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2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型32 平行四边形——对角互补模型-原卷版+解析
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这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型32 平行四边形——对角互补模型-原卷版+解析，共24页。
◎结论1：如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，
则①BC+AB=BD，②=BD2， ③BD是角平分线
【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转相等边的夹角
⑴
AD.CD夹角90°,旋转90°,
延长BC至E，使CE＝AB,连接DE，
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝90°
∴∠2＋∠3＝90°
∴△BED是等腰直角三角形
BE＝BD,BC＋CE＝BD，BC＋AB＝BD
⑵ = ＋＝＋＝＝BD·DE
由⑴得，BD=DE，∴ ＝BD·DE＝BD2
⑶ 由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45º，∴BD是角平分线.
◎结论2：如图，∠ABC=60º，∠ADC=120°，AD=DC，
则①BC+AB=BD，②=BD2，③BD是角平分线
【证明】
⑴
满足对角互补，邻边相等
AD.CD夹角120°，旋转120°
延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝120°
∴∠2＋∠3＝120°
过D作DM⊥BE于M，
∴∠BDM＝60°，BM＝ME
∴sin60°＝
∴ ＝
∴＝，即BE＝BD，∴BC＋AB＝BD
⑵ 由⑴得DM= BD，BE=BD
＋＝＋＝＝BE·DM
＝·BD· BD＝BD2
⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120º，
∴∠B＝∠E＝30º，
∴BD是角平分线
补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同
【结论】∠AOB=120º，∠DCE＝60º，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上，
则， ①CD=CE ②OD+OE=OC
①在OB上取一点F，连结CF，使△OCF为等边三角形，
∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°
∴∠FCE＝∠DCO
∵△OCF为等边三角形
∴∠CFE＝∠COD，且CF＝CO，
易证△CDO≌△CEF
∴CD＝CE
②∵△CDO≌△CEF
∴DO＝EF，
∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF
∴OD＋OE＝OC
◎结论3：如图，∠ABC=，∠ADC=180º－，AD=DC，
则①BC+AB=2BD，②=BD2，③BD是角平分线
①【证明】满足对角互补，邻边相等
AD,CD夹角180－a,旋转180－a
延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝180－a
∴∠2＋∠3＝180－a
（把图形抽离出来）
过D作DM⊥BE于M，
∴∠BDM＝90°－a，
∴∠DBM＝a，BE＝2BM，csa＝
∴2csa＝2＝
BE＝2BDcsa
∴BC＋AB＝2BD COSa
②【证明】由上可知△DAB≌△DCE，
所以△DAB的面积＝△DCE的面积
∴＝
（把图形抽离出来）
由①过程可知BE＝2BDcsa
DM＝BD sina
∴＝BE DM＝2BDcsa BD sina＝BD2
∴＝BD2
③∵BD＝ED
∴∠E＝∠DBE
∵△DAB≌△DCE
∴∠ABD＝∠E
∴∠ABD＝∠DBE
∴BD为角平分线。
1． (2023·全国·八年级专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
2． (2023·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形中，于，则的长为__________
1． (2023·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．
2． (2023·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝_____．
3． (2023·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究
（（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度．
1．（2012·黑龙江黑河·中考真题）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论
①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，
其中正确结论的个数是【 】
A．1个B．2个C．3个D．4个
2． (2023·江苏常州·一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，若AB2-AD2=4，求CD2-BC2的值；
（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求证：四边形ABCD为对直角四边形；
（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC，若，求tan∠ACD的值．
平行四边形
模型（三十二）——对角互补模型
◎结论1：如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，
则①BC+AB=BD，②=BD2， ③BD是角平分线
【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转相等边的夹角
⑴
AD.CD夹角90°,旋转90°,
延长BC至E，使CE＝AB,连接DE，
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝90°
∴∠2＋∠3＝90°
∴△BED是等腰直角三角形
BE＝BD,BC＋CE＝BD，BC＋AB＝BD
⑵ = ＋＝＋＝＝BD·DE
由⑴得，BD=DE，∴ ＝BD·DE＝BD2
⑶ 由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45º，∴BD是角平分线
◎结论2：如图，∠ABC=60º，∠ADC=120°，AD=DC，
则①BC+AB=BD，②=BD2，③BD是角平分线
【证明】
⑴
满足对角互补，邻边相等
AD.CD夹角120°，旋转120°
延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝120°
∴∠2＋∠3＝120°
过D作DM⊥BE于M，
∴∠BDM＝60°，BM＝ME
∴sin60°＝
∴ ＝
∴＝，即BE＝BD，∴BC＋AB＝BD
⑵ 由⑴得DM= BD，BE=BD
＋＝＋＝＝BE·DM
＝·BD· BD＝BD2
⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120º，
∴∠B＝∠E＝30º，
∴BD是角平分线
补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同
【结论】∠AOB=120º，∠DCE＝60º，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上，
则， ①CD=CE ②OD+OE=OC
①在OB上取一点F，连结CF，使△OCF为等边三角形，
∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°
∴∠FCE＝∠DCO
∵△OCF为等边三角形
∴∠CFE＝∠COD，且CF＝CO，
易证△CDO≌△CEF
∴CD＝CE
②∵△CDO≌△CEF
∴DO＝EF，
∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF
∴OD＋OE＝OC
◎结论3：如图，∠ABC=，∠ADC=180º－，AD=DC，
则①BC+AB=2BD，②=BD2，③BD是角平分线
①【证明】满足对角互补，邻边相等
AD,CD夹角180－a,旋转180－a
延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝180－a
∴∠2＋∠3＝180－a
（把图形抽离出来）
过D作DM⊥BE于M，
∴∠BDM＝90°－a，
∴∠DBM＝a，BE＝2BM，csa＝
∴2csa＝2＝
BE＝2BDcsa
∴BC＋AB＝2BD COSa
②【证明】由上可知△DAB≌△DCE，
所以△DAB的面积＝△DCE的面积
∴＝
（把图形抽离出来）
由①过程可知BE＝2BDcsa
DM＝BD sina
∴＝BE DM＝2BDcsa BD sina＝BD2
∴＝BD2
③∵BD＝ED
∴∠E＝∠DBE
∵△DAB≌△DCE
∴∠ABD＝∠E
∴∠ABD＝∠DBE
∴BD为角平分线。
1． (2023·全国·八年级专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；
②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．
④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．
【详解】解：如图，
①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，
∴D、A、E三点共线；故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠BDC=∠E=60°，
∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC平分∠BDA；故②正确；
③∵∠BAC=60°，
∠E=60°，
∴∠E=∠BAC．故③正确；
④由旋转可知AE=BD，
又∵∠DAE=180°，
∴DE=AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，
∴DC=DB+DA．故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．
2． (2023·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形中，于，则的长为__________
【答案】
【分析】过点B作 交DC的延长线交于点F，证明≌ 推出，，可得，由此即可解决问题；
【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，
∵，
，
∴≌
，
，
，
即，
，
故答案为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
1． (2023·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．
【答案】
【分析】可将△OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜边CD.
【详解】解：
将△OBC绕O点旋转90°，
∵OB=OA
∴点B落在A处，点C落在D处
且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，
在四边形OACB中
∵∠BOA=∠BCA=90°，
∴∠OBC+∠OAC=180°，
∴∠OAD+∠OAC=180°
∴C、A、D三点在同一条直线上，
∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理
CD2=OC2+OD2
即CD2=32+32=18
解得CD=
即BC+AC=.
【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C、A、D三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CB⊥y轴的情况，此时四边形OACB刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.
2． (2023·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝_____．
【答案】4．
【分析】将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．证明△AEC是等边三角形，四边形ABCD面积等于△AEC面积，根据等边△AEC面积特征可求解AC长．
【详解】解：将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．
∵四边形内角和360°，
∴∠D+∠ABC＝180°．
∴∠ABE+∠ABC＝180°，
∴E、B、C三点共线．
根据旋转性质可知∠EAC＝60度，AE＝AC，
∴△AEC是等边三角形．
四边形ABCD面积等于△AEC面积，
等边△AEC面积 ，
解得AC＝4．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质，解题的关键是根据AB=AD及∠BAD=60°，对△ACD进行旋转，把四边形转化为等边三角形求解．
3． (2023·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究
（（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度．
【答案】（1）115°；（2）S四边形ABCD=18；（3）对角线BD的长度为米．
【分析】（1）利用外角的性质可求解；
（2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积；
（2）将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，由旋转的性质可得BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，由三角形内角和定理可求∠FAD=90°，由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）如图1，延长BC交AD于E，
∵∠BCD=∠BED+∠D，∠BED=∠A+∠ABC，
∴∠BCD=∠A+∠ABC +∠D =45°+30°+40°=115°，
故答案为：115°；
（2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，
在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠BCE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE，
∴BE=BD，∠ABD=∠CBE，S△ABD=S△CBE，
∵∠ABC=90°，即∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠CBE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，
∵BD=BE=6，∠DBE=90°，
∴S△BDE=×BE×BD=18，
∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四边形ABCD=18；
（4）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，
∴△BCD≌△BAF，∠FBD=60°，
∴BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF=BD=DF，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADB+∠BDC=30°，
∴∠BFA+∠ADB=30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°，
∴∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠FAD=90°，
∴DF=，
∴BD=(米)．
答：对角线BD的长度为米．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．
1．（2012·黑龙江黑河·中考真题）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论
①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，
其中正确结论的个数是【 】
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，
∴AD =DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN =90°－∠ADN=∠FDC．
∴△EDA≌△FDC（ASA）．
∴AE=CF．
∴BE+CF= BE+ AE=AB．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC．
∴(BE+CF)=BC．
∴结论①正确．
设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b．
∴．
∴．
∴结论②正确．
如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O．
∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，
∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，
OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG．
∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．
∴结论④错误．
∵△EDA≌△FDC，
∴．
∴结论③错误．
又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分．
∴结论⑤正确．
综上所述，结论①②⑤正确．故选C．
2． (2023·江苏常州·一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，若AB2-AD2=4，求CD2-BC2的值；
（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求证：四边形ABCD为对直角四边形；
（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC，若，求tan∠ACD的值．
【答案】⑴ 4；⑵见解析 ；⑶tan∠ACD的值为3或．
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延长线于F．只要证明∠EBF=90°即可解决问题；
（3）如图③中，设AD=x，BD=y．根据，构建方程即可解决问题.
【详解】解：如图①中，
∵四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，
∴∠D=∠B=90°，
∴AC2=AB2+BC2=AD2+DC2，
∴CD2-BC2=AB2-AD2=4．
（2）证明：如图②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延长线于F．
∵BD平分∠ADC，BE⊥CD，BF⊥AD，
∴BE=BF，
∵∠BFA=∠BEC=90°，BA=BC，BF=BE，
∴Rt△BFA≌Rt△BEC（HL），
∴∠ABF=∠CBE，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴ADC=360°-90°-90°-90°=90°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD为对直角四边形．
（3）解：如图③中，设AD=x，BD=y．
∵∠ADC=90°，
∴tan∠ACD=，AC=，
∵AB=AC，∠ABC=90°，
∴AB=BC=•，
∵，
∴，
整理得：3x2-10xy+3y2，
∴3（）2-10•+3=0，
∴=3或．
∴tan∠ACD的值为3或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
◎结论1：如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，
则①BC+AB=BD，②=BD2， ③BD是角平分线
【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转相等边的夹角
⑴
AD.CD夹角90°,旋转90°,
延长BC至E，使CE＝AB,连接DE，
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝90°
∴∠2＋∠3＝90°
∴△BED是等腰直角三角形
BE＝BD,BC＋CE＝BD，BC＋AB＝BD
⑵ = ＋＝＋＝＝BD·DE
由⑴得，BD=DE，∴ ＝BD·DE＝BD2
⑶ 由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45º，∴BD是角平分线.
◎结论2：如图，∠ABC=60º，∠ADC=120°，AD=DC，
则①BC+AB=BD，②=BD2，③BD是角平分线
【证明】
⑴
满足对角互补，邻边相等
AD.CD夹角120°，旋转120°
延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝120°
∴∠2＋∠3＝120°
过D作DM⊥BE于M，
∴∠BDM＝60°，BM＝ME
∴sin60°＝
∴ ＝
∴＝，即BE＝BD，∴BC＋AB＝BD
⑵ 由⑴得DM= BD，BE=BD
＋＝＋＝＝BE·DM
＝·BD· BD＝BD2
⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120º，
∴∠B＝∠E＝30º，
∴BD是角平分线
补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同
【结论】∠AOB=120º，∠DCE＝60º，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上，
则， ①CD=CE ②OD+OE=OC
①在OB上取一点F，连结CF，使△OCF为等边三角形，
∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°
∴∠FCE＝∠DCO
∵△OCF为等边三角形
∴∠CFE＝∠COD，且CF＝CO，
易证△CDO≌△CEF
∴CD＝CE
②∵△CDO≌△CEF
∴DO＝EF，
∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF
∴OD＋OE＝OC
◎结论3：如图，∠ABC=，∠ADC=180º－，AD=DC，
则①BC+AB=2BD，②=BD2，③BD是角平分线
①【证明】满足对角互补，邻边相等
AD,CD夹角180－a,旋转180－a
延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝180－a
∴∠2＋∠3＝180－a
（把图形抽离出来）
过D作DM⊥BE于M，
∴∠BDM＝90°－a，
∴∠DBM＝a，BE＝2BM，csa＝
∴2csa＝2＝
BE＝2BDcsa
∴BC＋AB＝2BD COSa
②【证明】由上可知△DAB≌△DCE，
所以△DAB的面积＝△DCE的面积
∴＝
（把图形抽离出来）
由①过程可知BE＝2BDcsa
DM＝BD sina
∴＝BE DM＝2BDcsa BD sina＝BD2
∴＝BD2
③∵BD＝ED
∴∠E＝∠DBE
∵△DAB≌△DCE
∴∠ABD＝∠E
∴∠ABD＝∠DBE
∴BD为角平分线。
1． (2023·全国·八年级专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
2． (2023·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形中，于，则的长为__________
1． (2023·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．
2． (2023·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝_____．
3． (2023·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究
（（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度．
1．（2012·黑龙江黑河·中考真题）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论
①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，
其中正确结论的个数是【 】
A．1个B．2个C．3个D．4个
2． (2023·江苏常州·一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，若AB2-AD2=4，求CD2-BC2的值；
（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求证：四边形ABCD为对直角四边形；
（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC，若，求tan∠ACD的值．
平行四边形
模型（三十二）——对角互补模型
◎结论1：如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，
则①BC+AB=BD，②=BD2， ③BD是角平分线
【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转相等边的夹角
⑴
AD.CD夹角90°,旋转90°,
延长BC至E，使CE＝AB,连接DE，
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝90°
∴∠2＋∠3＝90°
∴△BED是等腰直角三角形
BE＝BD,BC＋CE＝BD，BC＋AB＝BD
⑵ = ＋＝＋＝＝BD·DE
由⑴得，BD=DE，∴ ＝BD·DE＝BD2
⑶ 由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45º，∴BD是角平分线
◎结论2：如图，∠ABC=60º，∠ADC=120°，AD=DC，
则①BC+AB=BD，②=BD2，③BD是角平分线
【证明】
⑴
满足对角互补，邻边相等
AD.CD夹角120°，旋转120°
延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝120°
∴∠2＋∠3＝120°
过D作DM⊥BE于M，
∴∠BDM＝60°，BM＝ME
∴sin60°＝
∴ ＝
∴＝，即BE＝BD，∴BC＋AB＝BD
⑵ 由⑴得DM= BD，BE=BD
＋＝＋＝＝BE·DM
＝·BD· BD＝BD2
⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120º，
∴∠B＝∠E＝30º，
∴BD是角平分线
补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同
【结论】∠AOB=120º，∠DCE＝60º，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上，
则， ①CD=CE ②OD+OE=OC
①在OB上取一点F，连结CF，使△OCF为等边三角形，
∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°
∴∠FCE＝∠DCO
∵△OCF为等边三角形
∴∠CFE＝∠COD，且CF＝CO，
易证△CDO≌△CEF
∴CD＝CE
②∵△CDO≌△CEF
∴DO＝EF，
∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF
∴OD＋OE＝OC
◎结论3：如图，∠ABC=，∠ADC=180º－，AD=DC，
则①BC+AB=2BD，②=BD2，③BD是角平分线
①【证明】满足对角互补，邻边相等
AD,CD夹角180－a,旋转180－a
延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE
∵∠DAB＋∠DCB＝180°
∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
在△DAB和△DCE中
DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE
∴△DAB≌△DCE
∴BD＝ED，∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝180－a
∴∠2＋∠3＝180－a
（把图形抽离出来）
过D作DM⊥BE于M，
∴∠BDM＝90°－a，
∴∠DBM＝a，BE＝2BM，csa＝
∴2csa＝2＝
BE＝2BDcsa
∴BC＋AB＝2BD COSa
②【证明】由上可知△DAB≌△DCE，
所以△DAB的面积＝△DCE的面积
∴＝
（把图形抽离出来）
由①过程可知BE＝2BDcsa
DM＝BD sina
∴＝BE DM＝2BDcsa BD sina＝BD2
∴＝BD2
③∵BD＝ED
∴∠E＝∠DBE
∵△DAB≌△DCE
∴∠ABD＝∠E
∴∠ABD＝∠DBE
∴BD为角平分线。
1． (2023·全国·八年级专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；
②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．
④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．
【详解】解：如图，
①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，
∴D、A、E三点共线；故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠BDC=∠E=60°，
∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC平分∠BDA；故②正确；
③∵∠BAC=60°，
∠E=60°，
∴∠E=∠BAC．故③正确；
④由旋转可知AE=BD，
又∵∠DAE=180°，
∴DE=AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，
∴DC=DB+DA．故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．
2． (2023·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形中，于，则的长为__________
【答案】
【分析】过点B作 交DC的延长线交于点F，证明≌ 推出，，可得，由此即可解决问题；
【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，
∵，
，
∴≌
，
，
，
即，
，
故答案为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
1． (2023·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．
【答案】
【分析】可将△OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜边CD.
【详解】解：
将△OBC绕O点旋转90°，
∵OB=OA
∴点B落在A处，点C落在D处
且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，
在四边形OACB中
∵∠BOA=∠BCA=90°，
∴∠OBC+∠OAC=180°，
∴∠OAD+∠OAC=180°
∴C、A、D三点在同一条直线上，
∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理
CD2=OC2+OD2
即CD2=32+32=18
解得CD=
即BC+AC=.
【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C、A、D三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CB⊥y轴的情况，此时四边形OACB刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.
2． (2023·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝_____．
【答案】4．
【分析】将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．证明△AEC是等边三角形，四边形ABCD面积等于△AEC面积，根据等边△AEC面积特征可求解AC长．
【详解】解：将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．
∵四边形内角和360°，
∴∠D+∠ABC＝180°．
∴∠ABE+∠ABC＝180°，
∴E、B、C三点共线．
根据旋转性质可知∠EAC＝60度，AE＝AC，
∴△AEC是等边三角形．
四边形ABCD面积等于△AEC面积，
等边△AEC面积 ，
解得AC＝4．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质，解题的关键是根据AB=AD及∠BAD=60°，对△ACD进行旋转，把四边形转化为等边三角形求解．
3． (2023·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究
（（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度．
【答案】（1）115°；（2）S四边形ABCD=18；（3）对角线BD的长度为米．
【分析】（1）利用外角的性质可求解；
（2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积；
（2）将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，由旋转的性质可得BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，由三角形内角和定理可求∠FAD=90°，由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）如图1，延长BC交AD于E，
∵∠BCD=∠BED+∠D，∠BED=∠A+∠ABC，
∴∠BCD=∠A+∠ABC +∠D =45°+30°+40°=115°，
故答案为：115°；
（2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，
在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠BCE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE，
∴BE=BD，∠ABD=∠CBE，S△ABD=S△CBE，
∵∠ABC=90°，即∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠CBE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，
∵BD=BE=6，∠DBE=90°，
∴S△BDE=×BE×BD=18，
∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四边形ABCD=18；
（4）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，
∴△BCD≌△BAF，∠FBD=60°，
∴BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF=BD=DF，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADB+∠BDC=30°，
∴∠BFA+∠ADB=30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°，
∴∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠FAD=90°，
∴DF=，
∴BD=(米)．
答：对角线BD的长度为米．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．
1．（2012·黑龙江黑河·中考真题）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论
①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，
其中正确结论的个数是【 】
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，
∴AD =DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN =90°－∠ADN=∠FDC．
∴△EDA≌△FDC（ASA）．
∴AE=CF．
∴BE+CF= BE+ AE=AB．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC．
∴(BE+CF)=BC．
∴结论①正确．
设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b．
∴．
∴．
∴结论②正确．
如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O．
∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，
∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，
OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG．
∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．
∴结论④错误．
∵△EDA≌△FDC，
∴．
∴结论③错误．
又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分．
∴结论⑤正确．
综上所述，结论①②⑤正确．故选C．
2． (2023·江苏常州·一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，若AB2-AD2=4，求CD2-BC2的值；
（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求证：四边形ABCD为对直角四边形；
（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC，若，求tan∠ACD的值．
【答案】⑴ 4；⑵见解析 ；⑶tan∠ACD的值为3或．
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延长线于F．只要证明∠EBF=90°即可解决问题；
（3）如图③中，设AD=x，BD=y．根据，构建方程即可解决问题.
【详解】解：如图①中，
∵四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，
∴∠D=∠B=90°，
∴AC2=AB2+BC2=AD2+DC2，
∴CD2-BC2=AB2-AD2=4．
（2）证明：如图②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延长线于F．
∵BD平分∠ADC，BE⊥CD，BF⊥AD，
∴BE=BF，
∵∠BFA=∠BEC=90°，BA=BC，BF=BE，
∴Rt△BFA≌Rt△BEC（HL），
∴∠ABF=∠CBE，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴ADC=360°-90°-90°-90°=90°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD为对直角四边形．
（3）解：如图③中，设AD=x，BD=y．
∵∠ADC=90°，
∴tan∠ACD=，AC=，
∵AB=AC，∠ABC=90°，
∴AB=BC=•，
∵，
∴，
整理得：3x2-10xy+3y2，
∴3（）2-10•+3=0，
∴=3或．
∴tan∠ACD的值为3或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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