228，重庆市缙云教育联盟2023-2024学年八年级上学期1月期末数学试题

这是一份228，重庆市缙云教育联盟2023-2024学年八年级上学期1月期末数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先去分母，再移项，合并同类项，化系数为1即可求解．
【详解】解：去分母得：，
移项，合并同类项得：，
化系数为1得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解题步骤是解本题的关键．
2. 下列变形属于因式分解的是（ ）
A. 4x+x＝5xB. （x+2）2＝x2+4x+4
C. x2+x+1＝x（x+1）+1D. x2﹣3x＝x（x﹣3）
【答案】D
【解析】
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，结合选项进行判断即可．
【详解】解：A、是整式的计算，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，掌握因式分解的定义是关键．
3. 分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则分式方程的解为，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4. △ABC中，，则△ABC是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】首先设∠A=x°，根据，可得∠B=3x°，∠C=4x°，再根据三角形内角和为180°可得方程x+3x+4x=180，再解可得x的值，进而得到三角形内角和的度数，进而得到答案．
【详解】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，
由x+3x+4x=180，
解得：x=22.5，
∴∠C=4×22.5°=90°，
故选B．
5. 如图，∠B＝40°，∠ACD＝108°，若B、C、D三点在一条直线上，则∠A的大小是（ ）
A. 148°B. 78°C. 68°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和即可直接得出答案．
【详解】解：∵∠B＝40°，∠ACD＝108°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝108°﹣40°＝68°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
6. 下列各分式中是最简分式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简分式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、，故选项A不是最简分式，不符合题意；
B、，故选项B不是最简分式，不符合题意；
C、，是最简二次根式，符合题意；
D、，故选项D不是最简分式，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查最简分式，解的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，AE∥BD交CB延长线于点E，若∠AEB＝25°，则∠ADB的度数为（ ）
A. 50°B. 70°C. 75°D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质和角平分线的性质可得∠ABD＝∠DBC＝∠AEB＝25°，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝50°，再由外角的性质可得∠ADB的度数．
【详解】解：∵AE∥BD，
∴∠E＝∠DBC＝25°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝25°，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠ADB＝∠ACB+∠DBC＝75°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，求出∠ACB的度数是本题关键．
8. 设为正整数，则存在正整数和，使得，则、值分别为（ ）.
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，然后两边同时加上，因式分解得到，根据等式恒成立的条件列出方程，即可求出a，b的值.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
要使等式恒成立，则且即可，
解得：，，
∴，，
故选A.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，根据等式恒成立得到且是解答本题的关键.
9. 已知，，且，则的值为（ ）
A. B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的绝对值，有理数的减法法则，绝对值的非负性，正确理解绝对值的含义是解题的关键．由绝对值的意义可得，，由绝对值的非负性可知，于是可得x，y的值，再计算即可求解．
【详解】，，
，，
又，
则，或，，
所以或
故答案为：D．
10. 折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得，两点落在、的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得、分别落在、的位置．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据折叠和平行的性质得出∠EFB=∠GEF，再利用三角形的外角和平行的性质得出∠FGD1=∠G2FC，最后利用∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°计算即可
【详解】∵AD//BC
∴∠DEF=∠EFB．
由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2
∴∠EFB=∠GEF．
∠FGD1=2∠BFE，又
∴∠FGD1+∠GFC1=180°
∵∠BFC2+∠C2FC=180°．
∴∠FGD1=∠G2FC．
即∠C2FC=2∠BFE．
又∵3∠EFB=∠EFC2．
∵∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°
∴ ∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°
即6∠EFB=180°
∴∠EFB=30°
故选：A
【点睛】本题考查折叠的性质、平行线的判定、三角形的外角，灵活进行角的转换是解题的关键
二、填空题
11. 如图，要从村庄P修一条连接公路的最短的小道，应选择沿线段________修建，理由是________．
【答案】 ①. PC ②. 垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
【详解】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点P作PC⊥l于点C，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
12. 计算的结果是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据积乘方逆运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方逆运算的应用，熟练掌握积的乘方逆运算法则是解题的关键．
13. 已知，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【详解】先把分式的分母因式分解，然后进行约分，得到原式，由，得到，然后代入计算即可得到原式的值．
【解答】解：原式
，
，
，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先去括号，再把分式的分子和分母因式分解，然后进行约分，把原分式化成最简分式，最后把满足条件的字母的值代入计算．
14 若方程有增根，则_____________．
【答案】8
【解析】
【详解】解∶两边都乘以（x-8）得，
x=2（x-8）+m，
∵方程有增根，
∴x-8=0，
解得x=8，
∴8=2（8-8）+m，
解得m=8．
故答案为∶8．
15. 如图，，垂足为C，，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动___________秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．

【答案】0或6或12或18
【解析】
【分析】此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分两种情况或进行计算即可．
【详解】解：①当在线段上，时，，
，
，
，
点的运动时间为（秒；
②当在线段上，时，，
这时，，因此时间为0秒；
③当在上，时，，
，
，
，
点的运动时间为（秒；
④当在上，时，，
，
，
，
点的运动时间为（秒，
点的运动时间为0或6或12或18．
故答案为：0或6或12或18．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质是解题关键．
16. 如图，现有边长分别为和的正方形纸片，以及长、宽分别为的长方形，其中．将两正方形纸片按图1和图2两种方式（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠）放置于长方形中，其中未被覆盖的部分用阴影表示．若图1中阴影部分的面积记为，图2中阴影部分的面积记为．则_____．
【答案】6
【解析】
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】解：如图，∵S1＝（AB−a）•a＋（CD−3）（AD−a）＝（AB−a）•a＋（AB−3）（AD−a），
S2＝AB（AD−a）＋（a−3）（AB−a），
∴S2−S1
＝AB（AD−a）＋（a−3）（AB−a）−（AB−a）•a−（AB−3）（AD−a）
＝（AD−a）（AB−AB＋3）＋（AB−a）（a−3−a）
＝3•AD−3a−3•AB＋3a＝3（AD−AB）
＝6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
17. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先解一元一次不等式组，根据解集为得到m的取值范围；再解分式方程，根据解是非负正数解且不是增根得到m的最终范围，然后再确定在这个范围内能使y是整数的m的值，最后求和即可．
【详解】解：关于x的不等式组整理得到：
，
∵不等式组的解集为，
∴；
分式方程两边都乘以得：，即．
∵y有非负解且，
∴且，解得：且．
∴且，
∴整数m为：它们的和为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
18. 已知|a|=6，b2=16，且ab＜0，则a+2b 的值是______．
【答案】-2或2
【解析】
【分析】根据|a|=6，b2=16，可以求出a=±6，b=±4，又因为ab＜0，得到a、b异号，所以可以确定a、b的值，求出答案即可．
【详解】解：∵|a|=6，b2=16
∴a=±6，b=±4
∵ab＜0
∴a=6，b=-4或a=-6，b=4
∴a+2b=-2或2．
故答案为：-2或2．
【点睛】本题主要考查了绝对值以及乘方，熟练绝对值以及乘方的算法是解决本题的关键．
三、解答题
19. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法，化简求解．
（1）根据单项式乘多项式的法则计算即可；
（2）根据整式的乘法，合并同类项进行计算，再代入求值．
【详解】（1）；
（2）
，
当时，原式．
20. 如图，已知，，点D、E分别在、上，且，，连接，、交于点M、连接．
（1）求证：；
（2）嘉琪说：“若，则E是的中点”，请你运用所学知识判断嘉琪的说法是否正确，若正确，给出证明；若不正确，说出理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）嘉琪的说法正确，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，线段和差问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质；
（1）根据线段和差问题得出，再利用即可证明；
（2）由，得出，再根据证明，则有，根据三角形面积公式可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
又，，
，
在和中，
，
【小问2详解】
解：嘉琪的说法正确，理由如下：
，
，
在和中，
，
，
；
，
，
过点M作于点F，
则，
，
即E是的中点．
21. 如图，在中，的角平分线交于点D．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程．
证明：∵的角平分线交于点D，
∴______．
∵垂直平分，
∴，______，______，
∴，
∴，
∴______．
∴．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、全等三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图是解题的关键；
（1）分别以点A、D为圆心，大于长为半径画弧，即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定可进行求证．
【小问1详解】
解：所作图形如下：
【小问2详解】
证明：∵的角平分线交于点D，
∴，
∵垂直平分，
∴，，．
∴．
∴．
∴．
∴．
22. 我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值．
（2）若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值；
（3）若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值．
【答案】22. k值为，m的值为3，n的值为2．
23.
24. 或，最小值为或
【解析】
【分析】题目主要考查整式的乘法运算及因式分解，解分式方程等，熟练掌握因式分解是解题关键．
（1）根据题意得到即可解答；
（2）根据题意得出，再由是的一个因式，进行因式分解确定，即可求解；
（3）根据因式分解得出，再由分式方程的解确定或，即可分情况得出Q，然后配方确定最小值即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
【小问2详解】
，
∵整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，
∴，
∴，
∵是的一个因式，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
，
∴，
得，
∵关于的方程的解为正整数，
∴或，
∴或，
∴，或
∴最小值为或．
23. 对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如．
（1）填空：当，时，__________；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）3 （2）81
【解析】
【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可；
（2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论．
【小问1详解】
解：
，
故答案为：3；
【小问2详解】
，，
，，
整理得：，，解得：，
．
【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题．
24. 已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
（1）如图，当时，求的度数；
（2）如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
（3）如图，在（）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）的值为，，秒．
【解析】
【分析】（）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用垂直定义即可得解；
（）根据平行线的性质以、角平分线的定义以及三角形内角和，通过等量代换，即可得解；
（）根据的旋转速度，得到的旋转速度，分情况进行讨论，即可得出结果，
本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，以及旋转的性质，解题的关键是：熟练掌握平行线的判定与性质及分类讨论．
【小问1详解】
解：如图，过点作，

∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：

由和的角平分线交于点，
设：，，、交于点，
，
由（）得，即：，
，即：，
又，即：，
，
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
当旋转到在射线上时，有，
此时，，
解得（秒）

当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴
此时，，
解得（秒）；

当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴，
此时，，
解得（秒）

当继续旋转到与重合之后，不存在与的一边互相平行的情况，
故的值为，，秒．