32，江苏省扬州市仪征市大仪中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题

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1. 一路人行走在如图所示每个格子都是正方形的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式直接求解即可．
详解】图中所有小方块有9个，其中阴影部分共有3个，
∴停在阴影部分的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查概率的计算，熟记概率公式是解题关键．
2. 某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断．
【详解】要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，
即中位数．
故选B.
3. 若，且面积比为，则与的周长比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可解决问题．
【详解】∵，且面积比为，
∴与的相似比为
∴与的周长比为．
故选：A．
4. 已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是 （ ）
A. r ＜ 6B. r ＞ 6C. r ≥ 6D. r ≤ 6
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解.
【详解】点在半径为的内，
小于，
而，
.
故选.
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
5. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=20°，则∠D等于（ ）
A. 20°B. 30°C. 50°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】连接CO利用切线的性质定理得出∠OCD=90°，进而求出∠DOC=40°即可得出答案．
【详解】解：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=20°，
∴∠OCA=20°，
∴∠DOC=40°，
∴∠D=90°-40°=50°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质以及三角形外角性质等知识，根据已知得出∠OCD=90°是解题关键．
6. 已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（ ）cm．
A. 3πB. 6πC. 12πD. 18π
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】解：它的侧面展开图的面积＝×2×2×3＝6（cm2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7. 函数y＝﹣x2﹣2x+m图象上有两点A(1，y1)，B(2，y2)，则（ ）
A. y1＜y2B. y1＞y2C. y1＝y2D. y1、y2的大小不确定
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数图象的对称轴，得到函数的增减性，比较两点横坐标与对称轴的大小，即可得到答案．
【详解】解：∵图象的对称轴为直线x=，a=-1<0，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵图象上有两点A(1，y1)，B(2，y2)，-1<1<2，
∴y1＞y2，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的性质：当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，熟记函数的性质是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系中，如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③方程的两根分别为和：④，其中正确的命题有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴，且过点，根据对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点，可对④进行判断；把代入可对①进行判断；由对称轴可对②作出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③进行判断．
【详解】解：由图像可知：抛物线开口向上，且过点，
把代入得，，
又∵，
∴，
∴①错误；
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴②错误；
由抛物线对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为、，
∴方程的两根分别为和1，
∴③正确；
有图可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴④正确．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握其性质的应用．
二．填空题（共10小题）
9. 一组数据6，2，–1，5的极差为__________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据极差的定义解题即可.
【详解】根据极差的定义,一组数据的最大值与最小值的差为极差,所以这组数据的最大值是6，最小值是-1，所以极差是6-（-1）=7,故答案为:7.
【点睛】本题考查极差的定义.找出这组数的最大值和最小值是解决本题的关键.
10. 在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是_____km．
【答案】2.8
【解析】
【详解】设这条道路实际长度为x，
则：，
解得x=280000cm=2.8km，
经检验，x=280000是原方程的解
∴280000cm=2.8km
∴这条道路的实际长度为2.8km．
故答案为2.8．
【点睛】本题考查了根据比例尺列出分式方程，解题的关键是知道比例尺的意义．
11. 一组数据、、……、的方差是，则另一组数据、、……、的方差是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据方差的特点：若在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案．
【详解】解：∵数据、、……、的方差是，
∴数据、、……、的方差是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上同一个数((或减去同一个数))时，平均数也加上或减去这个数，但是方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以同一个数(或除以同一个数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．
12. 已知线段的长为，点C是线段的黄金分割点，且，则___．（结果保留根号）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义：较长线段原线段即可解答．
【详解】解：∵线段，点C是线段的黄金分割点，且，
∴，
故答案为：．
13. 某超市九月份的营业额为50万元，十一月份的营业额为72万元．则每月营业额的平均增长率为_______．
【答案】20%
【解析】
【详解】试题解析：设增长率为x,根据题意得
解得x=−2.2(不合题意舍去)，x=0.2，
所以每月的增长率应为20%，
故答案为20%．
14. 如图，点G是△ABC的重心，GE∥AB交BC于点E，GF∥AC交BC于点F，若△GEF的周长是2，则△ABC的周长为_______．
【答案】6
【解析】
【详解】试题解析：∵G是△ABC的重心，






同理可得
∴△ABC的周长 故答案为6.
15. 如图，、是的切线，切点分别为A、B，点C是上的一点（不与A、B重合）．若，则的度数为________．
【答案】65°或115°
【解析】
【分析】分点C在优弧AB 弧上和劣弧AB弧上两种位置，根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB；再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：①当点C在优弧AB 弧上时，连接OA，OB，如图，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠AOB=360°-（90°+90°+50°）=130°，
∴∠ACB=∠AOB=65°．
②当点C在劣弧AB弧上时，连接OA，OB，如图，
同理可得，
故答案为：65°或115°
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数和得出∠ACB=∠AOB．
16. 如图是二次函数y=-x2+bx+c的部分图像，若，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据图像即可解决问题．
【详解】解：由图像可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-1，0）和（5，0），
∴时，x的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会根据图像确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
17. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球达到的最大高度是____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵铅球行进高度与水平距离之间的关系为，
∵
∴抛物线开口向下
∴当时，y有最大值3
∴铅球达到的最大高度是．
故答案为：3．
18. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结．则线段的最大值是_______．

【答案】####3.5
【解析】
【分析】当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，而是的中位线，即可求解．
【详解】解：令，解得，
故点，，
设圆的半径为r，则，
连接，而点Q、O分别为、的中点，
故是的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，此时最大，
，，
，，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的基本性质，抛物线与x轴的交点坐标，勾股定理，三角形中位线的性质等．见两个中点，联想到三角形中位线，从而将所求线段进行转化，是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【小问1详解】
解得，；
【小问2详解】
或
解得，．
20. 小红和父母计划寒假期间从A：拙政园、B：狮子林、C：上方山森林动物世界、D：天平山风景名胜区这4个景点中随机选择景点游玩．
（1）若小红一家从中随机选择一个景点游玩，则选中C：上方山森林动物世界的概率__________；
（2）若小红一家从中随机选择两个景点游玩，请用列举法（画树状图或列表）求选中A、C两个景点的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）列出表格，数出所有的情况数，再数出满足条件的情况数，利用概率公式两者相除即可．
【详解】解：（1）小红一家从中随机选择一个景点，共有四种结果，分别是选择A、选择B、选择C、选择D，其中，选择C只有一种结果，所以概率为；
（2）列表如下图所示：
由表可知，共有12种情况，其中选中A、C的情况有2种，所以概率为．
【点睛】本题考查了用列举法（列表或画树状图）的方式求概率，解决本题的关键是要理解概率的含义，掌握求概率的公式即可，考查了学生分析问题的能力．
21. 2019年6月11日至17日是我国第29个全国节能宣传周，主题为“节能减耗，保卫蓝天”．某学校为配合宣传活动，抽查了某班级10天的用电量，数据如下表（单位：度）：
（1）这10天用电量的众数是___________，中位数是_________；
（2）求这个班级平均每天的用电量；
（3）已知该校共有20个班级，试估计该校6月份（30天）总的用电量.
【答案】（1）13，13；（2）12；（3）估计该校6月份总的用电量约7200度
【解析】
【分析】（1）分别利用众数、中位数的定义求解即可；
（2）用加权平均数的计算方法计算平均用电量即可；
（3）用班级数乘以日平均用电量乘以天数即可求得总用电量．
【详解】（1）众数为13；中位数为13；
（2）度；
答：这个班级平均每天的用电量为12度
（3）总用电量为度．
答：估计该校6月份总的用电量约7200度
【点睛】本题考查了统计的有关概念及用样本估计总体的知识，题目相对比较简单，属于基础题．
22. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为3，求m的值及另一个根．
【答案】（1）见解析；（2）m=2，方程的另一根为．
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2+12≥12，由此即可得出结论．
（2）将x=3代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程即可求出方程的另一根．
【详解】解：（1）证明：∵在方程x2-mx-3=0中，△=（-m）2-4×1×（-3）=m2+12≥12，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
（2）将x=3代入x2-mx-3=0中，得：9-3m-3=0，
解得：m=2，
当m=2时，原方程为x2-2x-3=（x+1）（x-3）=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴方程的另一根为-1．
【点睛】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，掌握判别式的值与方程的解法是解答此题的关键．
23. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证△ADF∽△EAB；
（2）若AB＝12，BC＝10，求DF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据矩形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形矩形，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）∵在矩形中，点是的中点，，
∴，
∵在中，，
，
由（1）已证：，
，即，
解得．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，AB平分∠CAE．
（1）判断BE与⊙O位置关系，并说明理由；
（2）若∠ACB=30°，⊙O的半径为4，请求出图中阴影部分的面积．
【答案】（1）BE与⊙O相切，理由见解析；（2）π．
【解析】
【分析】(1) BE与⊙O相切，连接BO，先证∠1=∠2，利用AB平分∠CAE推出∠2=∠BAE，根据BE⊥AD，求出∠EBO=90°，得到结论；
（2）先证明△ABO是等边三角形，推出OA=OB=AB=4，∠ABE=30°，求出AE、BE，再根据S阴影=S四边形AEBO﹣S扇形AOB代入数值计算即可．
【详解】解：（1）BE与⊙O相切，
理由：连接BO，
∵OA=OB，
∴∠1=∠2，
∵AB平分∠CAE，
∴∠1=∠BAE，
∴∠2=∠BAE，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE+∠2=90°，即∠EBO=90°，
∴BE⊥OB，
∴BE与⊙O相切；
（2）∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠2=60°，OA=OB=AB=4，
∴∠ABE=30°，
∴AE=2，BE=，
∴S阴影=S四边形AEBO﹣S扇形AOB
=
=π．
．
【点睛】此题考查圆的切线的判定定理，勾股定理，等边三角形的判定及性质，扇形面积计算公式，不规则阴影的面积计算，角平分线的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
25. 如图，已知抛物线经过点．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当时，直接写出y的取值范围．
【答案】（1），顶点坐标；
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出y的取值范围．
【小问1详解】
解：将代入，得：
解得：

此抛物线的顶点坐标为．
【小问2详解】
解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
当时，y的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
26. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标；
（3）若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1），，
（2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）令，，代入函数解析式，即可求解；
（2）连接，与对称轴的交点即为的值最小时的点，求出直线的解析式，然后求出二次函数的对称轴为直线，然后将即可解决问题；
（3）过点作轴于点，连接，设点，则，，，，，根据构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【小问1详解】
令，得，
解得，
，
令，得，
；
【小问2详解】
如解图①，∵点与点关于对称轴对称，
∴连接，与对称轴的交点即为的值最小时的点．
设直线的解析式为，将代入得，，解得，
则直线的解析式为，
∵
∴对称轴为直线，
当时，，
；
【小问3详解】
如解图②，过点作轴于点，连接，
设点，则，，，，，
．
∴当时，有最大值，为4．
【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、两点之间线段最短、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决在性质问题，学会构建二次函数解决最值问题．
27. 某商店销售一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月售出，经市场调查，销售价每提高1元，月销售量就减少．
（1）当销售单价定为60元时，求月销售量和销售利润．
（2）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使月销售利润达到元，销售单价应定为多少元？
（3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【答案】（1）月销售量为；销售利润为元
（2）销售单价应定为85元
（3）当售价定为70元时，会获得最大利润元
【解析】
【分析】（1）先根据销售量和售价的关系求出月销售量，再根据销售利润（销售单价成本价）数量求出对应的销售利润即可；
（2）设销售单价定为x元，根据销售利润（销售单价成本价）数量建立方程求解即可；
（3）设销售单价定为x元，月利润为y元，根据销售利润（销售单价成本价）数量得到y与x二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，当销售单价定为60元时，月销售量为，
∴销售利润为元；
【小问2详解】
解：设销售单价定为x元，根据题意得：
解得：
当时，销售成本为，不合题意，舍去；
当时，销售成本为，符合题意；
答：销售单价应定为85元；
【小问3详解】
解：设销售单价定为x元，月利润为y元，根据题意得：
，
当时，；
答：当售价定为70元时，会获得最大利润元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意，列出对应的式子和方程是解题的关键．
28. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．我们对函数图像与性质进行探究，下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请解答下列问题：
（1）求该函数的解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）表中m的值为 ，n的值为 ．
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图像；
（4）结合上述研究：①写出方程的解 ．
②直接写出关于x的不等式的解集是 ．
【答案】（1），自变量取任意实数
（2），
（3）见解析 （4）①；②或
【解析】
【分析】（1）选择两组数据代入函数得到一个二元一次方程，解出a，b即可求出解析式；
（2）根据（1）得到的解析式代入m，n对应的x即可；
（3）描点法标记好每个点，再用光滑的曲线连接各点即可得到函数图像．
【详解】解：（1）由表格得，，在函数上，
将，代入，
得：，解得：，
该函数解析式为：，自变量取任意实数；
（2）当时，，即，
当时，，即，
故答案为：，；
（3）图象如图
(4)由图象可知，方程的解为
不等式的解集为：，
故答案是：，．
【点睛】本题考查新函数解析式的求法、根据自变量求因变量、函数图像的绘制，掌握这些是本题关键．
度数
8
9
10
13
14
15
天数
1
1
2
3
1
2
x
…
0
…
y
…
m
0
n
…