山东省德州市德城区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题4分，共48分）
1. 下列各数中，比﹣3小的数是（ ）
A. ﹣2B. 0C. ﹣4D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．
详解】解：∵-4＜-3＜-2＜0＜1，
∴比-3小的数是-4，
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记0大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小．
2. 下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程”逐个判断即可．
【详解】解：A、方程含未知数的项的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、方程含有二个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、方程不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、方程是一元一次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项和去括号，根据合并同类项法则和去括号法则判断即可．
【详解】解：A．和不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
B．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
C．，计算正确，故本选项符合题意；
D．，原选项计算错误，故不符合题意．
故选：C．
4. 如图，直角三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，即可求得．
【详解】解：，，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平角的有关计算，根据平角等于是解决本题的关键．
5. 老师在黑板写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：，则所捂的二次三项式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的加减，由题意可知：所的二次三项式是个加数，根据加数和另一个加数，列出算式，进行化简即可；
【详解】由题意得：
，
所捂的多项式为：；
故答案为：A
6. 在解方程时，去分母正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程步骤中的去分母，解答的关键在于找出分母的最小公倍数，去分母，即可得到答案.
【详解】解：方程的两边同时乘以，得：，
故选B.
7. 已知A在B的南偏西方向上，C在B的北偏西方向上，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方位角的定义，画出图形即可求解．
【详解】解：由题意得：如图，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了方位角，正确画出图形是解题的关键．
8. 已知有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图像判断出的符号，即可得结论．
【详解】解：由图像可知：，
，
，
故A、B、C选项不符合题意；
，
，
故选项D符合题意；
故选∶D．
【点睛】本题考查有理数的乘法，数轴，绝对值，有理数的减法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9. 如图， ， ，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查线段的和差关系，解题的关键是等量代换得出，再结合即可列式求解．
【详解】解：，，，
，
，，
，
，
∴．
故选：C．
10. 学校在一次研学活动中，师生乘坐客车前往，若每辆客车乘30人，则还有8人不能上车；若每辆客车乘38人，则少用了一辆车，并空了2个座位．则师生人数一共为（ ）
A. 188人B. 158人C. 97人D. 48人
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．师生一共有x人，根据若每辆客车乘30人，则还有8人不能上车；若每辆客车乘38人，则少用了一辆车，并空了2个座位列方程求解即可．
【详解】解：师生一共有x人，由题意得，
，
解得，
经检验符合题意．
故选A．
11. x是数轴上一点表示的数，则的最小值是（ ）
A. 1B. 5C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，分情况根据绝对值的意义进行化简，即可求出结果．
【详解】解：当时，
，
代数式的值随x的增大而减小，
当时，
，
当时，
，
代数式的值随x的增大而增大，
则的最小值是5，
故选：B．
12. 三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（ ）
A.
B. 小长方形的周长为
C. 与的周长和恰好等于长方形的周长
D. 只需知道和的值，即可求出与的周长和
【答案】D
【解析】
【分析】根据图形中各边之间的关系，即可一一判定．
【详解】解：由图可知：，，故A不正确；
小长方形的周长为：，故B不正确；
与的周长和为：
，
长方形的周长为：，
故与的周长和不等于长方形的周长，故C不正确，
故只需知道和的值，即可求出与的周长和，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了列代数式，根据题意和图形，正确列出代数式是解决本题的关键
二、填空题（每题4分，共24分）
13. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长__________(填:大或小)， 理由为____________________________.
【答案】 ①. 小 ②. 两点之间线段最短
【解析】
【分析】根据多边形的周长的定义和两点之间线段最短可以得出结论．
【详解】解：五边形ABCDE的周长=AB+BC+CD+DE+EA=AB+BC+CD+DG+GE+EF+AF
六边形ABCDGF的周长= AB+BC+CD+DG+FG+AF．
根据两点之间线段最短可得：EF+EG＞FG，
∴六边形ABCDGF的周长小于五边形ABCDE的周长
故答案为：小；两点之间线段最短
【点睛】本题主要考查多边形的周长的定义和两点之间线段最短，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
14. 10时整，钟表的时针与分钟所构成锐角的度数是______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】由于钟表的指针恰好是10点整，时针指向10，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数．
【详解】解：钟表的指针恰好是10点整，时针指向10，分针指向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数．
故答案为：．
【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格30度；分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度．
15. 下图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补充的内容是：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了多项式的项与次数，多项式的项为多项式中单项式的个数，多项式的次数为多项式中次数最高次的次数．根据多项式的项与次数的概念补充符合条件的单项式即可．
【详解】解：原多项式是一个三次三项式
可以添加为，即是一个三次三项式．
故答案为：（答案不唯一）．
16. 根据图中情境，可知小明共购买跳绳________根．

【答案】25
【解析】
【分析】由题意可得：小明购买的跳绳数量超过了10根，设购买跳绳x根，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得：小明购买的跳绳数量超过了10根，设购买跳绳x根，
则，
解得：；
故答案为：25．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂情境信息、找准相等关系是解题关键．
17. 观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是_____．
【答案】0
【解析】
【分析】由已知可得的尾数1，7，9，3循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解．
【详解】解：，，，，，，…，
的尾数1，7，9，3循环，
的个位数字是0，
0，1，…，2023，一共有2024个数，
，
的结果的个位数字与的个位数字相同，
的结果的个位数字是0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．
18. 如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为 _____．
【答案】或6
【解析】
【分析】分下列三种情况讨论，如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在AD上，即3＜t≤7时，由S△PCE=S四边形AECD-S△PCD-S△PAE建立方程求出其解即可；如图3，当点P在AE上，即7＜t≤9时，由S△PCE=PE•BC=18建立方程求出其解即可．
【详解】解：如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，
∵四边形ABCD长方形，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm．
∵CP=2t（cm），
∴S△PCE=×2t×8=18，
∴t=；
如图2，当点P在AD上，即3＜t≤7时，
∵AE=2BE，
∴AE=AB=4．
∵DP=2t-6，AP=8-（2t-6）=14-2t．
∴S△PCE=×（4+6）×8-（2t-6）×6-（14-2t）×4=18，
解得：t=6；
当点P在AE上，即7＜t≤9时，
PE=18-2t．
∴S△CPE=（18-2t）×8=18，
解得：t=＜7（舍去）．
综上所述，当t=或6时△APE的面积会等于18．
故答案为：或6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，三角形面积公式的运用，梯形面积公式的运用，动点问题，分类讨论等；解答时要运用分类讨论思想求解，避免漏解．
三、解答题（共78分）
19. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1．
【详解】解：（1）
；
（2），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：．
20. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，4
【解析】
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
【点睛】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21. 已知两动点均在数轴上匀速运动，运动规律如下表：
（1）补全表格中数据．
（2）当点之间的距离为2个单位长度时，求点A表示的数．
【答案】（1）见解析 （2）或4
【解析】
【分析】（1）根据路程，速度和时间的关系求解即可；
（2）根据两点之间的距离公式求解即可．
小问1详解】
解：点的移动速度为：，
∴，，
点的移动速度为：，
∴，，
∴补全表格中数据
【小问2详解】①点A，B相遇前距离为2个单位长度时，用t秒，
则，解得，
∴点A表示的数；
②点A，B相遇后距离为2个单位长度时，用t秒，
则，解得，
∴点A表示的数；
故点A表示的数为或．
【点睛】本题考查了数轴，运用数形结合和方程思想是解题的关键．
22. 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：
由题意，得，则有，

；
所以代数式的值为5．
【方法运用】
（1）若代数式的值为10，则代数式的值为 ；
（2）当时，求的值为9，当时，求的值；
【拓展应用】
（3）若，，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）5；（3）10
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值．整体代入是解题的关键．
（1）根据题干过程求解即可；
（2）根据题干过程求解即可；
（3）根据，然后代值求解即可．
【详解】解：（1）由题意，得，则有，
，
所以代数式的值为．
故答案为：．
（2）当时，，
由题意，得，
即，
∴，
∴当时，
．
（3）∵，
又∵，，
∴．
23. 2023年亚运会期间，官方授权特许的零售店上新了不少亚运吉祥物盲盒．某商家用9000元购进一批甲、乙两种盲盒，其中甲盲盒的件数比乙盲盒的件数的4倍少40件，两种商品的进价和售价如表所示：
（1）商家购进的这批盲盒中甲、乙两种盲盒分别有多少件?
（2）双十二活动到了，为保证货源充足，该商家再次分别以第一次同样的进价购进甲、乙两种盲盒，其中甲盲盒件数不变，乙盲盒的件数是第一批的3倍，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润是5160元，求第二批乙盲盒在原价基础上打几折销售?
【答案】（1）商家购进的这批盲盒中甲有440件，乙有120件
（2）第二批乙盲盒在原价基础上打九折销售
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设商家第一次购进乙盲盒x件，则甲盲盒件，根据总价单价销量，可得出关于x的一元一次方程，解方程后计算，可得两种盲盒第一次购进数量；
（2）设第二次乙种商品是按原价打m折销售，根据总利润每件的利润销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：设商家第一次购进乙盲盒x件，则甲盲盒件，
根据题意得：，
解得：，
甲种盲盒的件数为：，
答：商家购进的这批盲盒中甲有440件，乙有120件．
【小问2详解】
解：设第二批乙盲盒在原价基础上打折销售．
根据题意得：，
解得：，
答：第二批乙盲盒在原价基础上打九折销售．
24. 已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分．
（1）如图1，射线在的内部．
①的度数为 °；
②若与互余，求的度数；
（2）若，求的度数（用含n的式子表示）．
【答案】（1）①15；②
（2）的度数为： 或
【解析】
【分析】本题考查了角的计算、余角、角平分线的定义，熟练掌握余角的定义、角平分线的定义是解题的关键，在解答第（2）时，采用分类讨论的思想是解题的关键．
（1）由，，可得从而可计算出的度数；
根据与互余以及平分即可算出的度数；
（2）分两种情况：当在内部时；当在外部时，进行讨论即可得到答案．
【小问1详解】
解：， ，
，，
，
；
故答案为：15 ；
与互余，
，
平分，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：当在内部时，如图所示：
，
，
，
，
平分，
，
；
当在外部时，如图所示：
，
平分，
，
，
综上所述：的度数为： 或．
25. 在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（），M为线段的中点，给出如下定义：若，则称A是B的“正比点”；若，则称A是B的“反比点”，例如，时，A是B的“正比点”；时，A是B的“反比点”．
（1）若，则M对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序号）；
①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；
③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”．
（2）若，且M是A的“正比点”，求的值；
（3）若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，求的值．
【答案】（1）2；③ （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由得，由M为线段的中点得M表示的数为．①由，得A不是M的“正比点”，故①不正确．②由，得A不是M的“反比点”，故②不正确．③由，得B是M的“正比点”，故③正确．④由，得B不是M的“反比点”，故④不正确．
（2）由M为线段的中点，得．由M是A的“正比点”，得，故，再计算即可．
（3）利用定义可得，得，分两种情况：①，得，解方程即可求解；②，得，解方程即可求解．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴．
∵M为线段的中点，
∴M表示的数为．
①∵，
∴A不是M的“正比点”，
∴①不正确．
②∵，
∴A不是M的“反比点”；
∴②不正确．
③∵，
∴B是M的“正比点”，
∴③正确．
④∵，
∴B不是M的“反比点”，
∴④不正确．
故答案：2，③．
【小问2详解】
∵M为线段的中点，
∴．
∵M是A的“正比点”，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：．
【小问3详解】
∵，
∴a，b异号，
∵M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，
∴或，
化简都得出：，
∴，
分两种情况：①，
∴，
∴或，
解得：（舍去）或，
∴；
②，
∴，
∴或，
解得：（舍去）或，
∴，
∴的值为或．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，非负数的性质，线段的中点，绝对值方程等知识，利用“正比点”和“反比点”是解题关键．
运动时间（秒）
0
1
5
…
点A表示的数


…
点B表示的数

6

…
运动时间（秒）
0
1
5
…
点A表示的数
…
点B表示的数
8
6
…
甲
乙
进价（元/件）
15
20
售价（元/件）
21
30