中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题17 全等与相似模型-对角互补模型(2份打包,原卷版+教师版)
展开模型1、旋转中的对角互补模型
对角互补模型概念:对角互补模型特指四边形中,存在一对对角互补,而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法:解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种:①过顶点做双垂线,构造全等三角形;②进行旋转的构造,构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-(180°-2α)对角互补模型。
1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)
条件:如图,已知∠AOB=∠DCE=90°,OC平分∠AOB.
结论:①CD=CE,②OD+OE= SKIPIF 1 < 0 OC,③ SKIPIF 1 < 0 .
2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)
条件:如图,已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D,∠AOB=∠DCE=90°,OC平分∠AOB.
结论:①CD=CE,②OE-OD= SKIPIF 1 < 0 OC,③ SKIPIF 1 < 0 .
3)“等边三角形对120°模型”(1)
条件:如图,已知∠AOB=2∠DCE=120°,OC平分∠AOB.
结论:①CD=CE,②OD+OE=OC,③ SKIPIF 1 < 0 .
4)“等边三角形对120°模型”(2)
条件:如图,已知∠AOB=2∠DCE=120°,OC平分∠AOB,∠DCE的一边与BO的延长线交于点D,
结论:①CD=CE,②OD-OE=OC,③ SKIPIF 1 < 0 .
5)“120°等腰三角形对60°模型”
条件:△ABC是等腰三角形,且∠BAC=120°,∠BPC=60°。 结论:①PB+PC= SKIPIF 1 < 0 PA;
6)“2α对180°-2α模型”
条件:四边形ABCD中,AP=BP,∠A+∠B=180° 结论:OP平分∠AOB
注意:①AP=BP,②∠A+∠B=180°,③OP平分∠AOB,以上三个条件可知二推一。
7)“蝴蝶型对角互补模型”
条件:AP=BP,∠AOB=∠APB 结论:OP平分∠AOB的外角。
例1.(2023·黑龙江黑河·八年级期中)Rt△ABC中,AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°,∠MDN绕点D旋转,DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论:①(BE+CF)= SKIPIF 1 < 0 BC,② SKIPIF 1 < 0 ,③ SKIPIF 1 < 0 AD·EF,④AD≥EF其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
例2.(2022辽宁九年级期末模拟)已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA,OB(或它们的反向延长线)相交于点D,E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①),易证:OD+OE= SKIPIF 1 < 0 OC;
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,即在图②,图③这两种情况下,上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明:若不成立,线段OD,OE,OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
例3.(2022秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是过点 SKIPIF 1 < 0 的直线,过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 .(1)问题发现:如图(1),过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是什么?并给予证明.(2)拓展探究:当 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转到如图(2)位置时, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想,并给予证明.
例4.(2022四川宜宾八年级期末)如图1, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ,以 SKIPIF 1 < 0 为顶点作 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 于点E. (1)求证: SKIPIF 1 < 0 ;(2)图1中,若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的长;
(3)如图2, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ,以 SKIPIF 1 < 0 为顶点作 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ,求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积.
例5.(2022湖北省宜城市八年级期末)如图,已知∠AOB=120°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个60°角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E.
(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由;(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由;(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?若成立,请给于证明;若不成立,线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
例6.(2023·山东·九年级专题练习)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,把∠EDF绕点D旋转,使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F.(1)当DF⊥AC时,求证:BE=CF;
(2)在旋转过程中,BE+CF是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由
例7.(2022山东省枣庄市一模)如图,已知 SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 上有一点 SKIPIF 1 < 0 ,将一个 SKIPIF 1 < 0 角的顶点与点 SKIPIF 1 < 0 重合,它的两条边分别与射线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)如图1,当 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直时,请猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系,并说明理由;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由;
(3)如图3,当 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转到点 SKIPIF 1 < 0 位于 SKIPIF 1 < 0 的反向延长线上时,求线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
例8.(2023·浙江金华·校考三模)如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM﹣ON的值不变;(3)△OMN的周长不变;(4)四边形PMON的面积不变,其中正确的序号为_____.
模型2.对角互补模型(相似模型)
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中,相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线,从而证明两个三角形相似.
【常见模型及结论】
1)对角互补相似1
条件:如图,在Rt△ABC中,∠C=∠EOF=90°,点O是AB的中点,
辅助线:过点O作OD⊥AC,垂足为D,过点O作OH⊥BC,垂足为H,
结论:①△ODE∼△OHF;② SKIPIF 1 < 0 (思路提示: SKIPIF 1 < 0 ).
2)对角互补相似2
条件:如图,已知∠AOB=∠DCE=90°,∠BOC= SKIPIF 1 < 0 .
图1 图2
辅助线:作法1:如图1,过点C作CF⊥OA,垂足为F,过点C作CG⊥OB,垂足为G;
结论:①△ECG∼△DCF;②CE=CD· SKIPIF 1 < 0 .(思路提示: SKIPIF 1 < 0 ,CF=OG,在Rt△COG中, SKIPIF 1 < 0 )
辅助线:作法2:如图2,过点C作CF⊥OC,交OB于F;
结论:①△CFE∼△COD;②CE=CD· SKIPIF 1 < 0 .(思路提示: SKIPIF 1 < 0 ,在Rt△OCF中, SKIPIF 1 < 0 )
3)对角互补相似3
条件:已知如图,四边形ABCD中,∠B+∠D=180°。
辅助线:过点D作DE⊥BA,垂足为E,过点D作DF⊥BC,垂足为F;
结论:①△DAE∼△DCF;②ABCD四点共圆。
例1.(2023·成都市·九年级期中)如图所示,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,点P在 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E, SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F.当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的值为( ).
A.1B.2C.3D.4
例2.(2023·河南南阳·九年级统考阶段练习)如图,在等腰直角 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作射线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为射线 SKIPIF 1 < 0 上一点, SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上(不与 SKIPIF 1 < 0 重合)且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .(1)求证: SKIPIF 1 < 0 ;(2)求证: SKIPIF 1 < 0 ;(3)如果 SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 .
例3.(2023·广西河池·校联考一模)综合与实践【问题情境】在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,在直角三角板 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,将三角板的直角顶点 SKIPIF 1 < 0 放在 SKIPIF 1 < 0 斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点处,并将三角板绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转,三角板的两边 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别与边 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【猜想证明】如图 SKIPIF 1 < 0 ,在三角板旋转过程中,当 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点时,试判断四边形 SKIPIF 1 < 0 的形状,并说明理由.【问题解决】如图 SKIPIF 1 < 0 ,在三角板旋转过程中,当 SKIPIF 1 < 0 时,求线段 SKIPIF 1 < 0 的长.
例4.(2023年江西省南昌市月考)如图,两个全等的四边形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,其中四边形 SKIPIF 1 < 0 的顶点O位于四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线交点O.
(1)如图1,若四边形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是正方形,则下列说法正确的有_______.(填序号)
① SKIPIF 1 < 0 ;②重叠部分的面积始终等于四边形 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 ;③ SKIPIF 1 < 0 .
(2)应用提升:如图2,若四边形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是矩形, SKIPIF 1 < 0 ,写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系,并证明.
(3)类比拓展:如图3,若四边形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是菱形, SKIPIF 1 < 0 ,判断(1)中的结论是否依然成立;如不成立,请写出你认为正确的结论(可用 SKIPIF 1 < 0 表示),并选取你所写结论中的一个说明理由.
例5.(2023.辽宁中考模拟)如图,在Rt SKIPIF 1 < 0 ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点O在线段AB上(点O不与点A,B重合),且OB=kOA,点M是AC延长线上的一点,作射线OM,将射线OM绕点O逆时针旋转90°,交射线CB于点N.(1)如图1,当k=1时,判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由;
(2)如图2,当k>1时,判断线段OM与ON的数量关系(用含k的式子表示),并证明;(3)点P在射线BC上,若∠BON=15°,PN=kAM(k≠1),且 SKIPIF 1 < 0 < SKIPIF 1 < 0 ,请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值(用含k的式子表示).
例6.(2023浙江中考二模)(1)特例感知:如图1,已知在Rt SKIPIF 1 < 0 ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,取BC边上中点D,连接AD,点E为AB边上一点,连接DE,作DF⊥DE交AC于点F,求证:BE=AF;
(2)探索发现:如图2,已知在Rt SKIPIF 1 < 0 ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,取BC边上中点D,连接AD,点E为BA延长线上一点,AE=1,连接DE,作DF⊥DE交AC延长线于点F,求AF的长;
(3)类比迁移:如图3,已知在 SKIPIF 1 < 0 ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,取BC边上中点D,连接AD,点E为射线BA上一点(不与点A、点B重合),连接DE,将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F,当AE=4AF时,求AF的长.
课后专项训练
1.(2022·江苏·八年级校联考期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,A,B两点分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=OB,点C在第一象限,OC=3,连接BC,AC,若∠BCA=90°,则BC+AC的值为_________.
2.(2023.广东九年级期中)如图, SKIPIF 1 < 0 为等边三角形,以 SKIPIF 1 < 0 为边向外作 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 ,再以点C为旋转中心把 SKIPIF 1 < 0 旋转到 SKIPIF 1 < 0 ,则给出下列结论:①D,A,E三点共线;② SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ;③ SKIPIF 1 < 0 ;④ SKIPIF 1 < 0 .其中正确的有( ).
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.(2023·山西临汾·统考二模)在菱形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,对角线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 边上的点,且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
4.(2023青岛版九年级月考)如图,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,直角 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 任意旋转.当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的值为 ;当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为 .(用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示)
5.(2023•西城区校级期中)已知,如图,在四边形ABCD中,BC>BA,∠A+∠C=180°,DE⊥BC,BD平分∠ABC,试说明AD=DC.
6.(2023•阜新中考模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,点E,F在AB,AC上,且∠EDF=90°.求证:BE=AF;
(2)点M,N分别在直线AD,AC上,且∠BMN=90°.
①如图2,当点M在AD的延长线上时,求证:AB+AN=AM;
②当点M在点A,D之间,且∠AMN=30°时,已知AB=2,直接写出线段AM的长.
7、(2023.重庆九年级期中)已知:如图,在等边△ABC中,点O是BC的中点,∠DOE=120°,∠DOE绕着点O旋转,角的两边与AB相交于点D,与AC相交于点E.
(1)若OD,OE都在BC的上方,如图1,求证:OD=OE.(2)在图1中,BD,CE与BC的数量关系是 .
(3)若点D在AB的延长线上,点E在线段AC上,如图2,直接写出BD,CE与BC的数量关系是 .
8.(2022山西省吕梁市八年级期末)如图,已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 .
(1)如图1, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的两边分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,试判断线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系,并说明理由. 以下是小宇同学给出如下正确的解法:解: SKIPIF 1 < 0 .
理由如下:如图1,过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,…
请根据小宇同学的证明思路,写出该证明的剩余部分.
(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.(3)若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
①如图3, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的两边分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 时,(1)中的结论成立吗?为什么?线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 有什么数量关系?说明理由.②如图4, SKIPIF 1 < 0 的一边与 SKIPIF 1 < 0 的延长线相交时,请回答(1)中的结论是否成立,并请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 有什么数量关系;如图5, SKIPIF 1 < 0 的一边与 SKIPIF 1 < 0 的延长线相交时,请回答(1)中的结论是否成立,并请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 有什么数量关系.
9.(2022·湖北武汉·八年级校考期末)已知在四边形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)如图1.连接 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 .
(2)如图2,点 SKIPIF 1 < 0 分别在线段 SKIPIF 1 < 0 上,满足 SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 ;
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上,点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上,如图3所示,仍然满足 SKIPIF 1 < 0 ,请写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系,并给出证明过程.
10.(2023·山东青岛·八年级统考期中)[问题]如图①,点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 上一点,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补,则线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有什么数量关系?
[探究]探究一:如图②,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,又因为 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,理由是:_______.
探究二:若 SKIPIF 1 < 0 ,请借助图①,探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系并说明理由.
[结论]点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 上一点,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补,则线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______.
[拓展]已知:如图③,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 .求证: SKIPIF 1 < 0 .
11.(2022·陕西宝鸡·统考二模)问题提出
(1)如图1,四边形ABCD中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补, SKIPIF 1 < 0 ,点A到BC边的距离为17,求四边形ABCD的面积.
问题解决(2)某公园计划修建主题活动区域,如图2所示, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,在BC上找一点E,修建两个不同的三角形活动区域,△ABE区域为体育健身活动区域,△ECD为文艺活动表演区域,根据规划要求, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,设EC的长为x(m),△ECD的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式,并求出△ECD面积的最大值.
12.(2023山东中考模拟)如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ;
(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°<α<60°)角,如图2,求 SKIPIF 1 < 0 的值;(3)在(2)的基础上继续旋转,当60°<α<90°,且使AP:PC=1:2时,如图3, SKIPIF 1 < 0 的值是否变化?证明你的结论.
13.(2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末)已知在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上的一点.过点 SKIPIF 1 < 0 作射线 SKIPIF 1 < 0 ,分别交边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 时,如图1, SKIPIF 1 < 0 _______:
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转到图2位置时, SKIPIF 1 < 0 _______;
(3)若改变点 SKIPIF 1 < 0 到图3的位置,且 SKIPIF 1 < 0 时,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
14.(2023·浙江台州·九年级校考阶段练习)【问题情境】如图①,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点,连结 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的延长线上一点,过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 .易知BE与CF的数量关系 .
【探索发现】如图②,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点,连结 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的延长线上一点,过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 .【问题情境】中的结论还成立吗?请说明理由.【类比迁移】如图③,在等边 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点,点 SKIPIF 1 < 0 是射线 SKIPIF 1 < 0 上一点(不与点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合),将射线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ______.
15.(2023广东中考模拟)我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
(1)概念理解:请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;
(2)问题探究;如图1,在等邻角四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由;
(3)应用拓展;如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时,求出它的面积.
16.(2023年成都市中考模拟)(1)如图,Rt SKIPIF 1 < 0 ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC中点,E、F分别为AB、AC上的动点,且∠EDF=90°.求证:DE=DF;(2)如图2,Rt SKIPIF 1 < 0 ABC中,∠BAC=90°,AC=4,AB=3,AD⊥BC,∠EDF=90°.①求证:DF•DA=DB•DE;②求EF的最小值.
17.(2023浙江省绍兴市九年级期中)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.
(1)当DP⊥AB时,求CQ的长; (2)当BP=2,求CQ的长.
18.(2023·湖北·九年级专题练习)如图,四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形,点P是对角线AC上一动点(不与A、C重合),连接 SKIPIF 1 < 0 ,过点P作 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 于点E,已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 的长为x.
(1) SKIPIF 1 < 0 ___________;当 SKIPIF 1 < 0 时,求 SKIPIF 1 < 0 的值;(2)试探究: SKIPIF 1 < 0 是否是定值?若是,请求出这个值;若不是,请说明理由;(3)当 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形时,请求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
19.(2023秋·山西忻州·九年级校考期末)综合与实践
问题情境:在学习了三角形的相似后,同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究.
猜想推理:(1)如图1,在等边 SKIPIF 1 < 0 中,D为 SKIPIF 1 < 0 边上一点,E为 SKIPIF 1 < 0 边上一点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ______.问题解决:(2)如图2, SKIPIF 1 < 0 是等边三角形,D是 SKIPIF 1 < 0 的中点,射线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 于点E,F,且 SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 .(3)如图3, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,D是 SKIPIF 1 < 0 的中点,射线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 于点E,F,且 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
20.(2023广东深圳三模试题)(1)【探究发现】如图1,正方形 SKIPIF 1 < 0 的对角线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ,在正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转的过程中,边 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,边 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .证明: SKIPIF 1 < 0 ;
(2)【类比迁移】如图2,矩形 SKIPIF 1 < 0 的对角线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .在矩形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转的过程中,边 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,边 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的长;
(3)【拓展应用】如图3,四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 都是平行四边形,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是直角三角形.在 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转的过程中,边 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,边 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重叠部分的面积是 SKIPIF 1 < 0 的面积的 SKIPIF 1 < 0 时,请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长.
中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题14 全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(2份打包,原卷版+教师版): 这是一份中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题14 全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(2份打包,原卷版+教师版),文件包含中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题14全等与相似模型-一线三等角K字模型原卷版doc、中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题14全等与相似模型-一线三等角K字模型教师版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共71页, 欢迎下载使用。
中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题12 全等模型-角平分线模型(2份打包,原卷版+教师版): 这是一份中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题12 全等模型-角平分线模型(2份打包,原卷版+教师版),文件包含中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题12全等模型-角平分线模型原卷版doc、中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题12全等模型-角平分线模型教师版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共62页, 欢迎下载使用。
中考数学二轮复习几何模型重点突破讲练专题22 对角互补模型(2份打包,原卷版+教师版): 这是一份中考数学二轮复习几何模型重点突破讲练专题22 对角互补模型(2份打包,原卷版+教师版),文件包含中考数学二轮复习几何模型重点突破讲练专题22对角互补模型原卷版doc、中考数学二轮复习几何模型重点突破讲练专题22对角互补模型教师版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共10页, 欢迎下载使用。