2023-2024学年湖南省株洲二中高一年级期中考试数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年湖南省株洲二中高一年级期中考试数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x|2≤x≤4,B={x|x>3}，则A∩B=( )
A. {x|34}C. x|2≤x≤3D. {x|x<2}
2.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点3,127，则α=( )
A. -2B. -3C. 2D. 3
3.函数fx=ex+e-x的图象大致为
( )
A. B. C. D.
4.已知lg4(3x)( )
A. (12,+∞)B. -∞,12C. -12,12D. 0,12
5.已知fx是定义在R上的偶函数，且在-∞,0上是增函数，设a=flg47，b=flg23，c=f0.20.4，则a,b,c的大小关系是
( )
A. b6.“函数f(x)=xa在0,+∞上单调递减”是“函数gx=x4-a+1x是偶函数”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A. 1033B. 1053C. 1073D. 1093
8.定义域为R的函数fx满足：当x∈0,1时，fx=3x-x，且对任意的实数x，均有fx+fx+1=1，记a=lg32，b=lg213则fab+fa+f2a=( )
A. 23B. 133-3lg32C. 6-3lg32D. 23+lg32
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.成人心率的正常范围为60∼100次/分钟，超过100次/分钟为心率过速.观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后心率，其随时间的变化如图所示，则该患者( )
A. 服了药物后心率会马上恢复正常
B. 服药后初期药物起效速度会加快
C. 所服药物约15个小时后失效(服药后心率下降期间为有效期)
D. 欲控制心率在正常范围内，一天需服用该药2次
10.下列不等式的解集为R的是( )
A. x2+6x+11>0B. x2-3x-3<0
C. -x2+x-2<0D. x2+2 5x+5≥0
11.下面结论正确的是( )
A. 若x>12，则2x+12x-1的最小值是3
B. 函数y=x+5 x+4的最小值是2
C. x>0，y>0且x+y=2，则xy+1+3x的最小值是3
D. 函数y= 5x-2x(x∈12,2)的值域是 2,54 2
12.黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数，它在高等数学中被广泛应用．定义在0,1上的黎曼函数Rx=1q,x为有理数且x=pq,其中p,q为既约的正整数0,x为无理数或x=0或x=1，关于黎曼函数Rx(x∈0,1)，下列说法正确的是
( )
A. Rx=x的解集为0,12,13,14,15,⋅⋅⋅
B. Rx的值域为0,12
C. Rx+12为偶函数
D. Rx≤x
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数y=ax-1(a>0且a≠1)的图象一定过点_________．
14.函数y=1lg3(x-3)的定义域为________．
15.记A=1×2×3×⋯×2023，那么1lg2A+1lg3A+1lg4A+⋯+1lg2023A=_____．
16.求“方程35x+45x=1的解”有如下解题思路：构造函数y=fx，其表达式为fx=35x+45x，易知函数y=fx在R上是减函数，且f2=1，故原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路，不等式x6-2x-3<2x+33-x2的解集为_____．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
求值：
(1)80.25×42+642713-(-2021)0；
(2)lg25+lg2⋅lg50+(lg2)2．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=b⋅ax是指数函数．
(1)若该指数函数的图象经过点3,8，求函数的表达式；
(2)解关于x的不等式：a3x-4>1a3．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(lg2x-2)(lg2x-1)．
(1)当x∈[2,8]时，求该函数的值域；
(2)若f(x)≥mlg2x对于x∈[4,16]恒成立，求m的取值范围．
20.(本小题12分)
近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志着中国在该领域已逐步达到世界一流水平.设火箭推进剂的质量为M(单位：t)，去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m(单位：t)，火箭的飞行速度为v(单位：km/s)，初始速度为v0(单位：km/s)，已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：v=v0+ω⋅ln1+Mm，其中ω是火箭发动机喷流相对火箭的速度.假设v0=0km/s，m=25t．
(参考数据：e16.73≈261.56，ln25≈3.219，ln80≈4.382).
(1)若ω=3km/s，当火箭飞行速度达到第三宇宙速度(16.7km/s)时，求相应的M；(精确到个位)
(2)如果希望火箭飞行速度达到16.7km/s，但火箭起飞质量的最大值为2000t，请问ω的最小值为多少？(精确到小数点后一位)
21.(本小题12分)
设函数fx=kax-a-x(a>0且a≠1,k∈R)，fx是定义域为R的奇函数．
(1)求k的值；
(2)已知a=3，若∃x∈lg32,2,使f2x+2⋅3-2x≥λ⋅fx成立．请求出最大的整数λ．
22.(本小题12分)
已知函数fx=ax(a>0且a≠1)，其反函数为y=gx．
(1)若a=2，求gx的解析式；
(2)若函数y=gfx+3k-1值域为R，求实数k的取值范围；
(3)定义：若函数fx与gx在区间a,b，(a若函数gx-3a和g1x-a是a+2,a+3上的“粗略逼近函数”，求实数a的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
直接利用集合交集的定义求解即可．
【解答】
解：A=x|2≤x≤4,B={x|x>3}，
则A∩B={x|32.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
把点的坐标代入幂函数f(x)的解析式，解方程求出α的值．
【解答】解：幂函数f(x)=xα的图象经过点3,127，
则3α=127，解得α=-3．
故选：B
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数图像的识别，属于基础题．
利用函数的概念排除B，利用f(0)的值排除AC．
【解答】
解：B选项中的图象不是函数的图象，故排除B；
因为f(0)=e0+e-0=2，所以排除AC;
故选：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了对数不等式的解法，关键是将两边化成同底数的对数，然后利用函数的单调性求解，注意真数须大于0不可忽视，从两个方面入手构造不等式组，一是真数大于0，二是利用对数函数的单调性得到两个真数的大小关系，联立即可求解．
【解答】
解：因为函数y=lg4x是(0,+∞)上的增函数，
所以原不等式等价于{3x>0,x+1>0,3x故选D
5.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性与单调性综合应用，指数函数的单调性，对数函数的单调性，对数式的化简与运算，属于中档题．
由题，可得f(x)在0,+∞上单调递减，利用指数函数与对数函数的单调性比较lg47,lg23,0.20.4大小，即可比较a，b，c大小．
【解答】解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在-∞,0上是增函数，故f(x)在0,+∞上单调递减．
lg23=lg2232=lg49>lg47>1，0.20.4<0.20=1，所以lg23>lg47>0.20.4>0，
故flg23故选A．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，利用函数的奇偶性解决参数问题，属于基础题．
通过求解函数 fx 和 gx 符合条件的a的取值，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，在 f(x)=xa 中，
当函数在 (0,+∞) 上单调递减时， a<0 ，
在 gx=x4-a+1x 中，函数是偶函数，
∴ g-x=-x4-a+1-xgx=x4-a+1xgx=g-x ，解得： a=-1 ，
∴“函数 f(x)=xa 在 0,+∞ 上单调递减”是“函数 gx=x4-a+1x 是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查对数运算的应用，属基础题，
先利用对数的运算性质求得lg3361的近似值，得到M≈10173，然后再利用指数的运算法则计算得到．
【解答】
解：因为lg3361=361×lg3≈361×0.48≈173，
所以M≈10173，
则MN≈101731080=1093．
故选D．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求函数值，对数运算，属于中档题．
分别得到f(ab)=0，f(a)=2-lg32，f(2a)=-43+2lg32，
【解答】
解：ab=-1，a=lg32∈(0,1)，2a=2lg32=lg34∈(1,2)，
所以2a-1=1g34-1∈(0,1)，
又对任意的实数x，均有f(x)+f(x+1)=1，
所以f(ab)=f(-1)=1-f(0)=0，f(a)=2-lg32，
f(2a)=1-f(2a-1)=1-(43-lg34+1)=-43+2lg32，
f(ab)+f(a)+f(2a)=23+lg32.
故选D．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】本题主要考查函数图象的实际应用，属于基础题．
根据函数图象的变化情况，结合实际应用即可判断．
【解答】解：由函数的图象可知，
服了药物大约2小时心率开始恢复正常，故选项A错误；
服药后初期心率下降加快，药物起效速度会加快，故选项B正确；
所服药物约15个小时后心率开始加快，药物失效(服药后心率下降期间为有效期)，故选项C正确；
服药后，心率在正常范围的时间大约为20小时，则一天需服用该药2次，故选项D正确．
故选BCD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式解的存在性问题，属于基础题．
利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可．
【解答】解：对于A，因为△=62-4×1×11=-8<0，1>0，
所以不等式x2+6x+11>0的解集为R，所以A正确，
对于B，因为△=(-3)2-4×1×(-3)=21>0，
而方程x2-3x-3=0的根为x=3± 214，
所以不等式x2-3x-3<0的解集为{x|3- 214对于C，因为Δ=12-4×(-1)×(-2)=-7<0，
所以不等式-x2+x-2<0的解集为R，所以 C正确，
对于D，因为x2+2 5x+5=(x+ 5)2≥0，
所以不等式x2+2 5x+5≥0的解集为R，所以D正确，
11.【答案】ACD
【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，求函数的值域，二次函数的性质，属于较难题．
利用基本不等式求最值判断ABC，结合二次函数的性质判断D．
【解答】
解：x>12时，2x-1>0，2x-1+12x-1≥2 (2x-1)⋅12x-1=2，当且仅当
2x-1=12x-1，即x=1时等号成立，所以2x+12x-1的最小值是3，A正确;
y=|x|+5 |x|+4= |x|+4+1 |x|+4≥2，当且仅当 |x|+4=1时等号成立，但 |x|+4=1无实
数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错;
x>0，y>0且x+y=2，x+y+1=3，
xy+1+3x=2-yy+1+3x=3y+1-1+3x=3y+1+3x-1，
则3y+1+3x=(x+y+1)(1y+1+1x)=2+xy+1+y+1x≥2+2 xy+1×y+1x=4，
当且仅当xy+1=y+1x，x+y=2即x=32,y=12时等号成立，
所以xy+1+3x的最小值是4-1=3，C正确．
x∈[12,2]时，1x∈[12,2]，y= 5x-2x= 5x-2x2= -2(1x-54)2+258，
因为12≤1x≤2，所以1x=12时，y= 2，1x=2时，y= 2，
1x=54时，y= 258=5 24．
所以值域是[ 2,5 24]，D正确；
故选：ACD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了函数的新定义，是较难题．
由黎曼函数的定义一一分析即可．
【解答】
解：依题意当 x 为无理数( x∈0,1 )时 Rx=x 无解，
当 x 为有理数( x∈0,1 )时，即 x=pq ， q 为大于 1 的正整数， p 、 q 为既约的正整数，
则方程 Rx=x ，解得 x=1q ， q 为大于 1 的正整数，
当 x=0 时 Rx=x ，解得 x=0 ，当 x=1 时 Rx=x 无解，
所以方程 Rx=x 的解集为 0,12,13,14,15,⋅⋅⋅ ，故A正确；
因为 211∈0,12 ，但是不存在正整数 q ，使得 1q=211 ，故B错误；
若 x 为 0,1 上的无理数，则 1-x 也为无理数，此时 Rx=R1-x ，
若 x=1 ，则 1-x=0 ，此时 Rx=R1-x ，
若 x 为 0,1 上的有理数，则 1-x 也为有理数，此时 Rx=R1-x ，
综上可得 ∀x∈0,1 ，有 Rx=R1-x ，所以 Rx 关于 x=12 对称，
即 Rx+12=R12-x ，则 Rx+12 为偶函数，故C正确；
由 x∈0,1 ，若 x 为无理数时 Rx=0 ，此时 Rx若 x=0 或 x=1 时 Rx=0 ，此时 Rx≤x ，
若 x 为有理数( x≠0 且 x≠1 )，
即 x=pq ， q 为大于 1 的正整数， p 、 q 为既约的正整数，
则 Rx=1q≤pq ，所以 Rx≤x ，故D正确；
故选：ACD
13.【答案】(0,0)
【解析】【分析】本题考查了指数函数的图象与性质，属于基础题．
利用指数函数图象过定点即可．
【解答】解：由题意得：当x=0时，y=1-1=0，
∴y=ax-1(a>0且a≠1)的图象一定过点(0,0)，
故答案为：(0,0)．
14.【答案】(3,4)∪(4,+∞)
【解析】【分析】本题考查函数的定义域的相关性质，主要考查对数型函数定义域的判断，考查计算能力，考查方程思想，是基础题．
通过分式的分母不能为0以及对数的真数大于0列出不等式组，然后通过计算得出结果．
【解答】解：∵x-3>0x-3≠1⇒x>3且x≠4，
∴y=1lg3(x-3)的定义域为(3,4)∪(4,+∞)．
故答案为：(3,4)∪(4,+∞)．
15.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了对数的运算，对数换底公式，属于基础题．
利用对数换底公式即可．
【解答】解：∵A=1×2×3×⋯×2023，
∴1lg2A+1lg3A+1lg4A+⋯+1lg2023A=lgA2+lgA3+lgA4+···+lgA2023
=lgA(2·3·4···2023)=1．
16.【答案】(-1,3)
【解析】【分析】本题考查了合情推理的应用问题，解题时应把复杂的高次不等式转化为一元二次不
等式，构造函数并利用函数的单调性进行转化是关键，属中档题．
引入函数g(x)=x3+x，由其单调性解不等式．
【解答】解：∵g(x)=x3+x在R上单调递增，
x6-2x-3<(2x+3)3-x2⇒x6+x2<(2x+3)3+(2x+3)
⇒(x2)3+x2<(2x+3)3+(2x+3)⇒g(x2)∴x2<2x+3⇒x2-2x-3<0⇒-1∴不等式的解集为(-1,3)．
故答案为：(-1,3)．
17.【答案】解：(1)80.25×42+642713-(-2021)0
=234×214+(43)3×13-1
=2+43-1=73．
(2)lg25+lg2⋅lg50+(lg2)2=lg25+lg2⋅(2lg5+lg2)+(lg2)2=2lg5+2lg2⋅lg5+2(lg2)2
=2lg5+2lg2⋅(lg5+lg2)=2lg5+2lg2=2
【解析】本题考查指数和对数的运算，是基础题．
(1)由指数的运算和化简求值即可求解；
(2)由对数的运算和化简求值即可求解．
18.【答案】解：(1)由题可得b=1，且a3=8a>0a≠1，
可得a=2，所以y=2x，
(2)由a3x-4>(1a)3=a-3，
当0当a>1时，y=ax在定义域上递增，则3x-4>-3，可得x>13，解集为(13,+∞).
【解析】本题考查指数函数解析式和利用指数函数单调性解不等式，属于基础题．
(1)由指数函数的定义及所过点列方程求参数，即可得表达式；
(2)讨论01，结合指数函数的单调性求解集．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=(lg2x-2)(lg2x-1)，令t=lg2x，因为x∈[2,8]，所以t∈[1,3]，
此时，y=t2-3t+2=(t-32)2-14，
∵t∈[1,3]∴y∈[-14,2]所以函数的值域为[-14,2];
(2)对于f(x)≥mlg2x对于x∈[4,16]恒成立，令t=lg2x∈[2,4]，
即t2-3t+2≥mt对t∈[2,4]恒成立，∴m≤t+2t-3对t=lg2x∈[2,4]恒成立．
由对勾函数可知，g(t)=t+2t-3在[2,4]上单调递增，
∴g(t)min=g(2)=0，∴m≤0.
【解析】本题考查函数的值域的求法，函数的恒成立问题，属于中档题．
(1)f(x)=(lg2x-2)(lg2x-1)，令t=lg2x，则y=t2-3t+2，由此能求出函数的值域．
(2)令t=lg2x，得t2-3t+2≥mt对于2≤t≤4恒成立，从而得到m≤t+2t-3对t=lg2x∈[2,4]恒成立，构造函数g(t)=t+2t-3，能求出m的取值范围．
20.【答案】解：(1)由题意可知v=3ln(1+M25)，
当v=16.7时，有16.7=3ln (1+M25)，
∴M=25e16.73-25≈6514.0(t)．
(2)∵希望v达到第三宇宙速度16.7km/s，但火箭起飞质量最大值为2000t，
v=v0+ω⋅ln(1+Mm)=ω⋅ln(m+Mm)，
∴ω⋅ln(m+Mm)=16.7，m+M≤2000，m=25，
∴16.7ω+lnm=ln(m+M)≤ln2000，
即16.7ω+ln25≤ln2000，
∴ω≥16.7ln80≈3.8，
∴ω的最小值为3.8km/s．
【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
(1)由题意可知v=3ln(1+M25)，令v=16.7即可求出M的值．
(2)由题意得ω⋅ln(m+Mm)=16.7，且m+M≤2000，m=25，所以16.7ω+lnm=ln(m+M)≤ln2000，结合对数的运算性质可求出ω的取值范围，从而得到ω的最小值．
21.【答案】解：(1)∵f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1，k∈R)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)=0，解得k=1
经检验k=1，满足题意．
(2)∃x∈[lg32,2]，使得f(2x)+2⋅3-2x≥λ⋅f(x)成立，
即32x+3-2x≥λ(3x-3-x)能成立．
令t=3x-3-x，则t∈[32,809]，
问题转化为关于t的不等式t2+2≥λt在t∈[32,809]上能成立，
亦即不等式λ≤t+2t，在t∈[32,809]上能成立．
当t=809时，(t+2t)max=3281360，
∴λ≤3281360，则λ的最大整数为9．
【解析】本题考查了函数的奇偶性，函数的恒成立问题，属于中档题．
(1)根据f(0)=0，解得k，再检验即可；
(2)利用换元法，令t=3x-3-x，将原问题转化为t2+2≥λt在t∈[32,809]上能成立，即λ≤t+2t，在t∈[32,809]上能成立，即可得解．
22.【答案】解：(1)由y=f(x)=ax可得x=lgay，所以g(x)=lgax，x∈(0,+∞)，
若a=2，则g(x)=lg2x，x∈(0,+∞)
(2)由y=f(x)=ax可得x=lgay，所以g(x)=lgax，x∈(0,+∞)，
若y=g[f(x)+3k-1]=lga(ax+3k-1)值域为R，
则y=ax+3k-1的函数值可以取到所有正实数．
因为y=ax的值域为(0,+∞)，所以3k-1≤0，解得k≤0，
所以实数k的取值范围是(-∞,0]
(2)因为g(x-3a)=lga(x-3a)的定义域为(3a,+∞)，
g(1x-a)=lga1x-a的定义域为(a,+∞)，
函数g(x-3a)=lga(x-3a)和g(1x-a)=lga1x-a是[a+2,a+3]上的“粗略逼近函数”，
则3a≤a+2a≤a+2，即a≤1;又a>0且a≠1，所以0|lga(x-3a)-lga1x-a|≤1在[a+2,a+3]上恒成立，
即|lga(x-3a)(x-a)|≤1在[a+2,a+3]上恒成立，
所以lga1a≤lga(x-3a)(x-a)≤lgaa在[a+2,a+3]上恒成立，
因此a≤(x-3a)(x-a)≤1a在[a+2,a+3]上恒成立，
即(x-3a)(x-a)-a≥0(x-3a)(x-a)-1a≤0在[a+2,a+3]上恒成立，
令h(x)=(x-3a)(x-a)-1a=x2-4ax+3a2-1a，
u(x)=(x-3a)(x-a)-a=x2-4ax+3a2-a，
因为0为使u(x)≥0h(x)≤0在[a+2,a+3]上恒成立，
只需u(x)min=u(a+2)≥0h(x)max=h(a+3)≤0，即(a+2-3a)(a+2-a)-a≥0(a+3-3a)(a+3-a)-1a≤0，
整理得4-5a≥09-6a-1a≤0，即a≤456a2-9a+1≥0,a>0解得0所以实数a的最大值为9- 5712
【解析】本题考查函数的解析式，函数的新定义问题，函数的值域，属于较难题．
(1)由题得x=lgay，则g(x)=lgax，x∈(0,+∞)，代入a=2，即可得解；
(2)问题转化为y=ax+3k-1的函数值可以取到所有正实数，即3k-1≤0，得解；
(3)根据题中所给新定义，得到|lga(x-3a)-lga1x-a|≤1在[a+2,a+3]上恒成立，则a≤(x-3a)(x-a)≤1a在[a+2,a+3]上恒成立，(x-3a)(x-a)-a≥0(x-3a)(x-a)-1a≤0在[a+2,a+3]上恒成立，再构造函数，得u(x)min=u(a+2)≥0h(x)max=h(a+3)≤0，即可得解．

2023-2024学年湖南省株洲二中高一年级期中考试数学试卷（含解析）

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