点P，Q为，边上一对“相似点”，得到，得到，结合公共角证明．
（2）根据点P，Q为，边上一对“相似点”，得到，证明，列比例式计算即可．
过点B作，使交于P；过点P作，使交的延长线于Q，根据定义计算求解即可．
【详解】解：初步运用
（1）∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设．
∴，解得（其中负值舍去），
∴．
拓展提升
过点B作，使交于P；过点P作，使交的延长线于Q．
∵，
∴，，
即，，
∴，
∴．