江苏省扬州市仪征市大仪中学2023-2024学年八年级上学期第一次阶段性小练习数学试卷（月考）

2023-2024学年大仪中学八年级第一次数学小练习

一、选择题（每小题3分，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．故选：C．

2．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　）

A．90° B．105° C．120° D．135°

【解答】解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，

∴∠1+∠3＝90°，又∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故选：D．

3．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（　　）

A．80°或50° B．50°或20° C．80°或20° D．50°

【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，

①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，

②当这个角80°是顶角，设等腰三角形的底角是x°，则2x+80°＝180°，

解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故选：A．

4．等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个三角形的周长为（　　）

A．16 B．27 C．16或27 D．21或27

【解答】解：①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，

周长＝11+11+5＝27；

②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，∵5+5＝10＜11，

∴不能组成三角形，综上所述，三角形的周长为27．故选：B．

5．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

【解答】解：如图所示，

以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．

以AB为公共边可画出△ABG，△ABM，△ABH三个三角形和原三角形全等．

以AC为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，所以可画出6个．故选：B．

6．如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，交OA于点E，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB＝10cm，CA＝4cm．则△OBC的面积为（　　）cm2．

A．40 B．30 C．20 D．10

【解答】解：∵BE是OA的垂直平分线，∴OB＝AB＝10cm．

∵OP是∠MON的角平分线，点C在OP上，CA⊥ON，

∴点C到OM的距离等于CA长为4cm．∴△OBC面积为×10×4＝20cm2．故选：C．

7．如图，在△ABC中，点E，F分别是边BC上两点，ED垂直平分AB，FG垂直平分AC，连接AE，AF，若∠BAC＝115°，则∠EAF的大小为（　　）

A．45° B．50° C．60° D．65°

【解答】解：∵∠BAC＝115°，∴∠B+∠C＝180°﹣115°＝65°，

∵ED垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴EA＝EB，FA＝FC，

∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝65°，

∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝50°，故选：B．

8．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，

∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，

∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确．

∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，

由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，又∵∠EPO＝∠BPA，∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确．

∵△ACE≌△ADB，∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，∴BD边上的高与CE边上的高相等，

即点A到∠BOC两边的距离相等，∴OA平分∠BOC，故③正确．

在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，

∴BP＜EQ，故④错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：C．

二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

9．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 　E6395　．

10．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 　SSS　．

11．一个三角形的三边为6、10、x，另一个三角形的三边为y、6、12，如果这两个三角形全等，则x+y＝　22　．

12．如图，△ABC的两条角平分线相交于O，过O的直线MN∥BC交AB于M交AC于N，若BC＝8cm，△AMN的周长是12cm，则△ABC的周长等于　20　cm．

13．如图，△ABC中∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝10，BD＝6，则D到AB的距离为　4　．

14．直角三角形斜边上的中线和高分别为6和5，则这个直角三角形的面积为　30　．

15．如图，点P是∠ACB外的一点，点D，E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，则线段P1P2的长为　4.5　．

【解答】解：∵点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，∴PE＝EP1，PD＝DP2，∵PE＝2.5，PD＝3，DE＝4，

∴P2D＝3，EP1＝2.5，即DP1＝DE﹣EP1＝4﹣2.5＝1.5，

则线段P1P2的长为：P1D+DP2＝1.5+3＝4.5．故答案为4.5．

16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD＝3，CE＝2，则DE＝　5　．

17．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　0或4或8或12　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．

【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，∵AC＝2，

∴BP＝2，∴CP＝6﹣2＝4，∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；

②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等，

这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒；

③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，∵AC＝2，∴BP＝2，

∴CP＝2+6＝8，∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；

④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等，∵BC＝6，∴BP＝6，

∴CP＝6+6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12（秒），故答案为：0或4或8或12．

18．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　60°　．

【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，

即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，

∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，

∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故答案为60°．

三、解答题：（本大题共10小题，共96.0分）．

19．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．

（1）求证：FH＝GM；

（2）若FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求HG的长度．

【解答】解：（1）∵△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角，∴FG＝MH，

∴FH＝GM；

（2）∵△EFG≌△NMH，∴FG＝HM＝3.3cm，∴HG＝FG﹣FH＝3.3cm﹣1.1cm＝2.2cm．

20．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，BF＝CE，AB∥DE，求证，AC＝DF．

【解答】证明：∵AB∥DE，

∴∠B＝∠E．∵BF＝CE，

∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF．又AB＝DE，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴AC＝DF．

21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．

【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，

∴DC＝DE，

在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．

22．如图，△ABC是等边三角形，CD⊥AB于点D，∠AEB＝90°，CD＝AE．

求证：（1）△BCD≌△BAE；（2）△EBD是等边三角形．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC．

∵CD⊥AB，∠AEB＝90°，∴∠CDB＝∠AEB＝90°．

在Rt△BCD和Rt△BAE中，，∴Rt△BCD≌Rt△BAE（HL）．

（2）∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，∴D为AB中点．∴ED＝AB＝DB．

∵△BCD≌△BAE，∴∠EBD＝∠DBC＝60°．∴△EBD是等边三角形．

23．已知：如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：（1）OC＝OD；（2）OE是CD的垂直平分线．

【解答】证明：（1）∵OE平分∠AOB，∴∠COE＝∠DOE，

∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE＝∠ODE＝90°，又∵OE＝OE，

∴△OCE≌△ODE（AAS），∴OC＝OD；

（2）∵△OCE≌△ODE，∴OC＝OD，CE＝DE，

∴OE是CD的垂直平分线．

24．如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．

（1）请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）

①作线段AB的垂直平分线MN；

②在直线MN上确定一点P，使得点P到∠ABC两边的距离相等．

（2）点Q是第（1）题中的直线MN上一点，则两线段QA，QC的长度之和最小值等于 　6　．

【解答】解：（1）①如图，直线MN即为所求；②如图，点P即为所求；

（2）如图，点Q即为所求，QA+QC的最小值＝QB+QC＝BC＝6，故答案为：6．

25．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．

（1）求证AD＝ED；

（2）若AC＝AB，DE＝3，求AC的长．

【解答】证明：（1）∵AE是∠BAC的角平分线∴∠DAE＝∠BAE

∵DE∥AB∴∠DEA＝∠EAB∴∠DAE＝∠DEA∴AD＝DE

（2）∵AB＝AC，AE是∠BAC的角平分线∴AE⊥BC

∴∠C+∠CAE＝90°，∠CED+∠DEA＝90°∴∠C＝∠CED∴DE＝CD且DE＝3

∴AD＝DE＝CD＝3∴AC＝6

26．如图，在长方形ABCD中，AB＞BC，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE

求证：（1）△AED≌△CDE（2）△EFD是等腰三角形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形∴AD＝CB，AB＝CD，

根据翻折性质可得，△CBA≌△CEA，∴CB＝CE，AB＝AE，

∴AD＝CE，CD＝AE，且DE＝DE，∴△ADE≌△CED（SSS）

（2）∵△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC，∴DF＝EF，∴△EFD是等腰三角形．

27．在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：

画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F．

（1）若PE⊥OA，PF⊥OB（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由；

（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由；

（3）探究：画∠AOB＝50°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝130°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由．

【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF；

（2）PE＝PF，理由如下：

当PE⊥OA时，如图①，∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，

∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO＝360°，

∴∠PFO＝90°，∴∠PEO＝∠PFO，∵OP＝OP，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴PE＝PF；

当PE与OA不垂直时，如图②，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，

∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∠POM＝∠PON＝45°，OP＝OP，∴△POM≌△PON（AAS），

∴PM＝PN，

∵∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN＝360°，

∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，

∴∠MPE＝∠NPF＝90°﹣∠EPN，

∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME≌△PNF（ASA），

∴PE＝PF，综上所述，PE＝PF．

（3）PE＝PF，理由如下：

如图③，在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG，

∵OC平分∠AOB，∴∠POG＝∠POE，∵OP＝OP，

∴△POG≌△POE（SAS），∴∠OGP＝∠OEP，PG＝PE，

∴∠PGF+∠OEP＝∠PGF+∠OGP＝180°，

∴∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，

且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP＝360°，

∴∠PFG+∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝PF，∴PE＝PF．

28．（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线AD的取值范围是 　2＜AD＜8　；

（2）问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

【解答】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示：

∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，

∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，

在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为：2＜AD＜8；

（2）证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示：

同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，

∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；

（3）解：BE+DF＝EF；理由如下：延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°，

∴∠NBC＝∠D，

在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），

∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，

∴∠BCE+∠FCD＝70°，

∴∠ECN＝70°＝∠ECF，

在△NCE和△FCE中，，

∴△NCE≌△FCE（SAS），

∴EN＝EF，

∵BE+BN＝EN，

∴BE+DF＝EF．