2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 4.1 等差数列（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 4.1 等差数列（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了等差数列基本量的计算，等差中项，前n项和的性质，等差数列定义及其运用，等差数列的实际应用等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 等差数列基本量的计算
【例1】 (2023·福建三明）已知等差数列{}的前n项和为，且，，则＝（ ）
A．6B．10C．12D．20
1.方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
2.整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
3.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
温馨提示
【一隅三反】
1． (2023·陕西汉中）已知等差数列的前项和为，，，则等差数列的公差是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·内蒙古呼和浩特）已知在等差数列中，，则（ ）
A．30B．39C．42D．78
3． (2023·陕西·西安工业大学附中）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20B．23C．24D．28
考点二 等差中项
【例2-1】 (2023·北京通州·一模）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．60B．70C．120D．140
【例2-2】 (2023·浙江杭州·二模）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．12B．15C．18D．21
【例2-3】 (2023·安徽滁州）已知是公差不为零的等差数列，若，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【一隅三反】
1． (2023·河北石家庄·二模）等差数列的前n项和记为，若，则（ ）
A．3033B．4044C．6066D．8088
2． (2023·河南平顶山）已知为正项等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．22B．20C．16D．11
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足且，则（ ）
A．-3B．3C．D．
考点三 前n项和的性质
【例3-1】 (2023·北京石景山）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．36B．45C．63D．75
【例3-2】（1） (2023·江西·临川一中）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（ ）
A．B．C．D．
（2） (2023·四川师范大学附属中学二模（理））设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A． B． C． D．3
【例3-3】 (2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
【例3-4】（1） (2023·内蒙古赤峰）已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时正整数n的值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
（2） (2023·重庆·二模）（多选）设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．当时，取得最小值
C．D．当时，的最小值为29
1.等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
2.在等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列；eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列
温馨提示
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．-3B．-12C．-21D．-30
2． (2023·全国·高三）若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·全国·高三专题练习）（多选）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则（ ）
A．d<0 B．a16<0 C．Sn≤S15 D．当且仅当n≥32时，Sn<0
6． (2023·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
考点四 等差数列定义及其运用
【例4-1】 (2023·全国·高三专题练习）（多选）下列数列是等差数列的是（ ）
A．0，0，0，0，0，…B．1，l，111，111l，…
C．－5，－3，－1，1，3，…D．1，2，3，5，8，…
【例4-2】 (2023·全国·高三专题练习）在数列中，有,证明：数列为等差数列，并求其通项公式.
【例4-3】 (2023·四川·泸县五中模拟预测（理））下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）
A．B．
C．通项公式D．
【例4-4】 (2023·全国·高三专题练习）已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
等差数列的判定与证明的方法
方法
解读
适合题型
定义法
若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中
证明问题
等差中项法
2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填
空题中的
判定问题
前n项和公式
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
温馨提示
【一隅三反】
1． (2023·全国·课时练习）（多选）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高二课时练习）（多选）在数列中，，且对任意大于的正整数，点在直线上，则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为 D．数列的通项公式为
3． (2023·全国·课时练习）（多选）下列数列中是等差数列的是（ ）
A．，a， B．2，4，6，8，…，，
C．，，， D．
4． (2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，当n≥2时，.求证:数列是等差数列.
考点五 等差数列的实际应用
【例5】 (2023·海南·文昌中学高三阶段练习）《周髀算经》是中国古代天文学与数学著作，其中有关于24节气的描述，将一年分为24个节气，如图所示，已知晷长指太阳照射物体影子的长度，相邻两个节气的晷长变化量相同（即每两个相邻节气晷长增加或减小量相同，其中冬至晷长最长，夏至晷长最短，从夏至到冬至晷长逐渐变大，从冬至到夏至晷长逐渐变小.周而复始，已知冬至晷长为13.5尺，芒种晷长为2.5尺，则一年中秋分这个节气的晷长为（ ）
A．6.5尺B．7.5尺C．8.5尺D．95尺
【一隅三反】
1. (2023·江苏南通·模拟预测）《张邱建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）".若该女子第一天织布两尺，前二十日共织布六十尺，则该女子第二十日织布（ ）
A．三尺B．四尺C．五尺D．六尺
2． (2023·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，…，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ）
A．189B．252
C．324D．405
3． (2023·黑龙江·哈九中三模（理））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第17项为（ ）
A．139B．160C．174D．188
4.1 等差数列（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 等差数列基本量的计算
【例1】 (2023·福建三明）已知等差数列{}的前n项和为，且，，则＝（ ）
A．6B．10C．12D．20
【答案】B
【解析】因为，，所以解得，
所以，故选：B
1.方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
2.整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
3.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
温馨提示
【一隅三反】
1． (2023·陕西汉中）已知等差数列的前项和为，，，则等差数列的公差是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由题意可得，解得.故选：D.
2． (2023·内蒙古呼和浩特）已知在等差数列中，，则（ ）
A．30B．39C．42D．78
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 ，则 ，解得 ，
故，故选：B
3． (2023·陕西·西安工业大学附中）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20B．23C．24D．28
【答案】D
【解析】因为是等差数列，所以，又，所以公差为，
，故选：D.
考点二 等差中项
【例2-1】 (2023·北京通州·一模）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．60B．70C．120D．140
【答案】B
【解析】在等差数列中，，则 ，故，选：B
【例2-2】 (2023·浙江杭州·二模）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．12B．15C．18D．21
【答案】C
【解析】由等差中项的性质得 ， ，即 ，
，故选：C.
【例2-3】 (2023·安徽滁州）已知是公差不为零的等差数列，若，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】由等差数列的性质得，所以,即故选:A
【一隅三反】
1． (2023·河北石家庄·二模）等差数列的前n项和记为，若，则（ ）
A．3033B．4044C．6066D．8088
【答案】C
【解析】由等差数列知，，所以，
故选：C
2． (2023·河南平顶山）已知为正项等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．22B．20C．16D．11
【答案】A
【解析】由题意设正项等差数列的首项为 ，公差为 故由得： ，
即，故，故选：A
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足且，则（ ）
A．-3B．3C．D．
【答案】B
【解析】,∴数列是以2为公差的等差数列，
，
，，，故选：B.
考点三 前n项和的性质
【例3-1】 (2023·北京石景山）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．36B．45C．63D．75
【答案】B
【解析】因为为等差数列的前项和，所以成等差数列，即成等差数列，
所以，解得，故选：B.
【例3-2】（1） (2023·江西·临川一中）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（ ）
A．B．C．D．
（2） (2023·四川师范大学附属中学二模（理））设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）对于等差数列的前n项和满足，知道，故.
故选：B.
（2）由等差数列的前项和公式满足形式，设，则，故.故选：B.
【例3-3】 (2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设的公差为d，∵∴，
即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒
【例3-4】（1） (2023·内蒙古赤峰）已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时正整数n的值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
（2） (2023·重庆·二模）（多选）设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．当时，取得最小值
C．D．当时，的最小值为29
【答案】（1）B（2）ABC
【解析】（1）设公差为，有，解得，，有，当，可得，可知当时，，故取最大值时正整数n的值为10．故选：B
（2）根据题意，由.故A正确；
因为，故当时，，，当时，，当或时，取得最小值，故B正确；由于，故C正确；
因为，，所以由，可得：，因此n的最小值为，故D错误.故选：ABC
1.等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
2.在等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列；eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列
温馨提示
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．-3B．-12C．-21D．-30
【答案】D
【解析】由等差数列的性质知：成等差数列，
∴，则，可得.
同理：，即，得.故选：D
2． (2023·全国·高三）若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为等差数列和的前n项的和分别是和，且，
所以.故选：B.
3． (2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，.故选：C.
4． (2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得：，又，，.选：B.
5． (2023·全国·高三专题练习）（多选）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则（ ）
A．d<0 B．a16<0 C．Sn≤S15 D．当且仅当n≥32时，Sn<0
【答案】ABC
【解析】对于A，设等差数列{an}的公差为d，由S10＝S20，得10a1＋d＝20a1＋d，化简得a1＝d.因为a1>0，所以d<0，故A正确；
对于B，因为a16＝a1＋15d＝d＋15d＝d，又d<0，所以a16<0，故B正确；
对于C，因为a15＝a1＋14d＝d＋14d＝－d>0，a16<0，所以S15最大，即Sn≤S15，故C正确；
对于D，，若Sn<0，又d<0，则n>30，故当且仅当n≥31时，Sn<0，故D错误．故选：ABC
6． (2023·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【解析】由，得，
因为是等差数列，所以，，，
，，，
所以，
使得的正整数n的最小值为.故选: D.
考点四 等差数列定义及其运用
【例4-1】 (2023·全国·高三专题练习）（多选）下列数列是等差数列的是（ ）
A．0，0，0，0，0，…B．1，l，111，111l，…
C．－5，－3，－1，1，3，…D．1，2，3，5，8，…
【答案】AC
【解析】根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而BD中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数，故选：AC．
【例4-2】 (2023·全国·高三专题练习）在数列中，有,证明：数列为等差数列，并求其通项公式.
【答案】证明见解析，
【解析】设数列的前n项和为，则已知转化为
当时,，
上述两式相减并整理，得.
又因为时，，适合上式，所以.
从而得到，所以，
所以数列为等差数列，且其通项公式为.
【例4-3】 (2023·四川·泸县五中模拟预测（理））下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）
A．B．
C．通项公式D．
【答案】C
【解析】对于A：数列是等差数列，
∴A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；
对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C：∵，∴，∴，
∴数列是等差数列，反之若为等差数列，则，
此时不一定为2，所以必要性不成立，
∴C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；
对于D：若数列是等差数列，则，
∴成立，
反之当，，，时，满足，
但不是等差数列，
∴D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．故选：C．
【例4-4】 (2023·全国·高三专题练习）已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】D
【解析】因为不全相等的实数，，成等比数列，
所以该等比数列的公比，显然有，，
A：若，，成等差数列，显然成立，即，
化简为，解得，或（舍去），所以假设成立，故，，有可能是等差数列；
B：若，，成等差数列，显然成立，即，
化简为：，解得：，显然或，所以假设成立，故，，有可能成等差数列；
C：若，，成等差数列，显然，即，
化简为：，解得，因为，所以，因此假设成立，
故，，有可能 成等差数列；
D：若，，成等差数列，显然，即，
化简为：，解得，而，因此假设不成立，故，，一定不可能成等差数列，
故选：D
等差数列的判定与证明的方法
方法
解读
适合题型
定义法
若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中
证明问题
等差中项法
2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填
空题中的
判定问题
前n项和公式
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
温馨提示
【一隅三反】
1． (2023·全国·课时练习）（多选）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】设等差数列的公差为d，当时，.
对于A，，为常数，
因此是等差数列；故A正确
对于B，，不为常数，
因此不是等差数列；故B错误
对于C，，为常数，
因此是等差数列；故C正确
对于D，，为常数，
因此是等差数列.故D正确
故选：ACD.
2． (2023·全国·高二课时练习）（多选）在数列中，，且对任意大于的正整数，点在直线上，则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为 D．数列的通项公式为
【答案】BD
【解析】点在直线上，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确；
，D正确；，C错误；
，不是等差数列，A错误.
故选：BD.
3． (2023·全国·课时练习）（多选）下列数列中是等差数列的是（ ）
A．，a， B．2，4，6，8，…，，
C．，，， D．
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由于，故是等差数列，正确；
对于B选项，2，4，6，8，…，，中，，是等差数列，正确；
对于C选项，因为，，又，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，故不是等差数列；
对于D选项，由得，满足等差数列定义.
故选：ABD.
4． (2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，当n≥2时，.求证:数列是等差数列.
【答案】证明见解析；
【解析】当n≥2时，，因，显然，否则，由此可得，矛盾，
两边同时除以，得，而=1，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
考点五 等差数列的实际应用
【例5】 (2023·海南·文昌中学高三阶段练习）《周髀算经》是中国古代天文学与数学著作，其中有关于24节气的描述，将一年分为24个节气，如图所示，已知晷长指太阳照射物体影子的长度，相邻两个节气的晷长变化量相同（即每两个相邻节气晷长增加或减小量相同，其中冬至晷长最长，夏至晷长最短，从夏至到冬至晷长逐渐变大，从冬至到夏至晷长逐渐变小.周而复始，已知冬至晷长为13.5尺，芒种晷长为2.5尺，则一年中秋分这个节气的晷长为（ ）
A．6.5尺B．7.5尺C．8.5尺D．95尺
【答案】B
【解析】冬至到夏至晷长记为数列，数列为等差数列，公差，
冬至晷长，若芒种晷长所以，所以夏至晷长
夏至到冬至晷长记为数列{}，数列{}为等差数列，公差，夏至晷长秋分这个节气的晷长故选：B
【一隅三反】
1. (2023·江苏南通·模拟预测）《张邱建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）".若该女子第一天织布两尺，前二十日共织布六十尺，则该女子第二十日织布（ ）
A．三尺B．四尺C．五尺D．六尺
【答案】B
【解析】用表示该女子第天织布尺寸，则，，由，得，．故选：B．
2． (2023·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，…，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ）
A．189B．252
C．324D．405
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由，，
得，解得：，所以.故选：D.
3． (2023·黑龙江·哈九中三模（理））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第17项为（ ）
A．139B．160C．174D．188
【答案】A
【解析】由题意可知，设该数列为，数列的前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，
则数列满足，，
.
所以.故选：A.