178，湖南省株洲市二中2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷

这是一份178，湖南省株洲市二中2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：金晶 审题人：杨平安 时量：120分钟 分值：150分
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义求解．
【详解】由已知，
故选：B．
2. 为了得到的图象，只要将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】先将写成的形式，根据函数的图像“左加右减”的原则，比较前后变化即得平移变换的方向与长度.
【详解】因，将函数的图象向右平移个单位长度即得函数的图像.
故选：A.
3. 已知，且，且，下列运算正确的是（ ）
A. B. 您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，以及换底公式，即可得出答案.
【详解】对于A项，根据对数的运算可知，，故A错误；
对于B项，根据对数的运算可知，，故B错误；
对于C项，根据换底公式可知，，故C正确；
对于D项，根据对数的运算可知，，故D错误.
故选：C
4. 设点是线段的中点，点在直线外，若，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据得，由于是线段的中点，故，再结合题意即可求解.
【详解】解：，两边平方得，
，
∴ ，∴
又∵ 是线段的中点，
∴
∴.
故选：B.
【点睛】本题考查向量的数量积的定义，向量的模的计算，是中档题.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用已知条件计算，再利用二倍角的余弦公式计算即得结果.
【详解】由，，
两式平方后相加可得，，
即，得，
所以，故.
故选：C.
6. 已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. ，D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用一次函数和对数函数的单调性可解决此问题．
【详解】解：根据题意得，
（1）若两段在各自区间上单调递减，则：
；
解得；
（2）若两段在各自区间上单调递增，则：
；
解得；
综上得，的取值范围是，
故选．
【点睛】本题考查一次函数、对数函数以及分段函数单调性的判断，值域的求法,属于基础题．
7. 已知是方程的两根，有以下四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：.
如果其中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据韦达定理可得，对乙､丁运算分析可知乙､丁一真一假，分别假设乙､丁是假命题，结合其他命题检验判断．
【详解】因为是方程的两根，所以，
则甲：；
丙：.
若乙､丁都是真命题，
则，所以，，
两个假命题，与题意不符，所以乙､丁一真一假，
假设丁是假命题，由丙和甲得，所以，
即，所以，与乙不符，假设不成立；
假设乙是假命题，由丙和甲得，又，所以，
即与丙相符，假设成立；故假命题是乙，
故选：．
8. 已知，则以下关于的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据零点存在性定理可求解，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解的范围，即可比较大小．
【详解】由，令，则在定义域内单调性递增，且，
由零点存在性定理可得，
，
又，因此，
，可得，
，，
，
，，，
．
故选：D
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：
（1）结合函数性质进行比较；
（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；
（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 某扇形的半径为2，圆心角的弧度数为，则该扇形的面积为
B. 已知函数，若，则
C. “”是“”的必要不充分条件
D. 函数只有一个零点
【答案】AC
【解析】
【分析】由扇形的面积公式即可判断A，由函数的奇偶性即可判断B，由充分条件以及必要条件的定义即可判断C，由函数零点的定义即可判断D
【详解】因为扇形的半径为2，圆心角的弧度数为，
由扇形的面积公式可得，故A正确；
函数，则，
令，则为奇函数，
则，则，
即，所以，故B错误；
由可得，由可得，即，
则是的必要不充分条件，
所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
令，可得，
即，显然，所以方程有两个不同实根，
所以函数有两个零点，故D错误；
故选：AC.
10. 若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式及其“1”的代换判断各项正误.
【详解】A：由题设，当且仅当时取等号，对；
B：由题设，当且仅当时取等号，
所以，对；
C：，
当且仅当时取等号，对；
D：，当且仅当时取等号，错.
故选：ABC
11. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是（ ）

A. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上的单调递减区间为
D. 若函数为偶函数，则θ的最小值为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据图像确定，得到和的解析式，根据平移法则得到A正确，代入验证得到B正确，举反例得到C错误，计算最小值为，D错误，得到答案.
【详解】根据图像的最大值为，且，故，
，故或（舍），，故，
即，，
对选项A：，
向左平移得到，正确；
对选项B：当时，，故关于点对称，正确；
对选项C：，，，错误；
对选项D：为偶函数，则，，
解得，，当时，有最小值为，错误.
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若幂函数在上是增函数，则__________．
【答案】.
【解析】
【详解】分析：利用幂函数的定义和单调性即可得出.
详解：幂函数在上是增函数，
，解得.
故答案为.
点睛：熟练掌握幂函数的定义和单调性是解题的关键.
13. 已知，均为锐角，且，，则的值为__________．
【答案】.
【解析】
【详解】分析：由已知及同角三角函数关系式可求csα，sinβ，由两角和与差的余弦函数公式即可求sin（α﹣β）的值，结合α﹣β的范围即可得解．
详解：∵α，β均为锐角，sinα=，csβ=，
∴csα==，sinβ==，
∴sin（α﹣β）=sinαcsβ﹣csαsinβ=，
∵﹣＜α﹣β<，
∴可解得：.
故答案为.
点睛：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．
14. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为______．
【答案】12
【解析】
【分析】由题意求得，，化简，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知，在锐角中，，
，
等式两边同时除以，得，
又，
所以，
得，且，
所以，
令，则，
故
，
当且仅当即时等号成立，此时，
所以的最小值为12.
故答案为：12
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是定义在上的奇函数，，当时的解析式为.
（1）写出在上的解析式；
（2）求在上的最值.
【答案】（1）
（2）最大值为0，最小值为
【解析】
【分析】（1）先求得参数，再依据奇函数性质即可求得在上的解析式；
（2）转化为二次函数在给定区间求值域即可解决.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，即，
由，得，由，解得，
则当时，函数解析式为
设，则，，
即当时，
【小问2详解】
当时，
，
所以当，即时，的最大值为0，
当，即时，的最小值为.
16. 已知函数（且），.
（1）求使成立的的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由结合对数运算可求得的值，可得出函数的解析式，然后解方程，可得出满足条件的的值；
（2）分析可知，是上的增函数，根据可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【小问1详解】
解：因为，则，解得，
所以，得，
即，解得或.
【小问2详解】
解：由（1）知是上的增函数，
又，则，解得.
故实数的取值范围是.
17. 已知函数（，）的最小正周期为，且的图象过点．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的对称中心．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求出，结合图象过的点求出，进而，利用整体代换法即可求出函数的单调区间；
（2）根据两角和差公式、辅助角公式和二倍角公式可得，利用整体代换法即可求出函数的对称中心.
【小问1详解】
由题意知，，所以，
由函数图象过点，得，
由，解得，所以.
令，得，
所以函数的单调递增区间为；
小问2详解】
由（1）知，
，
令，解得，
即函数的对称中心为，.
18. 如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.
（1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积；
（2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积，再由基本不等式求解；
（2）由题意，则即可求解.
【小问1详解】
过作，垂直于，，垂足分别为，，
则，，，，
养殖观赏鱼面积，
由可得，则，当且仅当即时取等号，故时，最小.
【小问2详解】
由，可得，
则，，，由题意，
则，
则，结合，则.
19. 设，函数，.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个零点，，试证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数的零点个数；
（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明，即，令，则将原命题转化为证明，显然成立，进而原命题成立得证.
【小问1详解】
，
令，即，
当时，令，所以，
则即，
所以当或时，即或时，无解；
当时，即时，仅有一解；
当即时，有两解，
综上，或时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零点.
小问2详解】
若有两个零点，，
令，，则，为两解，
则，则，则，
由可得，，
则，
所以，所以，
由可得，
所以，则，
由在递减，可得，
所以，所以
令，则
要证成立，
即证：；
即证：，因为显然成立，故原式成立.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．