2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.4 几何法求空间角（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.4 几何法求空间角（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了线线角，线面角，二面角等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 线线角
【例1】 (2023·全国·模拟预测）已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·黑龙江）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
考点二 线面角
【例2-1】 (2023·全国·高三专题练习（文））如图，已知正四棱锥底面边长为2，侧棱长为4，为侧棱中点，则直线与底面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】 (2023·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝DC＝CB＝AB，E是BP的中点．
(1)求证：EC∥平面APD；
(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值；
2． (2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，，M为PC的中点.
(1)求证：平面PAD；
(2)设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.
3． (2023·浙江省江山中学模拟预测）如图，已知三棱台中，点在平面内的射影D在上，，，，M，N分别为、的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)若，求直线与平面所成角的大小．
考点三 二面角
【例3-1】 (2023·浙江·杭师大附中模拟预测）四面体中，，则二面角的平面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】． (2023·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【一隅三反】
1． (2023·广东广州·三模）如图，在三棱锥中，平面平面平面.
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的大小.
2．（2022·湖南）如图，在三棱锥中，.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
3． (2023·江苏·如皋市第一中学）已知矩形，E，F分别是线段中点，底面．
(1)若棱上一点G满足，求证：面；
(2)若，求二面角的正切值．
7.4 几何法求空间角（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 线线角
【例1】 (2023·全国·模拟预测）已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
取AB的中点F，连接EF，CF，易知，则∠ECF（或其补角）为直线与CE所成角．不妨设，则，，，由余弦定理得，即直线与CE所成角的余弦值为．故选：C．
【一隅三反】
1． (2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取的中点，连接，，，，
由正方体的性质可知且，所以为平行四边形，
所以，
所以异面直线与所成的角的平面角为，
又，
则，，
则，
所以，
故选：C．
2． (2023·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设底面圆心为O，连接PO，OC，取PO的中点E，连接DE，CE，则，
且，所以为AB与CD所成的角（或其补角）.
由题意知，，所以，所以.
由题意知，，，AB，平面POB，
所以平面POB.又平面POC，所以平面平面POB，
又平面平面，平面POB且，
所以平面POC，因为平面POC，
所以.又，所以，
所以.
故选:B.
3．（2022·黑龙江）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作的中点，连接，作的中点，连接、,
即为异面直线AM与CN所成的角，
由已知条件得，则,,
由余弦定理得,
在△中，有余弦定理可知,
即,解得，
故选：D.
考点二 线面角
【例2-1】 (2023·全国·高三专题练习（文））如图，已知正四棱锥底面边长为2，侧棱长为4，为侧棱中点，则直线与底面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作底面与于，连接.因为正四棱锥底面边长为2，故，又侧棱长为4，故.又为侧棱中点，故到底面的距离为.又,由余弦定理有,故直线与底面所成角的正弦值为
故选：D
【例2-2】 (2023·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将棱台补全为如下棱锥，
由，，，易知：，，
由平面，平面，则，，
所以，，故，
所以，若到面的距离为h，又，
则，可得，
综上，与平面所成角，则，即.故选：A
【一隅三反】
1． (2023·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝DC＝CB＝AB，E是BP的中点．
(1)求证：EC∥平面APD；
(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值；
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)如图，取中点，连接.因为是的中点，所以，又，故，所以四边形是平行四边形，故，又因为平面，平面，所以∥平面
(2)取中点，连接，因为，所以，因为平面平面于，所以平面，故是在平面内的投影.所以是与平面所成角.因为四边形中，，所以四边形是直角梯形，又，设，则，在中，易得，所以，，又因为，所以是等腰直角三角形，.所以，故在中，
2． (2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，，M为PC的中点.
(1)求证：平面PAD；
(2)设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)取PD的中点E，连接EM，AE，则且，
而，，则，又，
所以，，从而四边形ABME是平行四边形，故.
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.
(2)
当N为AE的中点时，面PBD，理由如下：
（法一）面ABCD，面ABCD，
，又，，平面PAD，
所以面PAD，而面PAD，则，
又，E是PD的中点，即，
而，面ABME，
所以面ABME，在面ABME中作交AE于点N，
所以，又，面PBD，
所以面PBD，易知：，而，，
，即，而，
N为AE的中点时，面PBD.
作于G，则面，是BN与平面ABCD所成角，
因为，，
，则.
即直线BN与平面AD所成角的正弦值为.
（法二）易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).
设，则，，.
因为平面PBD，
故，可得.
，又平面的法向量为，
设BN与平面ABCD所成角为，则.
即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为.
3． (2023·浙江省江山中学模拟预测）如图，已知三棱台中，点在平面内的射影D在上，，，，M，N分别为、的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)若，求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：连接，因为，分别为、的中点，所以，
又平面，平面，故直线平面.
(2)
由（1）知，只需要求直线与平面所成角的大小，
过作交于，连，，所以，所以四点、、、共面，
因为在三棱台中，，因为，所以，所以，
因为点在平面内的射影D在上，所以平面，
因为平面，所以，因为，且平面，
所以平面，即平面，
在直角三角形中，，，所以，，
在直角三角形中，，则，
过作交延长线于点，连接，同样可证平面，
且，，所以，
所以到平面的距离等于，故即为所求，
在中，，故，
即直线与平面所成角的大小为，
从而直线与平面所成角的大小.
考点三 二面角
【例3-1】 (2023·浙江·杭师大附中模拟预测）四面体中，，则二面角的平面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】过点A作交于点M，过点M作交于点N，如图，
则是二面角的平面角，设，则，
在和中，由余弦定理，，
所以，
故选：C
【例3-2】． (2023·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)
连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，
又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，所以.
(2)
过点作，连接，与，分别交于点，点.因为分别是，的中点，所以，
所以，是平面与平面的交线.由是等边三角形，是的重心，
知点，点分别是线段，的中点.平面，平面，所以，
又，平面，，则平面，所以平面，
又平面，于是，，为平面与平面所成二面角的平面角.
由等边三角形的边长为，可得，，，，
，在中，由余弦定理，得，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【一隅三反】
1． (2023·广东广州·三模）如图，在三棱锥中，平面平面平面.
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)
作于，因为平面平面，平面平面，平面，则平面，
又平面，则，又因为平面，平面，则，又平面，
，则平面；
(2)
作于，作于，连接，由（1）知平面，平面，则，
又面，，则面，又面，则，则即为二面角的平面角.又平面，则，不妨设，则，，又由（1）知平面，
平面，则，则，平面，平面，则，则，
，则，则，即二面角为.
2．（2022·湖南）如图，在三棱锥中，.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）∵，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴平面⊥平面．
取的中点，连接，则，由（1）知平面平面，平面平面，平面，∴平面．又平面.所以.作，垂足为点，连接，因为,平面.所以平面.又平面则，则为二面角的平面角．设，则．由题意得，中，，∴二面角的平面角的正弦值为.
3． (2023·江苏·如皋市第一中学）已知矩形，E，F分别是线段中点，底面．
(1)若棱上一点G满足，求证：面；
(2)若，求二面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：作为的中点，在上取点，使点满足，连接、、、；是的中点，在梯形中，，，，，，，在中，，，且，四边形为平行四边形，，面，面，面．
（2）解：因为，，所以，又为的中点，所以，又为矩形，所以、为等腰直角三角形，所以，，所以，即，又底面，底面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，即二面角的正切值为.