专题03 对角互补的三种模型（原卷版）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题03 对角互补的三种模型

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.

模型一、含90°的全等型

1.如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.

则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

2.如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.

则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.

例1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　　．

【变式训练1】如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形

OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定

值，并求这个定值．

【变式训练2】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，

另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．

【变式训练3】 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A（0，2），B点在轴上，对角线AC、BD交于点M，，则点C的坐标为              .

模型二、 含60°与120°的全等型

如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.

则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

例.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若∠A＝60º，∠EDF＋∠A＝180º，求证：.

【变式训练】在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；

（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，

求证：DE＝DF；

（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.

模型三、 相似型

例.【提出问题】

（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．

【类比探究】

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．

图1                   图2                    图3

课后训练

1．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则BD的长为_________．

2、如图，在△ABC中,∠ABC＝60°,AB＝＝8，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD,且∠DAC＝120°,则BD的长为________.

3.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝               .

4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AD、CD上的点，若AE＝4，CF＝3，且OE⊥OF，求EF的长.

6.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.

（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；

（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.