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38，湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷
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这是一份38，湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|−1A. ∁U(M∪N)B. N∪(∁UM)C. ∁U(M∩N)D. M∪(∁UN)
2.若椭圆C：x2m+y29=1(m>0)上一点到C的两个焦点的距离之和为2m，则m=( )
A. 1B. 3C. 6D. 1或3
3.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，平面AB1C与平面AA1D1D的交线为l，则
( )
A. l//A1DB. l//B1DC. l//C1DD. l//D1D
4.将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有
( )
A. 480种B. 240种C. 15种D. 10种
5.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则t=( )
A. −6B. −5C. 5D. 6
6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA(sinC−csC)=0，a=2，c= 2，则C=( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
7.已知函数f(x)=3sin (4x+π3)+4sin (4x−π6)，设∀x∈R,∃x0∈R,f(x)⩽f(x0)，则tan (4x0−2π3)等于
( )
A. −43B. −34C. 34D. 43
8.已知f(x)=|sinπx|,0≤x≤2ex,x<0，若存在实数xi(i=1,2,3,4,5)，当xi( )
A. (−∞,−1e5]B. −1e3,0C. (−∞,4]D. −1e5,4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=1a+bi(a,b∈R且b≠0)，则下列结论正确的是
( )
A. z可能是实数B. |z|=|z|恒成立
C. 若z2∈R，则a=0D. 若z+1z∈R，则|z|=1
10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P( 2,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是
( )
A. 离心率的取值范围为0,12
B. 当离心率为 24时，|QF1|+|QP|的最大值为2a+ 62
C. 存在点Q使得QF1⋅QF2=0
D. 1|QF1|+1|QF2|的最小值为1
11.设等差数列an的前n项和为Sn，则有以下四个结论中正确是
( )
A. 若a5=0，则S9=0；
B. 若S6−S9=a10，且a2>a1，则a8<0且a9>0
C. 若S16=64，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3:1，则公差为2
D. 若(n+1)Sn>nSn+1，且a22=a62，则S3和S4均是Sn的最大值．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知α∈(π2,π)，sin α= 55，则tan (α+π4)=______．
13.已知圆锥PO的底面半径为 3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120∘，若△PAB的面积等于9 34，则该圆锥的体积为________
14.已知正实数a,b,c,d满足a2−ab+4=0，c2+d2=1，则当(a−c)2+(b−d)2取得最小值时，ab=_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠.本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来，游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%.某市旅游局从游客中随机抽取100人(其中年龄在50周岁及以下的有60人)了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄(50周岁及以下和50周岁以上)分类统计得到不完整的2×2列联表：单位：人
(1)根据统计数据完成以上2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联．
(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率作为概率.，求X的分布列和数学期望;
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
附：
16.(本小题15分)
如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆周的一条弦EF交CD于点G，其中DG=2，DE=DF．
(1)证明：平面AEF⊥平面ABCD．
(2)在上底面圆周上是否存在点P，使得二面角P−EF−A的正弦值为35?若存在，求AP的长;若不存在，请说明理由．
17.(本小题15分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、B两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，F是椭圆的右焦点，且∠FAB=π6，直线l与椭圆相切于点P(P在第一象限)，与y轴相交于Q(Q异于P).记O为坐标原点，若△OPQ是等边三角形，且△OPQ的面积为 32，
(1)求椭圆的标准方程．
(2)C、D两点均在直线m：x=a上，且C在第一象限．设直线AD、BC分别交椭圆于点S、点T，若S、T关于原点对称，求|CD|的最小值．
18.(本小题17分)
高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段AB､BC代表山坡，线段CD为一段平地.设图中AB､BC坡的倾角满足tanθ=724，tanφ=512,AB长250m,BC长182m,CD长132m.假设该路段的高铁轨道是水平的(与CD平行)，且端点E､F分别与A､D在同一铅垂线上，每隔30m需要建造一个桥墩(不考虑端点F建造桥墩)
(1)求需要建造的桥墩的个数；
(2)已知高铁轨道的高度为80m，设计过程中每30m放置一个桥墩，设桥墩高度为ℎ(单位：m)，单个桥墩的建造成本为W=0.65ℎ+5(单位：万元)，求所有桥墩建造成本总和的最小值．
19.(本小题17分)
设y=fx、y=gx是定义域为R的函数，当gx1≠gx2时，δ(x1,x2)=f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)．
(1)已知y=gx在区间I上严格增函数，且对任意x1,x2∈I,x1≠x2，有δx1,x2>0，证明：函数y=fx在区间I上是严格增函数；
(2)已知gx=13x3+ax2−3x，且对任意x1,x2∈R，当gx1≠gx2时，有δx1,x2>0，若当x=1时，函数y=fx取得极值，求实数a的值；
(3)已知g(x)=sin x,f(π2)=1,f(−π2)=−1，且对任意x1,x2∈R，当g(x1)≠g(x2)时，有|δ(x1,x2)|⩽1，证明：fx=sinx．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了集合交并补混合运算，属于基础题．
先求出M∪N，M∩N，∁UM，∁UN，即可逐项求出．
【解答】
解：因为U=R，集合M={x|x<1}，N={x|−1所以M∪N=x|x<2，M∩N=x|−1所以∁U(M∪N)={x|x⩾2}，N∪(∁UM)={x|x>−1}，∁U(M∩N)={x|x⩽−1或x⩾1}，M∪(∁UN)={x|x<1或x⩾2}
故选A.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的定义及其应用，属于基础题．
结合椭圆的定义分焦点位于x轴和y轴两种情况即可求得m的值．
【解答】
解：若椭圆的焦点位于x轴，则2 m=2m，解得m=0或m=1，
此时不能使得椭圆的焦点位于x轴，舍去;
若椭圆的焦点位于y轴，则2m=2 9,m=3，满足题意．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
∵平面BCC1B1//平面ADD1A1，B1C=平面BCC1B1∩平面AB1C，平面AB1C∩平面ADD1A1=l，
∴l//B1C，
对于A，∵A1D//B1C，∴l//A1D，故A正确；
对于B，因为B1D与B1C相交，所以l与B1D不平行，故B错误；
对于C，因为C1D与B1C不平行，所以l与C1D不平行，故C错误；
对于D，因为DD1与B1C不平行，所以l与DD1不平行，故D错误．
故选：A．
由面面平行的性质可判断．
本题主要考查了面面平行的性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查组合的应用，属于基础题．
将2个8插空放入不相邻的5个空位，即可得解．
【解答】
解：将2个8插空放入不相邻的5个空位(4个6产生5个空位)中有 C52=10 种方法，
故2个8不相邻的情况有10 种．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标运算和夹角运算，属于基础题。
由向量的坐标运算可得c的坐标，再根据求向量夹角的坐标运算计算即可．
【解答】
解：由已知有c=(3+t,4)，
因为cs=cs，所以 9+3t+16|c|⋅5=3+tc⋅1，
解得t=5．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理的相关知识.熟练掌握正弦定理是解题的关键．
首先根据正弦定理和两角和与差的三角函数公式求出角A，再根据正弦定理即可求出角C．
【解答】
解：根据题意知：sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
∵sinB+sinA(sinC−csC)=0，
∴sinAcsC+csAsinC+sinAsinC−sinAcsC=0，
∴csAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴csA=−sinA，
∴tanA=−1，
∵0∴A=3π4，
由正弦定理可得csinC=asinA，
∴sinC=csinAa；
∵a=2，c= 2
∴sinC=csinAa= 2× 222=12，
∵a>c，
∴C=π6，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题重点考查诱导公式、三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题．
化简f(x)=5sin(4x+π3−φ)(其中tanφ=43)，求出f(x)max=5，得4x0+π3−φ=π2+2kπ(k∈Z)，利用诱导公式即可求解．
【解答】
解：∵f(x)=3sin(4x+π3)+4sin(4x−π6)=3sin(4x+π3)+4sin(−π2+4x+π3)，
∴f(x)=3sin(4x+π3)−4cs(4x+π3)，
∴f(x)=5sin(4x+π3−φ)(其中tanφ=43)，
∴f(x)max=5，
∵∀x∈R，∃x0∈R，f(x)≤f(x0)，
∴4x0+π3−φ=π2+2kπ(k∈Z)，
∴tan(4x0−2π3)=tan(−π2+2kπ+φ)=−1tanφ=−34，k∈Z
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了数形结合的数学思想，是较难题．
作出f(x)的大致图像，由图像和正弦函数的性质可知，x2+x3=1，x4+x5=3，x1<0，所以i=15xif(xi)=(x1+4)f(x1)=(x1+4)ex1，令g(x)=(x+4)ex(x<0)，利用导数得到函数g(x)的单调性和极值，求出g(x)在x<0时的值域，从而得到i=15xif(xi)的取值范围．【解答】
解：作出f(x)=|sinπx|,0≤x≤2ex,x<0的大致图像，如图所示，
由图像和正弦函数的性质可知，x2+x3=1，x4+x5=3，x1<0，
∴i=15xif(xi)=(x1+x2+x3+x4+x5)f(x1)=(x1+4)f(x1)=(x1+4)ex1，
令g(x)=(x+4)ex(x<0)，则g′(x)=(x+5)ex，
当x∈(−∞,−5)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(−5,0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
又∵当x<−4时，g(x)<0，且g(0)=4，
∴g(x)min=g(−5)=−1e5，
∴−1e5≤g(x)<4，
∴i=15xif(xi)的取值范围为[−1e5,4)，
故选：D．
9.【答案】BCD
【解析】本题考查复数的四则运算，复数的概念，复数的模以及共轭复数，属中档题．
化简复数 z=1a+bi，可得 z=aa2+b2−ba2+b2i，由复数的概念，可判断A；由A知 z=aa2+b2+bia2+b2，再由复数的模，可知 |z|=z，可判断B；由 z2=a2−b2(a2+b2)2−2ab(a2+b2)2i，且 z2∈R，可判断C；由 z+1z=(aa2+b2+a)+(b −ba2+b2)i，且 z+1z∈R，可判断D．
【解答】
解：对选项A，若z=1a+bi=a−bia2+b2=aa2+b2−ba2+b2i是实数，则b=0，与已知矛盾，故A错；
对选项B，由A知z=aa2+b2+bia2+b2，
所以|z|= (aa2+b2)2+(−ba2+b2)2,|z|= (aa2+b2)2+(ba2+b2)2，
所以|z|=z，故B正确；
对选项C，z2=a2(a2+b2)2−b2(a2+b2)2−2ab(a2+b2)2i=a2−b2(a2+b2)2−2ab(a2+b2)2i，且z2∈R，
则2ab(a2+b2)2=0，因为b≠0，所以a=0，故C正确；
对选项D，z+1z=1a+bi+a+bi=(aa2+b2+a)+(b−ba2+b2)i，且z+1z∈R，则b−ba2+b2=0，
因为b≠0，所以a2+b2=1，所以|z|= (aa2+b2)2+(−ba2+b2)2=1，故D正确．
故选BCD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义和相关性质、椭圆离心率和距离最值问题、基本不等式的应用，属于拔高题．
根据椭圆的定义和相关性质，结合所给条件，逐个分析判断即可得解．
【解答】解：由题意可得，2a=4，所以a=2．
由点P( 2,1)在椭圆内部，可得：24+1b2<1．
所以2A选项，由椭圆离心率e=ca，又a=2，0所以0B选项，当e= 24时，c=ea= 22，F2( 22,0)，
如图，|QF1|+|QP|=2a−|QF2|+|QP|≤2a+|PF2|=2a+ 62，故B正确；
C选项，由A知，0当e= 22，Q在短轴端点时，∠F1QF2最大．
此时cs∠F1QF2=2a2−4c22a2=0，即∠F1QF2=90∘．
由0所以不存在点Q使得QF1⋅QF2=0，故C错误；
D选项，1|QF1|+1|QF2|=|QF1|+|QF2||QF1||QF2|=4|QF1||QF2|≥4(|QF1|+|QF2|2)2=44=1，
当且仅当|QF1|=|QF2|时等号成立，故D正确．
故选BD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于中档题．
利用等差数列的通项公式、下标和性质与前 n 项和公式，依次分析各结论即可得解．
【解答】
解：对于A，因为 an 是等差数列， a5=0 ，
所以 S9=9(a1+a9)2=9a5=0 ，故A正确；
对于B，因为 a2>a1 ，所以 d=a2−a1>0 ，即 an 是递增数列，
因为 S6−S9=a10 ，即 S9−S6=−a10 ，所以 a9+a8+a7=−a10 ，
即 a10+a9+a8+a7=0 ，则 a8+a9=0 ，
所以 a8<0 且 a9>0 ，故B正确；
对于C，因为 S16=64 ，所以 16(a1+a16)2=64 ，则 a1+a16=8 ，则 a8+a9=8 ，
又 a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=8a9 ，
a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=8a8 ，
所以 8a9=3×8a8 ，即 a9=3a8 ，故 4a8=8 ，得 a8=2 ， a9=6 ，
所以 an 的公差为 a9−a8=4 ，故C错误；
对于D，因为 (n+1)Sn>nSn+1 ，即 Snn>Sn+1n+1 ，
即 1n[na1+n(n−1)2d]>1n+1[(n+1)a1+n(n+1)2d] ，整理得 d<0 ，
因为 a22=a62 ，所以 a6+a2a6−a2=0 ，
由于 a6−a2=4d≠0 ，所以 a6+a2=0 ，故 2a4=0 ，即 a4=0 ，
因为 d<0 ，所以 an 是递减数列，则 a3>0 ， a5<0 ，
所以 S3>S2>S1 ， S3=S4>S5>S6>⋯ ，
故 S3 和 S4 均是 Sn 的最大值，故D正确．
故答案为：ABD．
12.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的正切函数，考查同角三角函数间的关系，求得tanα=sinαcsα=−12是关键，属于中档题．
依题意，利用同角三角函数间的关系可求得tanα，利用两角和的正切即可求得答案．
【解答】解：∵sinα= 55，α∈(π2,π)，
∴csα=− 1−sin2α=−2 55，
∴tanα=sinαcsα=−12，
∴tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=1−121−(−12)=13，
故答案为：13．
13.【答案】 6π
【解析】【分析】
本题考查圆锥体积的求法，涉及到了余弦定理，属于中档题．
利用余弦定理先求出|AB|，然后构造△PCO 求出圆锥的高，结合体积公式计算即可．
【解答】
解：如图：
在△AOB 中，∠AOB=120∘，而OA=OB= 3，
cs∠AOB=3+3−|AB|22× 3× 3=−12 ，由|AB|>0 可得|AB|=3 ，
作OC⊥AB 于点C，由|OA|=|OB| 可知C是AB的中点，可得|OC|= 32 ，
又|PA|=|PB| ，所以PC⊥AB ，
由S△PAB=12|AB|⋅|PC|=9 34 ，可得|PC|=3 32 ，
所以|PO|= PC2−OC2= 6 ，
所以圆锥的体积V=π3× 32× 6= 6π.
14.【答案】4+2 2
【解析】【分析】
本题考查两点间距离公式以及基本不等式的应用，属于中档题．
将 (a−c)2+(b−d)2 转化为 a,b 与 c,d 两点间距离的平方，进而转化为 a,b 与圆心 0,0 的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可．
【解答】
解：可将 (a−c)2+(b−d)2 转化为 a,b 与 c,d 两点间距离的平方，
由 a2−ab+4=0 ，得 b=a+4a ，
而 c2+d2=1 表示以 0,0 为圆心，1为半径的圆， c,d 为圆上一点，
则 a,b 与圆心 0,0 的距离为： a2+b2= a2+(a+4a)2= 2a2+16a2+8⩾ 2 2a2⋅16a2+8= 2 32+8 ，
当且仅当 2a2=16a2 ，即 a4=8 时等号成立，
此时 a,b 与圆心 0,0 的距离最小，即 a,b 与 c,d 两点间距离的平方最小，
即 (a−c)2+(b−d)2 取得最小值．
当 a4=8 时， ab=a2+4=2 2+4 ，
故答案为： 4+2 2 ．
15.【答案】解:(1)由题意,抽取的100名游客中年龄在50周岁及以下的有60人,
则年龄在50周岁以上的有40人,补全的2×2列联表如下:
设H0:对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄无关联,
χ2=100×(5×25−15×55)220×80×60×40=122596≈12.760>10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验,
我们推断H0不成立,即认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联,
此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)由题意可得一位游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9,
X~B(3,0.9),X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=C30×0.13=0.001,
P(X=1)=C31×0.9×0.12=0.027,
P(X=2)=C32×0.92×0.1=0.243,
P(X=3)=C33×0.93=0.729
所以X的分布列为
数学期望E(X)=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7.
【解析】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题.
（1）先补全的2×2列联表，根据公式得出χ2，对照临界值表可得结论；
（2）易得X~B(3,0.9),X的所有可能取值为0,1,2,3，得出对应概率，可得X的分布列和数学期望.
16.【答案】解：(1)证明：由题意可知：在下底面圆中，CD为直径．
因为DE=DF
所以G为弦EF的中点，且EF⊥CD．
因为EF⊥AD，AD∩CD=D，AD、CD⊂平面ABCD．
所以EF⊥平面ABCD．
因为EF⊂平面AEF．
所以平面AEF⊥平面ABCD．
(2)设平面PEF交圆柱上底面于PQ，交AB于点H，
则二面角P−EF−A的大小就是二面角H−EF−A的大小．
分别以下底面垂直于DG的直线、DG、DA为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图所示：
因为DG=2，底面圆半径为3所以EG=FG=2 2．
则A(0,0,6)，E(2 2,2,0)，F(−2 2,2,0)，设H(0,m,6)(0所以AE=(2 2,2,−6)，AF=(−2 2,2,−6)，EH=(−2 2,m−2,6)，FH=(2 2,m−2,6)．
设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z)．
由m⋅AE=0m⋅AF=0得：2 2x+2y−6z=0−2 2x+2y−6z=0即：x=0y=3z
令z=1则m=(0,3,1)．
同理可得平面HEF的一个法向量n=(0,−6,m−2)，
又二面角P−EF−A的正弦值为35，
所以|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=|m−20| 10⋅ 36+(m−2)2=45，
化简得：3m2+8m−80=0，
解得：m=4或m=−203，即：AH=4．
又因为EF//平面PAB，EF⊂平面PEF，平面PAB∩平面PEF=PQ，
所以EF// PQ，PQ⊥AB，且H为PQ的中点．
所以PH=2 2，AP= AH2+PH2= 16+8=2 6．
所以存在点P，使得二面角P−EF−A的正弦值为35，AP的长为2 6．
【解析】本题考查面面垂直的判定，二面角，属于中档题．
(1)先EF⊥平面ABCD，再根据面面垂直的判定定理证明即可；
(2)建立空间直角坐标系，根据二面角可求得AH=4，即可进一步求得AP的值．
17.【答案】解：(1)∵∠FAB=π6，则a= 3b，
∵△OPQ是等边三角形，∴S△OPQ= 32= 34OP2，则OP= 2，
∵∠QOP=60∘，∠POF=30∘，则yp= 22，xP= 62，
将P( 62, 22)代入x2a2+y2b2=1中，得64a2+12b2=1，
∴a= 3b64a2+12b2=1，解得a= 3b=1，
∴椭圆的标准方程为x23+y2=1；
(2)由题意得B(0,−1)，设T( 3csθ,sinθ)，0<θ<π2，则直线BT:y=sinθ+1 3csθx−1，
所以C( 3,sinθ+1csθ−1)，
由于A(− 3,0)，S(− 3csθ,−sinθ)，
则直线AS:y=sinθ 3csθ− 3(x+ 3)，
所以D( 3,2sinθcsθ−1)，
所以|CD|=|sinθ+1csθ−1−2sinθcsθ−1|
=2sin θ2cs θ2+sin2 θ2+cs2 θ2cs2 θ2−sin2 θ2−4sinθ2csθ2−2sin2θ2−1
=2tanθ2+tan2θ2+11−tan2θ2+2tanθ2−1，
设tanθ2=t(0则CD=t2+2t+11−t2+2t−1=1+t1−t+2t−1=211−t+1t−2，
因为11−t+1t=11−tt⩾11−t+t22=4，当且仅当t=12时，等号成立，所以|CD|≥6，
即|CD|的最小值为6．
【解析】本题考查求椭圆的标准方程和与椭圆有关的最值问题，属于较难题．
(1)求出a= 3b，求出P点坐标，代入椭圆方程得64a2+12b2=1，求出a，b即可;
(2)设T( 3csθ,sinθ)，0<θ<π2，求出C，D坐标，
得|CD|=|2sin θ2cs θ2+sin2 θ2+cs2 θ2cs2 θ2−sin2 θ2−4sinθ2csθ2−2sin2θ2−1|，换元，利用基本不等式即可求解．
18.【答案】解：(1)由tan θ=724，tan φ=512，可得cs θ=2425，cs φ=1213，
过点B向AC作垂线，垂足为M，
则AM=ABcs θ=240，CM=BCcs φ=168，AD=AM+CM+CD=540，
故修建桥墩个数为54030=18个.
(2)设最左边的桥墩到E的距离为x米，an为从左往由第n个桥墩的高度，
由AC30=240+16830=13.6，AC之间可以建13或14个桥墩，当可以建14个桥墩时，
0⩽x⩽240+168−13×30=18，当18即AM之间可以建8个桥墩，在x∈[0,18]时，当1≤n≤8，a1=80−tan θx=80−724x，
a2=80−724(x+30)，a3=80−724(x+30×2)，…,an=80−724(x+30n−30)；
当9≤n≤14，an=tan φ[168−(x+30n−30−240)]=80−512(438−x−30n)；
当15≤n≤18，an=80；同理写出x∈[18,30]，
an表达式总结如下：
①当x∈[0,18]时：
解得an=80−724(x+30n−30),1≤n≤880−512(438−x−30n),9≤n≤1480,15≤n≤18
求和后得到的高度总和ℎ(x)=80×8−724[8x+30×8×(1+8)2−30×8]+80×6−512[438×6−6x−
30×6×(9+14)2]+80×4=962.5+16x
②当x∈(18,30)时：
an=80−724(x+30n−30),1≤n≤880−512(438−x−30n),9≤n≤1380,14≤n≤18
求和后得到的高度总和
ℎ(x)=80×8−724[8x+30×8×(1+8)2−30×8]+80×5−512[438×5−5x−30×5×(9+13)2]+80×5=970−14x
所以当x∈[0,18]，ℎ(0)min=962.5，当x∈(18,30)，962.5<ℎ(x)<965.5，
即桥墩高度总和最小为962.5，成本最小值为0.65×962.5+5×18=715.625万元．
【解析】本题考查解三角形的实际应用，函数模型的实际应用，函数的最值，属于较难题．
(1)先由正切值得到余弦值，进而计算得到得到AC的长，再计算得出AD，结合每30m放置一个桥墩，即可求出需要建造的个数．
(2)可设最左边的桥墩到E的距离为x米，an为从左往由第n个桥墩的高度，写出x∈[0,18]和x∈(18,30)，对应的桥墩高度an的表达式，然后利用数列求和求出所有桥墩的高度，计算出成本总和的最小值即可得出答案．
19.【答案】解：(1)证明：不妨设x1因为y=g(x)在I上严格增函数，
所以对任意x1，x2∈I，x1又δ(x1,x2)=f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，
所以y=f(x)在区间I上是严格增函数．
(2)由(1)可知：当y=g(x)在区间I上严格增时，y=f(x)在I上严格增，
当y=g(x)在区间I上严格减时，y=f(x)在I上严格减，
又当x=1时，y=f(x)取得极值，
所以当x=1时，y=g(x)也取得极值，
g′(x)=x2+2ax−3，g′(1)=2a−2=0，可得a=1，
当a=1时，g′(x)=(x+3)(x−1)，
所以在(−∞,−3)上，g′(x)>0，g(x)严格增，
在(−3,1)上，g′(x)<0，g(x)严格减，
在(1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)严格增，
所以g(x)在x=1处取得极值，
所以a=1．
(3)证明：当x≠π2+kπ(k∈Z)时，由条件知δ(x,−π2)=f(x)+1sinx+1≤1，所以f(x)≤sinx，δ(π2,x)=1−f(x)1−sinx≤1，所以f(x)≥sinx，
所以当x≠π2+kπ(k∈Z)时，f(x)=sinx，
当x=π2+2kπ(k∈Z)时，对任意t∈(−π2,π2)，有|δ(x,t)|=|f(x)−sint1−sint|≤1，
所以2sint−1≤f(x)≤1，
又因为y=2sint−1的值域为(−3,1)，
所以f(x)=1，
当x=−π2+2kπ(k∈Z)时，对任意t∈(−π2,π2)，有|δ(x,t)|=|f(x)−sint−1−sint|≤1，
所以−1≤f(x)≤1+2sint，
又因为y=1+2sint的值域为(−1,3)，
所以f(x)=−1，
综上可知，对任意x∈R，f(x)=sinx．
【解析】本题考查导数的综合应用，利用导数判断单调性是关键，属于较难题．
(1)不妨设x10，进而可得f(x1)−f(x2)<0，由单调性定义，即可得出答案．
(2)由(1)可知：当y=g(x)在区间I上严格增时，y=f(x)在I上严格增，当y=g(x)在区间I上严格减时，y=f(x)在I上严格减，当x=1时，y=f(x)取得极值，则当x=1时，y=g(x)也取得极值，g′(1)=0，可得a=1，即可得出答案．
(3)对x的取值分三种情况证明f(x)=sinx即可．年龄
满意度
合计
不满意
满意
50周岁及以下
55
50周岁以上
15
合计
100
α
0.1
0.05
0.01
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
不满意
满意
总计
50周岁及以下
5
55
60
50周岁以上
15
25
40
总计
20
80
100
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
1.设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|−1
2.若椭圆C：x2m+y29=1(m>0)上一点到C的两个焦点的距离之和为2m，则m=( )
A. 1B. 3C. 6D. 1或3
3.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，平面AB1C与平面AA1D1D的交线为l，则
( )
A. l//A1DB. l//B1DC. l//C1DD. l//D1D
4.将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有
( )
A. 480种B. 240种C. 15种D. 10种
5.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若
A. −6B. −5C. 5D. 6
6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA(sinC−csC)=0，a=2，c= 2，则C=( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
7.已知函数f(x)=3sin (4x+π3)+4sin (4x−π6)，设∀x∈R,∃x0∈R,f(x)⩽f(x0)，则tan (4x0−2π3)等于
( )
A. −43B. −34C. 34D. 43
8.已知f(x)=|sinπx|,0≤x≤2ex,x<0，若存在实数xi(i=1,2,3,4,5)，当xi
A. (−∞,−1e5]B. −1e3,0C. (−∞,4]D. −1e5,4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=1a+bi(a,b∈R且b≠0)，则下列结论正确的是
( )
A. z可能是实数B. |z|=|z|恒成立
C. 若z2∈R，则a=0D. 若z+1z∈R，则|z|=1
10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P( 2,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是
( )
A. 离心率的取值范围为0,12
B. 当离心率为 24时，|QF1|+|QP|的最大值为2a+ 62
C. 存在点Q使得QF1⋅QF2=0
D. 1|QF1|+1|QF2|的最小值为1
11.设等差数列an的前n项和为Sn，则有以下四个结论中正确是
( )
A. 若a5=0，则S9=0；
B. 若S6−S9=a10，且a2>a1，则a8<0且a9>0
C. 若S16=64，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3:1，则公差为2
D. 若(n+1)Sn>nSn+1，且a22=a62，则S3和S4均是Sn的最大值．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知α∈(π2,π)，sin α= 55，则tan (α+π4)=______．
13.已知圆锥PO的底面半径为 3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120∘，若△PAB的面积等于9 34，则该圆锥的体积为________
14.已知正实数a,b,c,d满足a2−ab+4=0，c2+d2=1，则当(a−c)2+(b−d)2取得最小值时，ab=_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠.本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来，游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%.某市旅游局从游客中随机抽取100人(其中年龄在50周岁及以下的有60人)了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄(50周岁及以下和50周岁以上)分类统计得到不完整的2×2列联表：单位：人
(1)根据统计数据完成以上2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联．
(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率作为概率.，求X的分布列和数学期望;
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
附：
16.(本小题15分)
如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆周的一条弦EF交CD于点G，其中DG=2，DE=DF．
(1)证明：平面AEF⊥平面ABCD．
(2)在上底面圆周上是否存在点P，使得二面角P−EF−A的正弦值为35?若存在，求AP的长;若不存在，请说明理由．
17.(本小题15分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、B两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，F是椭圆的右焦点，且∠FAB=π6，直线l与椭圆相切于点P(P在第一象限)，与y轴相交于Q(Q异于P).记O为坐标原点，若△OPQ是等边三角形，且△OPQ的面积为 32，
(1)求椭圆的标准方程．
(2)C、D两点均在直线m：x=a上，且C在第一象限．设直线AD、BC分别交椭圆于点S、点T，若S、T关于原点对称，求|CD|的最小值．
18.(本小题17分)
高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段AB､BC代表山坡，线段CD为一段平地.设图中AB､BC坡的倾角满足tanθ=724，tanφ=512,AB长250m,BC长182m,CD长132m.假设该路段的高铁轨道是水平的(与CD平行)，且端点E､F分别与A､D在同一铅垂线上，每隔30m需要建造一个桥墩(不考虑端点F建造桥墩)
(1)求需要建造的桥墩的个数；
(2)已知高铁轨道的高度为80m，设计过程中每30m放置一个桥墩，设桥墩高度为ℎ(单位：m)，单个桥墩的建造成本为W=0.65ℎ+5(单位：万元)，求所有桥墩建造成本总和的最小值．
19.(本小题17分)
设y=fx、y=gx是定义域为R的函数，当gx1≠gx2时，δ(x1,x2)=f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)．
(1)已知y=gx在区间I上严格增函数，且对任意x1,x2∈I,x1≠x2，有δx1,x2>0，证明：函数y=fx在区间I上是严格增函数；
(2)已知gx=13x3+ax2−3x，且对任意x1,x2∈R，当gx1≠gx2时，有δx1,x2>0，若当x=1时，函数y=fx取得极值，求实数a的值；
(3)已知g(x)=sin x,f(π2)=1,f(−π2)=−1，且对任意x1,x2∈R，当g(x1)≠g(x2)时，有|δ(x1,x2)|⩽1，证明：fx=sinx．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了集合交并补混合运算，属于基础题．
先求出M∪N，M∩N，∁UM，∁UN，即可逐项求出．
【解答】
解：因为U=R，集合M={x|x<1}，N={x|−1
故选A.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的定义及其应用，属于基础题．
结合椭圆的定义分焦点位于x轴和y轴两种情况即可求得m的值．
【解答】
解：若椭圆的焦点位于x轴，则2 m=2m，解得m=0或m=1，
此时不能使得椭圆的焦点位于x轴，舍去;
若椭圆的焦点位于y轴，则2m=2 9,m=3，满足题意．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
∵平面BCC1B1//平面ADD1A1，B1C=平面BCC1B1∩平面AB1C，平面AB1C∩平面ADD1A1=l，
∴l//B1C，
对于A，∵A1D//B1C，∴l//A1D，故A正确；
对于B，因为B1D与B1C相交，所以l与B1D不平行，故B错误；
对于C，因为C1D与B1C不平行，所以l与C1D不平行，故C错误；
对于D，因为DD1与B1C不平行，所以l与DD1不平行，故D错误．
故选：A．
由面面平行的性质可判断．
本题主要考查了面面平行的性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查组合的应用，属于基础题．
将2个8插空放入不相邻的5个空位，即可得解．
【解答】
解：将2个8插空放入不相邻的5个空位(4个6产生5个空位)中有 C52=10 种方法，
故2个8不相邻的情况有10 种．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标运算和夹角运算，属于基础题。
由向量的坐标运算可得c的坐标，再根据求向量夹角的坐标运算计算即可．
【解答】
解：由已知有c=(3+t,4)，
因为cs
解得t=5．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理的相关知识.熟练掌握正弦定理是解题的关键．
首先根据正弦定理和两角和与差的三角函数公式求出角A，再根据正弦定理即可求出角C．
【解答】
解：根据题意知：sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
∵sinB+sinA(sinC−csC)=0，
∴sinAcsC+csAsinC+sinAsinC−sinAcsC=0，
∴csAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴csA=−sinA，
∴tanA=−1，
∵0
由正弦定理可得csinC=asinA，
∴sinC=csinAa；
∵a=2，c= 2
∴sinC=csinAa= 2× 222=12，
∵a>c，
∴C=π6，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题重点考查诱导公式、三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题．
化简f(x)=5sin(4x+π3−φ)(其中tanφ=43)，求出f(x)max=5，得4x0+π3−φ=π2+2kπ(k∈Z)，利用诱导公式即可求解．
【解答】
解：∵f(x)=3sin(4x+π3)+4sin(4x−π6)=3sin(4x+π3)+4sin(−π2+4x+π3)，
∴f(x)=3sin(4x+π3)−4cs(4x+π3)，
∴f(x)=5sin(4x+π3−φ)(其中tanφ=43)，
∴f(x)max=5，
∵∀x∈R，∃x0∈R，f(x)≤f(x0)，
∴4x0+π3−φ=π2+2kπ(k∈Z)，
∴tan(4x0−2π3)=tan(−π2+2kπ+φ)=−1tanφ=−34，k∈Z
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了数形结合的数学思想，是较难题．
作出f(x)的大致图像，由图像和正弦函数的性质可知，x2+x3=1，x4+x5=3，x1<0，所以i=15xif(xi)=(x1+4)f(x1)=(x1+4)ex1，令g(x)=(x+4)ex(x<0)，利用导数得到函数g(x)的单调性和极值，求出g(x)在x<0时的值域，从而得到i=15xif(xi)的取值范围．【解答】
解：作出f(x)=|sinπx|,0≤x≤2ex,x<0的大致图像，如图所示，
由图像和正弦函数的性质可知，x2+x3=1，x4+x5=3，x1<0，
∴i=15xif(xi)=(x1+x2+x3+x4+x5)f(x1)=(x1+4)f(x1)=(x1+4)ex1，
令g(x)=(x+4)ex(x<0)，则g′(x)=(x+5)ex，
当x∈(−∞,−5)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(−5,0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
又∵当x<−4时，g(x)<0，且g(0)=4，
∴g(x)min=g(−5)=−1e5，
∴−1e5≤g(x)<4，
∴i=15xif(xi)的取值范围为[−1e5,4)，
故选：D．
9.【答案】BCD
【解析】本题考查复数的四则运算，复数的概念，复数的模以及共轭复数，属中档题．
化简复数 z=1a+bi，可得 z=aa2+b2−ba2+b2i，由复数的概念，可判断A；由A知 z=aa2+b2+bia2+b2，再由复数的模，可知 |z|=z，可判断B；由 z2=a2−b2(a2+b2)2−2ab(a2+b2)2i，且 z2∈R，可判断C；由 z+1z=(aa2+b2+a)+(b −ba2+b2)i，且 z+1z∈R，可判断D．
【解答】
解：对选项A，若z=1a+bi=a−bia2+b2=aa2+b2−ba2+b2i是实数，则b=0，与已知矛盾，故A错；
对选项B，由A知z=aa2+b2+bia2+b2，
所以|z|= (aa2+b2)2+(−ba2+b2)2,|z|= (aa2+b2)2+(ba2+b2)2，
所以|z|=z，故B正确；
对选项C，z2=a2(a2+b2)2−b2(a2+b2)2−2ab(a2+b2)2i=a2−b2(a2+b2)2−2ab(a2+b2)2i，且z2∈R，
则2ab(a2+b2)2=0，因为b≠0，所以a=0，故C正确；
对选项D，z+1z=1a+bi+a+bi=(aa2+b2+a)+(b−ba2+b2)i，且z+1z∈R，则b−ba2+b2=0，
因为b≠0，所以a2+b2=1，所以|z|= (aa2+b2)2+(−ba2+b2)2=1，故D正确．
故选BCD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义和相关性质、椭圆离心率和距离最值问题、基本不等式的应用，属于拔高题．
根据椭圆的定义和相关性质，结合所给条件，逐个分析判断即可得解．
【解答】解：由题意可得，2a=4，所以a=2．
由点P( 2,1)在椭圆内部，可得：24+1b2<1．
所以2
如图，|QF1|+|QP|=2a−|QF2|+|QP|≤2a+|PF2|=2a+ 62，故B正确；
C选项，由A知，0
此时cs∠F1QF2=2a2−4c22a2=0，即∠F1QF2=90∘．
由0
D选项，1|QF1|+1|QF2|=|QF1|+|QF2||QF1||QF2|=4|QF1||QF2|≥4(|QF1|+|QF2|2)2=44=1，
当且仅当|QF1|=|QF2|时等号成立，故D正确．
故选BD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于中档题．
利用等差数列的通项公式、下标和性质与前 n 项和公式，依次分析各结论即可得解．
【解答】
解：对于A，因为 an 是等差数列， a5=0 ，
所以 S9=9(a1+a9)2=9a5=0 ，故A正确；
对于B，因为 a2>a1 ，所以 d=a2−a1>0 ，即 an 是递增数列，
因为 S6−S9=a10 ，即 S9−S6=−a10 ，所以 a9+a8+a7=−a10 ，
即 a10+a9+a8+a7=0 ，则 a8+a9=0 ，
所以 a8<0 且 a9>0 ，故B正确；
对于C，因为 S16=64 ，所以 16(a1+a16)2=64 ，则 a1+a16=8 ，则 a8+a9=8 ，
又 a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=8a9 ，
a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=8a8 ，
所以 8a9=3×8a8 ，即 a9=3a8 ，故 4a8=8 ，得 a8=2 ， a9=6 ，
所以 an 的公差为 a9−a8=4 ，故C错误；
对于D，因为 (n+1)Sn>nSn+1 ，即 Snn>Sn+1n+1 ，
即 1n[na1+n(n−1)2d]>1n+1[(n+1)a1+n(n+1)2d] ，整理得 d<0 ，
因为 a22=a62 ，所以 a6+a2a6−a2=0 ，
由于 a6−a2=4d≠0 ，所以 a6+a2=0 ，故 2a4=0 ，即 a4=0 ，
因为 d<0 ，所以 an 是递减数列，则 a3>0 ， a5<0 ，
所以 S3>S2>S1 ， S3=S4>S5>S6>⋯ ，
故 S3 和 S4 均是 Sn 的最大值，故D正确．
故答案为：ABD．
12.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的正切函数，考查同角三角函数间的关系，求得tanα=sinαcsα=−12是关键，属于中档题．
依题意，利用同角三角函数间的关系可求得tanα，利用两角和的正切即可求得答案．
【解答】解：∵sinα= 55，α∈(π2,π)，
∴csα=− 1−sin2α=−2 55，
∴tanα=sinαcsα=−12，
∴tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=1−121−(−12)=13，
故答案为：13．
13.【答案】 6π
【解析】【分析】
本题考查圆锥体积的求法，涉及到了余弦定理，属于中档题．
利用余弦定理先求出|AB|，然后构造△PCO 求出圆锥的高，结合体积公式计算即可．
【解答】
解：如图：
在△AOB 中，∠AOB=120∘，而OA=OB= 3，
cs∠AOB=3+3−|AB|22× 3× 3=−12 ，由|AB|>0 可得|AB|=3 ，
作OC⊥AB 于点C，由|OA|=|OB| 可知C是AB的中点，可得|OC|= 32 ，
又|PA|=|PB| ，所以PC⊥AB ，
由S△PAB=12|AB|⋅|PC|=9 34 ，可得|PC|=3 32 ，
所以|PO|= PC2−OC2= 6 ，
所以圆锥的体积V=π3× 32× 6= 6π.
14.【答案】4+2 2
【解析】【分析】
本题考查两点间距离公式以及基本不等式的应用，属于中档题．
将 (a−c)2+(b−d)2 转化为 a,b 与 c,d 两点间距离的平方，进而转化为 a,b 与圆心 0,0 的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可．
【解答】
解：可将 (a−c)2+(b−d)2 转化为 a,b 与 c,d 两点间距离的平方，
由 a2−ab+4=0 ，得 b=a+4a ，
而 c2+d2=1 表示以 0,0 为圆心，1为半径的圆， c,d 为圆上一点，
则 a,b 与圆心 0,0 的距离为： a2+b2= a2+(a+4a)2= 2a2+16a2+8⩾ 2 2a2⋅16a2+8= 2 32+8 ，
当且仅当 2a2=16a2 ，即 a4=8 时等号成立，
此时 a,b 与圆心 0,0 的距离最小，即 a,b 与 c,d 两点间距离的平方最小，
即 (a−c)2+(b−d)2 取得最小值．
当 a4=8 时， ab=a2+4=2 2+4 ，
故答案为： 4+2 2 ．
15.【答案】解:(1)由题意,抽取的100名游客中年龄在50周岁及以下的有60人,
则年龄在50周岁以上的有40人,补全的2×2列联表如下:
设H0:对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄无关联,
χ2=100×(5×25−15×55)220×80×60×40=122596≈12.760>10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验,
我们推断H0不成立,即认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联,
此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)由题意可得一位游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9,
X~B(3,0.9),X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=C30×0.13=0.001,
P(X=1)=C31×0.9×0.12=0.027,
P(X=2)=C32×0.92×0.1=0.243,
P(X=3)=C33×0.93=0.729
所以X的分布列为
数学期望E(X)=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7.
【解析】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题.
（1）先补全的2×2列联表，根据公式得出χ2，对照临界值表可得结论；
（2）易得X~B(3,0.9),X的所有可能取值为0,1,2,3，得出对应概率，可得X的分布列和数学期望.
16.【答案】解：(1)证明：由题意可知：在下底面圆中，CD为直径．
因为DE=DF
所以G为弦EF的中点，且EF⊥CD．
因为EF⊥AD，AD∩CD=D，AD、CD⊂平面ABCD．
所以EF⊥平面ABCD．
因为EF⊂平面AEF．
所以平面AEF⊥平面ABCD．
(2)设平面PEF交圆柱上底面于PQ，交AB于点H，
则二面角P−EF−A的大小就是二面角H−EF−A的大小．
分别以下底面垂直于DG的直线、DG、DA为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图所示：
因为DG=2，底面圆半径为3所以EG=FG=2 2．
则A(0,0,6)，E(2 2,2,0)，F(−2 2,2,0)，设H(0,m,6)(0
设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z)．
由m⋅AE=0m⋅AF=0得：2 2x+2y−6z=0−2 2x+2y−6z=0即：x=0y=3z
令z=1则m=(0,3,1)．
同理可得平面HEF的一个法向量n=(0,−6,m−2)，
又二面角P−EF−A的正弦值为35，
所以|cs
化简得：3m2+8m−80=0，
解得：m=4或m=−203，即：AH=4．
又因为EF//平面PAB，EF⊂平面PEF，平面PAB∩平面PEF=PQ，
所以EF// PQ，PQ⊥AB，且H为PQ的中点．
所以PH=2 2，AP= AH2+PH2= 16+8=2 6．
所以存在点P，使得二面角P−EF−A的正弦值为35，AP的长为2 6．
【解析】本题考查面面垂直的判定，二面角，属于中档题．
(1)先EF⊥平面ABCD，再根据面面垂直的判定定理证明即可；
(2)建立空间直角坐标系，根据二面角可求得AH=4，即可进一步求得AP的值．
17.【答案】解：(1)∵∠FAB=π6，则a= 3b，
∵△OPQ是等边三角形，∴S△OPQ= 32= 34OP2，则OP= 2，
∵∠QOP=60∘，∠POF=30∘，则yp= 22，xP= 62，
将P( 62, 22)代入x2a2+y2b2=1中，得64a2+12b2=1，
∴a= 3b64a2+12b2=1，解得a= 3b=1，
∴椭圆的标准方程为x23+y2=1；
(2)由题意得B(0,−1)，设T( 3csθ,sinθ)，0<θ<π2，则直线BT:y=sinθ+1 3csθx−1，
所以C( 3,sinθ+1csθ−1)，
由于A(− 3,0)，S(− 3csθ,−sinθ)，
则直线AS:y=sinθ 3csθ− 3(x+ 3)，
所以D( 3,2sinθcsθ−1)，
所以|CD|=|sinθ+1csθ−1−2sinθcsθ−1|
=2sin θ2cs θ2+sin2 θ2+cs2 θ2cs2 θ2−sin2 θ2−4sinθ2csθ2−2sin2θ2−1
=2tanθ2+tan2θ2+11−tan2θ2+2tanθ2−1，
设tanθ2=t(0
因为11−t+1t=11−tt⩾11−t+t22=4，当且仅当t=12时，等号成立，所以|CD|≥6，
即|CD|的最小值为6．
【解析】本题考查求椭圆的标准方程和与椭圆有关的最值问题，属于较难题．
(1)求出a= 3b，求出P点坐标，代入椭圆方程得64a2+12b2=1，求出a，b即可;
(2)设T( 3csθ,sinθ)，0<θ<π2，求出C，D坐标，
得|CD|=|2sin θ2cs θ2+sin2 θ2+cs2 θ2cs2 θ2−sin2 θ2−4sinθ2csθ2−2sin2θ2−1|，换元，利用基本不等式即可求解．
18.【答案】解：(1)由tan θ=724，tan φ=512，可得cs θ=2425，cs φ=1213，
过点B向AC作垂线，垂足为M，
则AM=ABcs θ=240，CM=BCcs φ=168，AD=AM+CM+CD=540，
故修建桥墩个数为54030=18个.
(2)设最左边的桥墩到E的距离为x米，an为从左往由第n个桥墩的高度，
由AC30=240+16830=13.6，AC之间可以建13或14个桥墩，当可以建14个桥墩时，
0⩽x⩽240+168−13×30=18，当18
a2=80−724(x+30)，a3=80−724(x+30×2)，…,an=80−724(x+30n−30)；
当9≤n≤14，an=tan φ[168−(x+30n−30−240)]=80−512(438−x−30n)；
当15≤n≤18，an=80；同理写出x∈[18,30]，
an表达式总结如下：
①当x∈[0,18]时：
解得an=80−724(x+30n−30),1≤n≤880−512(438−x−30n),9≤n≤1480,15≤n≤18
求和后得到的高度总和ℎ(x)=80×8−724[8x+30×8×(1+8)2−30×8]+80×6−512[438×6−6x−
30×6×(9+14)2]+80×4=962.5+16x
②当x∈(18,30)时：
an=80−724(x+30n−30),1≤n≤880−512(438−x−30n),9≤n≤1380,14≤n≤18
求和后得到的高度总和
ℎ(x)=80×8−724[8x+30×8×(1+8)2−30×8]+80×5−512[438×5−5x−30×5×(9+13)2]+80×5=970−14x
所以当x∈[0,18]，ℎ(0)min=962.5，当x∈(18,30)，962.5<ℎ(x)<965.5，
即桥墩高度总和最小为962.5，成本最小值为0.65×962.5+5×18=715.625万元．
【解析】本题考查解三角形的实际应用，函数模型的实际应用，函数的最值，属于较难题．
(1)先由正切值得到余弦值，进而计算得到得到AC的长，再计算得出AD，结合每30m放置一个桥墩，即可求出需要建造的个数．
(2)可设最左边的桥墩到E的距离为x米，an为从左往由第n个桥墩的高度，写出x∈[0,18]和x∈(18,30)，对应的桥墩高度an的表达式，然后利用数列求和求出所有桥墩的高度，计算出成本总和的最小值即可得出答案．
19.【答案】解：(1)证明：不妨设x1
所以对任意x1，x2∈I，x1
所以f(x1)−f(x2)<0，
所以y=f(x)在区间I上是严格增函数．
(2)由(1)可知：当y=g(x)在区间I上严格增时，y=f(x)在I上严格增，
当y=g(x)在区间I上严格减时，y=f(x)在I上严格减，
又当x=1时，y=f(x)取得极值，
所以当x=1时，y=g(x)也取得极值，
g′(x)=x2+2ax−3，g′(1)=2a−2=0，可得a=1，
当a=1时，g′(x)=(x+3)(x−1)，
所以在(−∞,−3)上，g′(x)>0，g(x)严格增，
在(−3,1)上，g′(x)<0，g(x)严格减，
在(1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)严格增，
所以g(x)在x=1处取得极值，
所以a=1．
(3)证明：当x≠π2+kπ(k∈Z)时，由条件知δ(x,−π2)=f(x)+1sinx+1≤1，所以f(x)≤sinx，δ(π2,x)=1−f(x)1−sinx≤1，所以f(x)≥sinx，
所以当x≠π2+kπ(k∈Z)时，f(x)=sinx，
当x=π2+2kπ(k∈Z)时，对任意t∈(−π2,π2)，有|δ(x,t)|=|f(x)−sint1−sint|≤1，
所以2sint−1≤f(x)≤1，
又因为y=2sint−1的值域为(−3,1)，
所以f(x)=1，
当x=−π2+2kπ(k∈Z)时，对任意t∈(−π2,π2)，有|δ(x,t)|=|f(x)−sint−1−sint|≤1，
所以−1≤f(x)≤1+2sint，
又因为y=1+2sint的值域为(−1,3)，
所以f(x)=−1，
综上可知，对任意x∈R，f(x)=sinx．
【解析】本题考查导数的综合应用，利用导数判断单调性是关键，属于较难题．
(1)不妨设x1
(2)由(1)可知：当y=g(x)在区间I上严格增时，y=f(x)在I上严格增，当y=g(x)在区间I上严格减时，y=f(x)在I上严格减，当x=1时，y=f(x)取得极值，则当x=1时，y=g(x)也取得极值，g′(1)=0，可得a=1，即可得出答案．
(3)对x的取值分三种情况证明f(x)=sinx即可．年龄
满意度
合计
不满意
满意
50周岁及以下
55
50周岁以上
15
合计
100
α
0.1
0.05
0.01
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
不满意
满意
总计
50周岁及以下
5
55
60
50周岁以上
15
25
40
总计
20
80
100
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
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