中考几何模型压轴题 专题16《对角互补模型》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题16《对角互补模型》

破解策略

1．全等型之“90°”

如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，则

（1）CD＝CE；

（2）OD＋OE＝OC；

（3）．

证明　方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N．

 由角平分线的性质可得CM＝CN，∠MCN＝90°．

 所以∠MCD＝∠NCE，

 从而△MCD≌△NCE（ASA），

 故CD＝CE．

 易证四边形MONC为正方形．

 所以OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝2ON＝OC．

 所以．

方法二：如图，过C作CF⊥OC，交OB于点F．

 易证∠DOC＝∠EFC＝45°，CO＝CF，∠DCO＝∠ECF．

 所以△DCO≌△ECF（ASA）

所以CD＝CE，OD＝FE，

 可得OD＋OE＝OF＝．

 所以．

【拓展】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则：

（1）CD＝CE；

（2）OE－OD＝OC；

（3）．

如图，证明同上．

2．全等型之“120”

 如图，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，则：

（1）CD＝CE；

 （2）OD＋OE＝OC；

 （3）．

 证明　方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N．

 所以

 易证△MCD≌△NCE（ASA），

 所以CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝OC．

方法二：如图，以CO为一边作∠FCO＝60°，交OB于点F，则△OCF为等边三角形．

易证△DCO≌△ECF（ASA）．

所以CD＝CE，OD＋OE＝OF＝OC，

∴S△OCD＋S△OCE＝S△OCF＝OC 2

【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：

（1）CD＝CE；（2）OD－OE＝OC；（3）S△OCD－S△OCE＝OC 2

如图，证明同上．

3、全等型之“任意角”

如图，∠AOB＝2，∠DCE＝180°－2，OC平分∠AOB，则：

（1）CD＝CE；（2）OD＋OE＝2OC·cos；（3）S△ODC＋S△OEC＝OC 2·sincos

证明：方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N

易证△MCD≌△NCE（ASA）

∴CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝2OC·cos

∴S△ODC＋S△OEC＝2S△ONC＝OC 2·sincos

方法二：如图，以CO为一边作∠FCO＝180°－2，交OB于点F．

易证△DCO≌△ECF（ASA）

∴CD＝CE，OD＋OE＝OF＝2OC·cos

∴S△ODC＋S△OEC＝S△OCF＝OC 2·sincos

【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：

（1）CD＝CE；（2）OD－OE＝2OC·cos；（3）S△ODC－S△OEC＝OC 2·sincos

如图，证明同上

4、相似性之“90°”

如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝，则CE＝CD·tan

方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N

易证△MCD∽△NCE，∴，即CE＝CD·tan

方法二：如图，过点C作CF⊥OC，交OB于点F．

易证△DCO∽△ECF，∴，即CE＝CD·tan

方法三：如图，连接DE．

易证D、O、E、C四点共圆

∴∠CDE＝∠COE＝，故CE＝CD·tan

【拓展】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则CE＝CD·tan

如图，证明同上．

例题讲解

例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，在∠BAC所对弧BC上任取一点D，连接AD，BD，CD．

（1）如图1，若∠BAC＝120°，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？

（2）如图2，若∠BAC＝，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？

解：（1）BD＋CD＝AD

如图3，过点A分别向∠BDC的两边作垂线，垂足分别为E、F．

由题意可得∠ADB＝∠ADC＝30°

易证△AEB≌△AFC

∴BD＋CD＝2DE＝AD

⑵BD＋CD＝2ADsin．

如图4，作∠EAD＝∠BAC，交DB的延长线于点E．

则△EBA≌△DCA，所以BE＝CD，AE＝AD．

作AF⊥DE于点F，则∠FAD＝．所以BD＋CD＝DE＝2DF＝2ADsin．

例2如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点F．

⑴求证：PA＝PE；

⑵如图2，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且AD＝10，CD＝8，求AP：PE的值；

⑶如图3，在⑵的条件下，当P滑动到BD的延长线上时，AP：PE的值是否发生变化？

解：⑴如图4，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．

则PM＝PN，∠MPN＝90°，由已知条件可得∠APE＝90°，所以∠APM＝∠EPN，所以△APM≌△EPN．

故AP＝PE．

⑵如图5，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．则PM∥AD，PN∥CD．

所以△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD．可得，所以．

易证△APM∽△EPN，所以．

⑶AP：PF的值不变．[如图，理由同⑵]

进阶训练

1．如图，四边形ABCD被对角线BD分为等腰Rt△ABD和Rt△CBD，其中∠BAD和∠BCD都是直角，另一条对角线AC的长度为2，则四边形ABCD的面积为_________．

答案：四边形ABCD的面积为2．

【提示】易证A、B、C、D四点共圆，则∠BCA＝∠BDA＝∠ABD＝∠ACD，由“全等型之‘90°’”的结论可得S四边形ABCD＝AC2＝2．

2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是BC边的中点，∠EDF＝120°，DE与AB边相交于点E，DF与AC边（或AC边的延长线）相交于点F．

⑴如图1，DF与AC边相交于点F，求证：BE＋CF＝AB；

⑵如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与AC边的延长线交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE＋CF＝（BE－CF）．

答案：略．

【提示】⑴过点D作DG∥AC交AB于点G，证△DEG≌△DFC，从而BE＋CF＝BE＋EG＝BG＝AB．

⑵过点D作DG∥AC交AB于点G，同⑴可得BE－CF＝AB＝DC＝，延长AB至点H，使得BH＝CF，则DH＝DF＝DE，从而BE＋CF＝HE＝DE＝×DN＝2DN，所以BE＋CF＝（BE－CF）．

3．在菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON＋∠BCD＝180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交BC于点E，射线ON交CD于点F，连结EF．

⑴如图1，当∠ABC＝90°时，△OEF的形状是____；

⑵如图2，当∠ABC＝60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；

⑶如图3，在⑴的条件下，将∠MON的顶点移动到AO的中点O'处，∠MO'N绕点O'旋转，仍满足∠MO'N＋∠BCD＝180°，射线O'M交直线BC于点E，射线O'N交直线CD于点F，当BC＝4，且时，求CE的长．

答案：⑴等腰直角三角形；⑵△OEF是等边三角形；⑶线段CE的长为3＋3或3－3．

【提示】⑵由“全等型之‘120°’”的结论可得OE＝OF．⑶两种情况，如图：