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湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷
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这是一份湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了已知集合，则，已知的定义域是，则的定义域为，已知函数，则，如图，某池塘里浮萍的面积等内容，欢迎下载使用。
试卷时量：120分钟 满分150命题：高一数学备课组 审定：高一数学备课组
一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，命题“存在，使有实根”的否定是（ ）
A.任意，使无实根
B.任意，使有实根
C.存在，使无实根
D.存在，使有实根
3.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于（ ）
A. B. C. D.
4.若实数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知的定义域是，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
6.关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A.4 B. C.2 D.
7.命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（ ）
A.2 B.-2 C.5 D.4
二､多选题（本题共3个小题，每小题6分.共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分.选错得0分，部分选对得3分）
9.已知函数，则（ ）
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在区间上单调递减
D.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
10.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，且）.
下列说法正确的是（ ）
A.浮萍每月的增长率为2
B.第5个月时，浮萍面积就会超过
C.浮萍每月增加的面积都相等
D.若浮萍曼延到所经过的时间分别是，则
11.已知函数若函数有三个零点，且，则（ ）
A.
B.
C.函数的增区间为
D.的最小值为
三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12.函数的定义域为__________.
13.若函数若在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围是__________.
14.已知，当时，取得最大值，则__________.
四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）计算下列各式的值：
（1）
（2）
16.（本小题满分15分）
已知
（1）求的值；
（2）已知，求的值.
17.（本小题满分15分）
已知函数
（1）求的对称轴方程；
（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）
已知函数（且）为奇函数.
（1）求函数的定义域及解析式；
（2）若，函数的最大值比最小值大2，求的值.
19.（本小题满分17分）
设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.
（1）判断集合和是否为集合，说明理由；
（2）若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数；
（3）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数.
明德中学2024年上学期入学考试
数学参考答案
1-8CADAD ADA
9.ACD 10.BD 11.AD
8.【详解】设的零点为，则，又，
故，解得，则，
因为函数与函数的零点相同，所以方程无解或与方程的解相同，所以或，解得，
所以，故选：A
11.【详解】
如图所示：
对于A：方程有三个解与有3个交点，从图中可以看出A正确；
对于B：令得，即点的坐标为，令得，即点的坐标为，
由图可知的范围应该介于，之间，可以取点，不能取点，所以，故B正确；
对于C：的增区间为，所以的增区间为，故C错误；
对于D：关于对称，所以，
令得或，由图可知
等号当时即时成立，故D正确.
故选：ABD
12.【答案】 13.【答案】
14.【详解】令，其中为锐角，
则，因为当时，取得最大值，则，
所以，，所以，，，故，
15.
（2）解：由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得：
16.（1）由诱导公式得：，
所以.
（2）由（1）得，由，得.
所以.
17.（1）
令得
所以的对称轴方程为
（2）因为，则，
的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令则
依题意得：在上仅有一个实根.
令，因为
则需或，
解得：或.
18.【详解】（1）要使函数有意义，则，可得：，
因为为奇函数，所以，即，所以的定义域为，
由可得：，所以，
此时，是奇函数，符合题意.
（2），
①当时，函数单调递减，
所以，
，
所以，解得.
②当时，函数单调递增，
所以，，
所以，
解得.
综上，或.
19.【详解】（1）集合是集合，
当时，；
当时，；
当时，；
集合不是集合，
取，则，不满足题中性质.
（2）当时，，
当时，，
当时，，
所以.
不妨设，
①若，因为，从而，与矛盾；
②若，因为，故，
所以.
经验证，此时是集合，元素大于1的个数为；
③若，因为，所以与矛盾；
④若，因为，故，
所以.经验证，此时是集合，元素大于1的个数为；
综上：中大于1的元素的可能个数为.
（3）假设集合中全为正实数.
若中至少两个正实数大于，设，则，
取，则，
而，从而，矛盾；
因此中至多有1个正实数大于.
当时，设，
若，
当时，，
当时，，
当时，，
由于，
，
所以，
所以.因为，
所以
，矛盾.因此当时，.
当时，集合中至少有4个不同的正实数不大于，
设，
因为是有限集，设，其中.
又因为集合中至少有4个不同的正实数不大于，
所以，且存在，且使互不相同，
则，
当时，，
当时，，
于是，
与矛盾.因此，中元素不能全为正实数.
试卷时量：120分钟 满分150命题：高一数学备课组 审定：高一数学备课组
一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，命题“存在，使有实根”的否定是（ ）
A.任意，使无实根
B.任意，使有实根
C.存在，使无实根
D.存在，使有实根
3.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于（ ）
A. B. C. D.
4.若实数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知的定义域是，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
6.关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A.4 B. C.2 D.
7.命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（ ）
A.2 B.-2 C.5 D.4
二､多选题（本题共3个小题，每小题6分.共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分.选错得0分，部分选对得3分）
9.已知函数，则（ ）
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在区间上单调递减
D.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
10.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，且）.
下列说法正确的是（ ）
A.浮萍每月的增长率为2
B.第5个月时，浮萍面积就会超过
C.浮萍每月增加的面积都相等
D.若浮萍曼延到所经过的时间分别是，则
11.已知函数若函数有三个零点，且，则（ ）
A.
B.
C.函数的增区间为
D.的最小值为
三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12.函数的定义域为__________.
13.若函数若在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围是__________.
14.已知，当时，取得最大值，则__________.
四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）计算下列各式的值：
（1）
（2）
16.（本小题满分15分）
已知
（1）求的值；
（2）已知，求的值.
17.（本小题满分15分）
已知函数
（1）求的对称轴方程；
（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）
已知函数（且）为奇函数.
（1）求函数的定义域及解析式；
（2）若，函数的最大值比最小值大2，求的值.
19.（本小题满分17分）
设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.
（1）判断集合和是否为集合，说明理由；
（2）若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数；
（3）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数.
明德中学2024年上学期入学考试
数学参考答案
1-8CADAD ADA
9.ACD 10.BD 11.AD
8.【详解】设的零点为，则，又，
故，解得，则，
因为函数与函数的零点相同，所以方程无解或与方程的解相同，所以或，解得，
所以，故选：A
11.【详解】
如图所示：
对于A：方程有三个解与有3个交点，从图中可以看出A正确；
对于B：令得，即点的坐标为，令得，即点的坐标为，
由图可知的范围应该介于，之间，可以取点，不能取点，所以，故B正确；
对于C：的增区间为，所以的增区间为，故C错误；
对于D：关于对称，所以，
令得或，由图可知
等号当时即时成立，故D正确.
故选：ABD
12.【答案】 13.【答案】
14.【详解】令，其中为锐角，
则，因为当时，取得最大值，则，
所以，，所以，，，故，
15.
（2）解：由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得：
16.（1）由诱导公式得：，
所以.
（2）由（1）得，由，得.
所以.
17.（1）
令得
所以的对称轴方程为
（2）因为，则，
的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令则
依题意得：在上仅有一个实根.
令，因为
则需或，
解得：或.
18.【详解】（1）要使函数有意义，则，可得：，
因为为奇函数，所以，即，所以的定义域为，
由可得：，所以，
此时，是奇函数，符合题意.
（2），
①当时，函数单调递减，
所以，
，
所以，解得.
②当时，函数单调递增，
所以，，
所以，
解得.
综上，或.
19.【详解】（1）集合是集合，
当时，；
当时，；
当时，；
集合不是集合，
取，则，不满足题中性质.
（2）当时，，
当时，，
当时，，
所以.
不妨设，
①若，因为，从而，与矛盾；
②若，因为，故，
所以.
经验证，此时是集合，元素大于1的个数为；
③若，因为，所以与矛盾；
④若，因为，故，
所以.经验证，此时是集合，元素大于1的个数为；
综上：中大于1的元素的可能个数为.
（3）假设集合中全为正实数.
若中至少两个正实数大于，设，则，
取，则，
而，从而，矛盾；
因此中至多有1个正实数大于.
当时，设，
若，
当时，，
当时，，
当时，，
由于，
，
所以，
所以.因为，
所以
，矛盾.因此当时，.
当时，集合中至少有4个不同的正实数不大于，
设，
因为是有限集，设，其中.
又因为集合中至少有4个不同的正实数不大于，
所以，且存在，且使互不相同，
则，
当时，，
当时，，
于是，
与矛盾.因此，中元素不能全为正实数.
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