山东省德州市德城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省德州市德城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（）
A．B．C．D．
3．反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜2C．m＜D．m＞2
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，．以点O为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
6．杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长），拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
8．如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（4，4）C．（2，1）D．（1，1）或（4，4）
9．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是的弦，，与相切，，相交于点C，若，，则线段的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．已知，，且，则的值为（ ）．
A．B．C．5D．
12．如图的两条中线、交于点，，连结并延长交于点，若，则＝（ ）
A．6B．8C．9D．12
二、填空题
13．点关于原点对称的点的坐标是 ．
14．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
15．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
16．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为

17．《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作．如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”．若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）．

18．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 ．

三、解答题
19．小明解方程的过程如下：
解：原方程可化为． ……第一步
配方，得，……第二步
即 ．……第三步
直接开平方，得
所以，．……第五步
(1)小明是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来解这个方程的；他的解题过程从第 步开始出现错误．
(2)请你用不同于小明的方法解该方程．
20．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
21．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指标数随时间(分钟)的变化规律如图所示(其中、分别为线段，为双曲线的一部分)：

(1)分别求出线段和双曲线的函数关系式；
(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
22．如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
23．如图，一名篮球运动员在距离篮球框中心A点（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面．

(1)求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式；
(2)求出篮球在该运动员出手时的高度．
24．（1）【学习心得】
小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，求的度数，若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到_______°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形中，，求的度数．小宸同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以的中点为圆心，长为半径的圆；的外接圆也是以的中点为圆心，长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小底的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
①如图3，的三条高相交于点H，求证：．
②如图4，在中，，是边上的高，且，直接写出的长．
25．抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．

(1)直接写出三点的坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合．即可得到答案．
【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称，掌握相关概念是解题关键．
2．B
【分析】考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
最后一个数字可能是中任一个．总共有十种情况，其中解锁只有一种情况．利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：一次解锁该手机密码的概率是．
故选：B．
3．A
【分析】先根据反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大判断出1-2m的符号，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大，
∴1-2m＜0，
∴m＞．
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出1-2m的符号是解答此题的关键．
4．D
【分析】此题主要考查了位似变换问题，掌握性质及正确把握规律是解题关键．直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合A点坐标直接得出点的坐标．
【详解】解：以点O为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将A的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得．
故选：D．
5．B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
6．B
【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，设半径为，根据垂径定理得，，由勾股定理得：，即可求出答案．
【详解】解：如图，设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，则为优弧的中点，设半径为，
，，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
故选：B．
7．C
【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴当或时，，
故选：C．
【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键．
8．A
【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，
点E即为旋转中心，E（1，1），
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
9．A
【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题．
【详解】解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
最大为，
故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．B
【分析】本题考查了勾股定理，等角的余角相等，熟练运用勾股定理是解题的关键．
先证明，设，则，根据勾股定理可得，代入即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
又，
，
与相切，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，
，
，
，
即，
故选：B．
11．D
【分析】本题主要考查了等式的性质、一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据等式的性质可将化为，可发现m、n是一元二次方程的解；再根据根与系数的关系可得；然后再运算并整体代入即可解答；发现m、n是一元二次方程的解成为解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴m、n是一元二次方程的解，
∴，
∴．
故选D．
12．B
【分析】利用高相等时面积比等于底之比，先求，连接，利用中位线得，进而求出，，，利用两边成比例夹角相等证明，得到，得，推出，得，再求即可．
【详解】
点是中点，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
，分别是，中点，
，，
，
，
又
，，，
，
又，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查中线平分三角形面积，三角形高相等时面积比等于底之比，三角形中位线性质，三角形相似的判定，平行线分线段成比例等知识点，解题的关键是熟悉并应用相关知识解决问题．
13．
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标；根据关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数得出答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，用用A、B、C、D代表《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》这四本书，画出树状图表示出所有等可能性，再根据概率公式即可求解．
【详解】解：分别用A、B、C、D代表《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》这四本书．
画树状图得
由树状图得同有12种等可能性，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的有2种等可能性，
∴概率为．
故答案为：
15．
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额五月份的盈利额列出方程求解即可．
【详解】解：设每月盈利平均增长率为x，
根据题意得：．
解得：，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般．
16．2
【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．设，在中，令得，进而得出，，，根据得到，即可得到答案．
【详解】解：设，在中，令得，
令得，
，，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
17．
【分析】根据弧长的计算公式计算半径为，圆心角为所对应的弧长即可．
【详解】由题意得，重物“甲”上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
18．和
【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．
【详解】解：在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，
根据点坐标，有
所以点坐标

设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设
而
∴
∴
因为：，，
有
解得：，
所以点的坐标为:
当在的延长线上时，
在中，，,
∴
∴
如图延长至，取，

则有为等腰三角形，，
∴
又∵
∴
则为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标：，纵坐标为；
综上E点的坐标为：或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置，是求解此题的关键．
19．(1)配方法，二
(2)求解过程见解析，，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】（1）由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程，
∴
解得，，
∴他的解题过程从第二步开始出现错误，
故答案为：配方法，二；
（2）
，，
∴
∴
解得，．
20．（1），（2）嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【分析】（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可；
（2）根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可．
【详解】解：（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口向北走的概率为；
（2）补全树状图如图所示：
嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为：；向南的概率为；向北的概率为；向东的概率为；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【点睛】本题考查了概率的应用，解题关键是根据题意准确画出树状图，正确进行求解判断．
21．(1)线段的函数关系式为；双曲线的函数关系式为
(2)能
【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法求解；
（2）令（1）中两个函数关系式中的函数值大于等于36，求出x值的取值范围，结合图形即可得出结论．
【详解】（1）解：由图可知，点A，B，C的坐标分别为，，，
设线段的函数关系式为，
将，代入，得：
，
解得，
线段的函数关系式为；
设双曲线的函数关系式为，
将代入，得：，
解得，
双曲线的函数关系式为；
（2）解：令，
解得，
令，
解得，
结合图形可知，当时，，
，
经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的应用，解题的关键利用待定系数法求出函数解析式．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法；
（1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似；
（2）根据四边形的对边相等可得，求出的长，再根据相似三角形的性质对应边成比例，即可求解．
【详解】（1）证明：由为平行四边形可知，，
，
，
又，
．
（2）解：平行四边形中，，
，，
，
，
由（1）得，
，
．
23．(1)
(2)篮球在该运动员出手时的高度是2.25米
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意设出抛物线的解析式为：，将点A的坐标代入，即可求出解析式；
（2）将点C的横坐标代入，即可得出结论．
【详解】（1）根据题意得：，，点C的横坐标为，
设抛物线的表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
∴篮球在该运动员出手时的高度是2.25米．
24．（1）45；（2）；（3）①证明见解析；②
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；
（2）由A、B、C、D共圆，得出；
（3）①先判断出点A、F、H、E在以为直径的同一个圆上，得出，同理得出，即可得出结论；②如图4，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推得是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到；则在中，易得，进而得解．
【详解】（1）解：如图1，
∵，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在上，
∵是的圆心角，而是圆周角，
∴，
故答案为：45；
（2）解：如图2，取的中点O，连接．
∵，
∴点A、B、C、D共圆，
∴，
∵，
∴；
（3）①证明：∵，如图3，
∴点A、F、H、E在以为直径的同一个圆上，
∴，
同理：点B、D、H、E在以BH为直径的同一个圆上，∠DFC=∠CBE，
又∵，
∴；
②解：如图4，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∵，O为圆心，
∴，
∴．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，判断四点共圆是解本题的关键．
25．(1)
(2)的值为2或
(3)点在定直线上
【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案；
（2）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出值即可得答案；
（3）根据平移的性质可得解析式，联立直线与解析式可得点坐标，即可得出中点的坐标，设，利用待定系数法可得直线的解析式为，同理得出直线的解析式为，联立两直线解析式可得，设点在直线上，把点代入，整理比较系数即可得出、的值即可得答案，也可根据点的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案．
【详解】（1）∵抛物线解析式为，
∴当时，，
解得：，，
当时，，
∴，，．
（2）解：是直线与抛物线的交点，
，
①如图，若时，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如图，若时．过作轴于点．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．

综上，符合题意的的值为2或．
（3）解：∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，
∴，
∵直线的解析式为，
∴联立直线与解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．
联立，得，
解得：．
∵直线与相交于点，
．
设点在直线上，则，①
整理得，，
比较系数得：，
解得：，
∴当时，无论为何值时，等式①恒成立．
∴点在定直线上．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．