2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型31 平行四边形——梯子模型-原卷版+解析

这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型31 平行四边形——梯子模型-原卷版+解析，共12页。

【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,P为AB的中点。
◎结论：线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值。

【证明】如图在 Rt△AOB 中，点Q是中点，∴OQ=AB.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= ＝.
若OC要取得最大值，则 O，Q，C三点共线，即 OC=OQ+QC，即 OC=AB+。
1． (2023·河南·开封市第十三中学八年级期中）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是_____．
1． (2023·广东·陆河县水唇中学八年级阶段练习）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
2． (2023·全国·八年级专题练习）如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，求证：O，Q，C三点共线时，取得最大值．
1．（2015·江苏徐州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．
2．在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙20米，如图．
（1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升5米（云梯长度不变），那么云梯底部在水平方向应滑动多少米？
平行四边形
模型（三十一）——梯子模型
【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,P为AB的中点。
◎结论：线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值。

【证明】如图在 Rt△AOB 中，点Q是中点，∴OQ=AB.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= ＝.
若OC要取得最大值，则 O，Q，C三点共线，即 OC=OQ+QC，即 OC=AB+。
1． (2023·河南·开封市第十三中学八年级期中）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【详解】取中点，连接、、，
，
．
在中，利用勾股定理可得．
在中，根据三角形三边关系可知，
当、、三点共线时，最大为．
故选．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
2． (2023·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是_____．
【答案】2+
【分析】取AC的中点P，连接OP，BP，OB，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OP的长．在Rt△ABP中，由勾股定理得到BP的长．在△OBP中，根据三角形三边关系定理得到OB≤OP+BP，当O、P、B三点共线时取等号，从而得到OB的最大值．
【详解】取AC的中点P，连接OP，BP，OB，则OP=AC=2．在Rt△ABP中，BP=．
在△OBP中，OB≤OP+BP，当O、P、B三点共线时取等号，∴OB的最大值为．
故答案为．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的斜边的一半和勾股定理．解题的关键是构造三角形OPB．
1． (2023·广东·陆河县水唇中学八年级阶段练习）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由题意得： =20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．
（1）
解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
（米）
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）
由题意得： =20米，
（米）
则：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
2． (2023·全国·八年级专题练习）如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，求证：O，Q，C三点共线时，取得最大值．
【答案】见解析
【分析】根据三角形三边关系和勾股定理判定即可；
【详解】如图．
在中，，
∴．
在中，由勾股定理得．
∵，
∴当O，Q，C三点共线，取得最大值，，即；
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
1．（2015·江苏徐州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．
【答案】（1）①点C的坐标为（－3，9）；②滑动的距离为6（﹣1）cm；（2）OC最大值12cm．
【分析】（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，证得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：
在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则sin∠BAO=
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
又∵在Rt△ACB中，∠CBA=60°，
∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，BC=AB·sin30°=6
∴BD=BC·sin30°=3，CD=BC·cs30°=3，
∴OD=OB+BD=9
∴点C的坐标为（﹣3，9）；
②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：
AO=12×cs∠BAO=12×cs30°=6．
∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12
在△A'O B'中，由勾股定理得，
（6﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（﹣1），
∴滑动的距离为6（﹣1）；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：
则OE=﹣x，OD=y，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵∠AEC=∠BDC=90°，
∴△ACE∽△BCD，
∴，即，
∴y=﹣x，
OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，
∴当|x|取最大值时，即C到y轴距离最大时，OC2有最大值，即OC取最大值，
如图，即当C'B'旋转到与y轴垂直时．此时|x|=6，OC=，
故点C与点O的距离的最大值是12cm．
考点：相似三角形综合题．
2．在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙20米，如图．
（1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升5米（云梯长度不变），那么云梯底部在水平方向应滑动多少米？
【答案】（1）15米；（2）5米．
【分析】（1）利用勾股定理可得，再代入数计算即可；
（2）根据题意表示出EA长，再在直角△EDB中利用勾股定理计算出BD长，进而可得CD长．
【详解】解：（1）由题意得：米，米，
则（米），
即这个梯子的顶端距离地面15米，
（2）由题意得：米，米，
则（米），
因为米，
所以米，
即云梯的底部在水平方向应滑动5米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理得应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．