2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 8.4 单调性（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 8.4 单调性（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了性质法，图像法，导数法，已知单调性求参数等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 性质法
【例1-1】 (2023·辽宁大连·高三学业考试）下列函数在R上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【例1-2】 (2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
2 (2023江西）.下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3 (2023山东）函数的单调递增区间是________
考点二 图像法
【例2-1】 (2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和D． 和
【例2-2】 (2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）下列关于函数的结论，正确的是（ ）
A．f(x)在(0，+∞)上单调递增 B．f(x)在(0，+∞)上单调递减
C．f(x)在(-∞，0]上单调递增 D．f(x)在(-∞，0]上单调递减
2． (2023·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习（理））函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是B．递减区间是
C．递增区间是D．递增区间是
考点三 导数法
【例3】 (2023·全国课时练习）求下列函数的单调区间.
（1）f(x)＝x3－3x＋1；（2）y＝x＋.（3）3；（4）y＝ln(2x＋3)＋x2.
【一隅三反】
(2023·全国）求下列函数的单调区间
（1）f(x)＝；（2）y＝x2－ln x．（3）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；（4）f(x)＝sin x－x(0（5）；（6）．
考点四 已知单调性求参数
【例4-1】 (2023·河南濮阳·一模（理））“”是“函数是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1．（2022·江西）已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·河北·高三阶段练习）函数的最大值为2，且在上单调递增，则a的范围是______，的最小值为______.
3． (2023·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是________．
4． (2023·全国·高三专题练习（文））若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．
5． (2023·全国·高三专题练习（理））函数在上单调递减，则实数的取值范围是________.
8.4 单调性（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 性质法
【例1-1】 (2023·辽宁大连·高三学业考试）下列函数在R上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误；
在R上为增函数，选项B正确；
在上单调递减，故选项C错误；
在单调递减，在单调递减，故选项D错误.故选：B.
【例1-2】 (2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在函数中，由得或，则的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
于是得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.故选：B
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，解得，
令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是故选：C
2 (2023江西）.下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A:因为为减函数，所以为增函数；
B: 对称轴为，图象开口向上，所以在上为增函数；
C:因为在定义域上为减函数，所以在定义域上为增函数；
D:当时，为减函数，当时，为减函数，且，
所以在定义域上为减函数.故选:D.
3 (2023山东）函数的单调递增区间是________
【答案】
【解析】
当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，故答案为：
考点二 图像法
【例2-1】 (2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和D． 和
【答案】B
【解析】
如图所示：
函数的单调递增区间是和．
故选：B.
【例2-2】 (2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直接通过解析式，结合二次函数图象得：递增，在递减，故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）下列关于函数的结论，正确的是（ ）
A．f(x)在(0，+∞)上单调递增 B．f(x)在(0，+∞)上单调递减
C．f(x)在(-∞，0]上单调递增 D．f(x)在(-∞，0]上单调递减
【答案】D
【解析】由题意可得，
作出函数f(x)的图像如图所示，
由图可知，函数f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增故选：D.
2． (2023·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习（理））函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，的单调递增区间是.故选：B.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是B．递减区间是
C．递增区间是D．递增区间是
【答案】D
【解析】因为函数，作出函数的图象，
如图所示：
由图可知，递增区间是，递减区间是和．故选：D．
考点三 导数法
【例3】 (2023·全国课时练习）求下列函数的单调区间.
（1）f(x)＝x3－3x＋1；（2）y＝x＋.（3）3；（4）y＝ln(2x＋3)＋x2.
【答案】（1）增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1)；
（2）增区间为(－∞，-)和(，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，).
（3）单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)；
（4）单调递增区间为，，单调递减区间为.
【解析】（1）＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
令>0，得x>1，或x<－1.令<0，得－1∴f(x)的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1).
（2）＝1－＝，
由>0，解得x<－，或x>.由<0，解得－∴函数的增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，).
（3）函数的定义域为R.
y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2.
所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)．
令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.所以函数的单调递减区间为(0，2)．
函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.y′＝＋2x＝＝.
令y′＞0，解得－＜x＜－1或x＞－.所以函数的单调递增区间为，.
令y′＜0，解得－1＜x＜－，所以函数的单调递减区间为.
【一隅三反】
(2023·全国）求下列函数的单调区间
（1）f(x)＝；（2）y＝x2－ln x．（3）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；（4）f(x)＝sin x－x(0（5）；（6）．
【答案】（1）单调递增区间是(－∞，1－)和(1＋，＋∞)；单调递减区间是(1－，1)和(1，1＋) ；（2）单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1) ．
（3）增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2) ；
（4）单调递减区间为(0，π) ．
（5）函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；
（6）单调递增区间为（），单调递减区间（）.
【解析】（1）f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，
f′(x)＝＝＝．
令f′(x)>0，解得x>1＋或x<1－；令f′(x)<0，解得1－所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1－)和(1＋，＋∞)；单调递减区间是(1－，1)和(1，1＋)．
（2）函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝．
若y′>0，即解得x>1；若y′<0，即解得0故函数y＝x2－ln x的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)．
（3）＝6x2＋6x－36．由>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由<0解得 －3（4）＝cs x－1．因为0（5）由题得函数的定义域为.，
令，即，解得；
令，即，解得或，
故所求函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．
（6）由题得函数的定义域为.
令，得，即（），
令，得，即（），
故的单调递增区间为（），单调递减区间（）．
考点四 已知单调性求参数
【例4-1】 (2023·河南濮阳·一模（理））“”是“函数是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意，函数是在上的单调函数，
由于在上递增，所以在上递增，
所以且，即.
所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.故选:B
【一隅三反】
1．（2022·江西）已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若是上的增函数，则应满足，解得，即.故选：C
2． (2023·河北·高三阶段练习）函数的最大值为2，且在上单调递增，则a的范围是______，的最小值为______.
【答案】 2
【解析】注意到是减函数，
∴在上单调递减，
而的递减区间是，
∴，.
∵的最大值为2，
∴的最小值为，
即，，
令，，，
∴在处取得最小值2.
故答案为：，2
3． (2023·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】，因为函数在区间上为增函数，所以，
解得：.故答案为：
4． (2023·全国·高三专题练习（文））若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．
【答案】(－∞，0]
【解析】函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．
故答案为：(－∞，0].
5． (2023·全国·高三专题练习（理））函数在上单调递减，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】①时，在R上单调递减
∴满足条件；
②时，
对称轴为，解得.
由①②得，故的取值范围是.
故答案为：.