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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.1 角与弧度示范课课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.1 角与弧度示范课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了11任意角，12弧度制，习题71等内容，欢迎下载使用。
7 . 1 角与弧度
我们已经学习过一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角. 利用这些角，我们已能表示圆周上某些点 P. 但要表示圆周上周而复始地运动着的点，仅有这些角是不够的. 如点 P 绕圆心旋转一周半，所在位置怎样用角来表示?
在生活中，也有类似情形. 如“游乐园的摩天轮旋转了两周半”为了精确地刻画旋转程度，我们需要引入一个角，来量化“两周半”.
● 旋转两周半是转了怎样的一个角?
一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边.
如图 7-1-1所示，射线 OA 绕端点O，按头所示方向旋转到OB 便形成角α. 点O是角α 的顶点，射线 OA 和 OB 分别是α 的始边和终边. 因此，361°就是旋转一周后紧接着又旋转了1°所形成的角；720°就是旋转两周所形成的角；旋转两周半，就是旋转了 900°的角.
(2) 本质： 将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.
(3) 应用：可以定义任意的旋转角.
对于两个任意角 α，β，将角 α 的终边旋转角β (当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当 β是零角时不旋转)，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作 α＋β. 射线 OA绕端点O 分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角.角 α 的相反角记为－α，于是有α－β＝α＋(－β).
角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴_______，建立平面直角坐标系，这样，角的终边(除端点外) 在第几象限，就说这个角是______________.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.
(1) －300°，－150°，－60°，60°，210°，300°，420°角分别是第几象限角?其中哪些角的终边相同?(2) 具有相同终边的角彼此之间有什么关系?你能写出与 60°角终边相同的角的集合吗?(图 7-1-4)
(1) 定义：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内.(2) 表示：集合 S＝{β∣β＝α＋k·360°，k∈Z}.(3) 本质：表示成角 α 与整数个周角的和.
反过来，若角α，β满足S＝{β∣β＝α＋k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角?
提示：当角 α，β 满足S＝{β∣β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角 α，β 终边相同.
在0°到 360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
(1) 650°； (2) －150°； (3) －990°15′.
分析 只需将这些角表示成 k·360°＋α (0°＜α＜360°)的形式，然后根据 α 来确定它们所在的象限.
(1) 650°； (2) －150°；
解 因为650°＝360°＋290°，所以 650°的角与 290°的角终边相同，是第四象限角.
解 因为－150°＝－360°＋210°，所以－150°的角与210°的角终边相同，是第三象限角.
(3) －990°15′.
解 因为－990°15′＝－3×360°＋89°45′， 所以－990°15′的角与 89°45′的角终边相同， 是第一象限角.
(1) 终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示? 终边落在 x轴上的角的集合如何表示?(2) 终边落在坐标轴上的角的集合如何表示?(3) 若α是第三象限角，则一是第几象限角?
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 经过1小时，时针转过30°.( ) (2) 终边与始边重合的角是零角.( ) (3) 第二象限的角是钝角.( )
2. 与 45°角终边相同的角是( ) A. －45° B. 225° C. 395° D. －315°
解析：与45°角终边相同的角可以表示为 45°＋k·360°， k∈Z，结合四个选项可以发现只有答案D符合题意.
3. 已知 0°≤α＜360°，且 α 与600°角终边相同，则 α＝______，它是第______象限角.
解析：因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角.
1. 在下列说法中，正确的是( ) ①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ② 钝角一定大于锐角； ③ 射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④ － 2 000°是第二象限角. A.①② B.③④ C.①③ D.②④
2. 179°角是( ) A. 第一象限角 B.第二象限角 C. 第三象限角 D.第四象限角
解析：179°是第二象限角.
3.与－457°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析：－457°＝－2×360°＋263°，所以与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}.
4. 若角α＝m·360°＋60°，β＝k·360°＋120°(m，k∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )A.重合 B.关于原点对称C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
解析：角α的终边和60°角的终边相同，角β的终边与120°角终边相同，因为180°－120°＝60°，所以角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称.
5. 2 021°角是第________象限角.
解析：因为2 021°＝5×360°＋221°，因为221°角在第三象限，所以2 021°是第三象限角.
练 习
1. (口答) 写出 3 个与 60°角终边相同的角： ___________________________.
420°；780°；1140°
2. (口答)下列角中哪些角与 30°角的终边相同： (1) 210°；(2) －330°；
解 (1) 210°－30°＝180°，所以210°与30角的终边不相同. (2) －330°－30°＝－360°，所以－330°与30°角的终边相同.
(3) 390°； (4) 750°.
(3) 390°－ 30°＝360°，所以390°与30°角的终边相同. (4) 750°－30°＝720°＝360°×2，所以750°与30°角的终边相同.
3. 分别写出满足下面条件的角的集合： (1) 终边为 y 轴负轴；
(2) 终边落在坐标轴上.
4. 分别作出下列各角的终边，并指出它们是第几象限角： (1) 330°；
5. 在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角： (1) －55°；
解 －55°＝305°－ 360°， 270° ＜ 305° ＜ 360°， ∴在0°到360°的范围内与该角终边相同的角为305°，且为第四象限.
(2) 395°8′；
解 ∵ 395°8′＝35°8′ ＋360°， 0°＜ 35°8′＜90°， ∴ 在0°到360°的范围内与该角终边相同的角为35°8′，且为第一象限.
(3) 1 563°.
解 ∵ 1563°＝123°＋4×360°， 90°＜ 123°＜180°， ∴ 在0°到360°的范围内与该角终边相同的角为123°，且为第二象限.
6.下列命题中正确的是 ( ).A. 第一象限角一定不是负角B. 小于 90°的角一定是锐角C. 钝角一定是第二象限角D. 第一象限角一定是锐角
7. 求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角： (1) 1 140°；
解 与1140°终边相同的角可表示为：{α∣α＝ k·360°＋60°，k∈Z}. 则当k＝－1时， α＝－1×360°＋60°＝－300°，此时为最大的负角， 当 k＝0 时， α＝0×360°＋60°＝60°，此时为最小的正角.
解 与1680°终边相同的角可表示为：{α∣α ＝ k·360° ＋ 240°，k∈Z}. 则当k＝－1时， α＝－1×360°＋240°＝－120°， 此时为最大的负角. 当 k＝0 时， α＝0×360°＋240°＝240°，此时为最小的正角.
(3) －1290°；
解 与－1290°终边相同的角可表示为{α∣α＝k·360° －210°，k∈Z}. 则当k＝0时，α＝0×360°－210°＝－210°，此时为最大的负角. 当k＝1时， α＝1×360°－210°＝150°，此时为最小的正角.
(4) －1 510°.
解 与－1510°终边相同的角可表示为{α∣α ＝ k·360°－ 70°，k∈Z}. 则当k＝0时， α＝0×360°－70°＝－70°，此时为最大的负角. 当k＝1时， α＝1×360°－70°＝290°，此时为最小的正角.
8. 已知 α 是第四象限角，分别确定－α ，180° ＋α ， 180°－α 是第几象限角.
解 ∵ α 是第四象限角， ∴ k·360°－90°＜ α ＜ k·360°，k∈Z， ∴ －k·360°＜－α ＜－k·360°＋90°，k∈Z， 故－α 是第一象限角；
k·360°＋ 90°＜α＋180°＜k·360＋180°，k∈Z，故 180°＋α 是第二象限角；－k·360°＋180°＜180°－α ＜ k·360＋270°，k∈Z，故 180°－α 是第三象限角.
在本章引言中，我们曾考虑用有序数对 (r，α) 或 (r，l) 来表示点P，那么，
● r，l 与 α 之间具有怎样的关系呢?
(1) 弧度制①1弧度的角：长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.②表示方法：1弧度记作1 rad.
上述规定基于下面的基本事实：
上式表明，角 α 的弧度数由角 α 的大小唯一确定，而与其为圆心角所在圆的大小(半径)无关. 这种用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.
(2) 角的弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么，|α|=___.(3) 本质： 角的两种不同的度量模式，适用情况不同，而且弧度是表示角的默认单位.
(4) 应用： 角度制更容易理解和运算，与小学、初中知识更容易衔接； 弧度制表示角应用更广泛，与实数一一对应.
初中学习的角度制是怎样定义的?1°角是多少?
三、角度制与弧度制的换算
图 7-1-9 给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系.用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位. 例如l rad，2 rad，π rad，可分别写成 1，2，π.
角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间换算的关键是什么?
提示：计算时，我们要特别注意 π rad ＝ 180°，用这个公式进行互化即可.
把下列各角从弧度化为度：
把下列各角从度化为弧度：
(1) 252°； (2) 11°15′.
如图 7-1-10，设长度为 r 的线段 OA 绕端点 O 旋转形成角 α ( α 为任意角，单位为弧度).
四、扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α 为其圆心角，则(1) 弧长公式：l＝____.(2) 扇形面积公式：S＝_____＝______.
初中学过的半径为r，圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么?
已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2 rad，求该扇形的面积.
角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角.
解析：1 080°＝ 180°×6，所以1 080°化为弧度制是6π.
1.下列说法中，错误的是( )A.半圆弧所对的圆心角是π radB.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C 均正确，D错误.
5. 在直径为20 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长为________.
1. (口答) 把下列各角从度化为弧度：
(1) 180°； (2) 90°； (3) 45°；
(4) 30°； (5) 120°； (6) 270°.
2. (口答) 把下列各角从弧度化为度：
3. 把下列各角从度化为弧度：
(1) 75°；(2) －210°； (3) 135°； (4) 22°30′.
4. 把下列各角从弧度化为度：
5. 写出与下面的角终边相同的角的集合：
6. 分别用弧度制表示下列角的集合： (1) 终边落在 x 轴上的角； (2) 终边落在 y 轴上的角.
7. 若 α＝－6，则角 α 的终边在 ( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8. 已知半径为 240 mm的圆上，有一段弧的长是 500 mm， 求此弧所对的圆心角的弧度数.
1. 在0°到 360°范内，找出与下列各角终相同的角， 并指出它们是第几象限角：
(1) －265°； (2) 3 900°；(3) －840°10′； (4) 560°24′.
(1) －265°； (2) 3 900°；
解 ∵－265°＝－360°＋95°，95°是第二象限的角， ∴－265°是第二象限的角；
解 ∵3900°＝3600°＋300°，300°是第四象限的角， ∴3900°是第四象限的角；
(3) －840°10′； (4) 560°24′.
解 ∵－840°10′＝－1080°＋239°50′， 239°50′是第三象限的角， ∴ －840°10′是第三象限的角；
解 ∵560°24′＝360°＋200°24′， 200°24′是第三象限的角， ∴ 560°24′是第三象限的角；
2. 分别写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合 中适合 －360°≤α≤360°的元素α写出来：
(1) 60°； (2) －75°；
解 由题意可知： A＝{x∣x ＝ k·360°＋60°，k∈Z}， 当k＝0， －1时， α＝60°， －300°.
解 由题意可知： B＝{x∣x ＝ k·360°－75°，k∈Z}， 当k＝0， 1时， α＝－75°， 285°.
(3) 90°； (4) －180°.
解 由题意可知： C＝{x∣x ＝ k·360°＋90°，k∈Z}， 当k＝0， －1时， α＝90°， －270°.
解 由题意可知： D＝{x∣x ＝k·360°－180°，k∈Z}， 当k＝0， 1时， α＝－180°， 180°.
3. 分别把下列各角从度化为弧度：
(1) 12°30′；(2) －200°；
(3) 355°；(4) －186°45′.
4. 分别把下列各角从弧度化为度：
5. 终边落在直线 y＝x 上的角的集合如何表示?
6. 把下列各角化成 α＋2kπ (0≤α＜2，k∈Z)的形式，并 分别指出它们是第几象限角：
8. 已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 60°，求扇形的 弧长和面积.
9. 蒸汽机飞轮的直径为 1.2 m，以300 r/min(转/分)的速度 作逆时针旋转，求： (1)飞轮1s 内转过的弧度数；
解 ∵ 飞轮转速 300 r/min (转/分) ＝ 5r/s (转/秒)， 而且飞轮作逆时针旋转， ∴ 它每 1s 转过的弧度数为 5×2π＝10π.
(2) 轮周上一点 1s 内所经过的路程.
解 轮上一点每 1s 所转过的弧长为： L＝ αr ＝ 10π×0.6 ＝6π米
11. 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界).
12. 设 θ 是第一象限角，试探究： (1) 2θ 一定不是第几象限角?
7 . 1 角与弧度
我们已经学习过一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角. 利用这些角，我们已能表示圆周上某些点 P. 但要表示圆周上周而复始地运动着的点，仅有这些角是不够的. 如点 P 绕圆心旋转一周半，所在位置怎样用角来表示?
在生活中，也有类似情形. 如“游乐园的摩天轮旋转了两周半”为了精确地刻画旋转程度，我们需要引入一个角，来量化“两周半”.
● 旋转两周半是转了怎样的一个角?
一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边.
如图 7-1-1所示，射线 OA 绕端点O，按头所示方向旋转到OB 便形成角α. 点O是角α 的顶点，射线 OA 和 OB 分别是α 的始边和终边. 因此，361°就是旋转一周后紧接着又旋转了1°所形成的角；720°就是旋转两周所形成的角；旋转两周半，就是旋转了 900°的角.
(2) 本质： 将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.
(3) 应用：可以定义任意的旋转角.
对于两个任意角 α，β，将角 α 的终边旋转角β (当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当 β是零角时不旋转)，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作 α＋β. 射线 OA绕端点O 分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角.角 α 的相反角记为－α，于是有α－β＝α＋(－β).
角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴_______，建立平面直角坐标系，这样，角的终边(除端点外) 在第几象限，就说这个角是______________.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.
(1) －300°，－150°，－60°，60°，210°，300°，420°角分别是第几象限角?其中哪些角的终边相同?(2) 具有相同终边的角彼此之间有什么关系?你能写出与 60°角终边相同的角的集合吗?(图 7-1-4)
(1) 定义：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内.(2) 表示：集合 S＝{β∣β＝α＋k·360°，k∈Z}.(3) 本质：表示成角 α 与整数个周角的和.
反过来，若角α，β满足S＝{β∣β＝α＋k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角?
提示：当角 α，β 满足S＝{β∣β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角 α，β 终边相同.
在0°到 360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
(1) 650°； (2) －150°； (3) －990°15′.
分析 只需将这些角表示成 k·360°＋α (0°＜α＜360°)的形式，然后根据 α 来确定它们所在的象限.
(1) 650°； (2) －150°；
解 因为650°＝360°＋290°，所以 650°的角与 290°的角终边相同，是第四象限角.
解 因为－150°＝－360°＋210°，所以－150°的角与210°的角终边相同，是第三象限角.
(3) －990°15′.
解 因为－990°15′＝－3×360°＋89°45′， 所以－990°15′的角与 89°45′的角终边相同， 是第一象限角.
(1) 终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示? 终边落在 x轴上的角的集合如何表示?(2) 终边落在坐标轴上的角的集合如何表示?(3) 若α是第三象限角，则一是第几象限角?
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 经过1小时，时针转过30°.( ) (2) 终边与始边重合的角是零角.( ) (3) 第二象限的角是钝角.( )
2. 与 45°角终边相同的角是( ) A. －45° B. 225° C. 395° D. －315°
解析：与45°角终边相同的角可以表示为 45°＋k·360°， k∈Z，结合四个选项可以发现只有答案D符合题意.
3. 已知 0°≤α＜360°，且 α 与600°角终边相同，则 α＝______，它是第______象限角.
解析：因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角.
1. 在下列说法中，正确的是( ) ①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ② 钝角一定大于锐角； ③ 射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④ － 2 000°是第二象限角. A.①② B.③④ C.①③ D.②④
2. 179°角是( ) A. 第一象限角 B.第二象限角 C. 第三象限角 D.第四象限角
解析：179°是第二象限角.
3.与－457°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析：－457°＝－2×360°＋263°，所以与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}.
4. 若角α＝m·360°＋60°，β＝k·360°＋120°(m，k∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )A.重合 B.关于原点对称C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
解析：角α的终边和60°角的终边相同，角β的终边与120°角终边相同，因为180°－120°＝60°，所以角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称.
5. 2 021°角是第________象限角.
解析：因为2 021°＝5×360°＋221°，因为221°角在第三象限，所以2 021°是第三象限角.
练 习
1. (口答) 写出 3 个与 60°角终边相同的角： ___________________________.
420°；780°；1140°
2. (口答)下列角中哪些角与 30°角的终边相同： (1) 210°；(2) －330°；
解 (1) 210°－30°＝180°，所以210°与30角的终边不相同. (2) －330°－30°＝－360°，所以－330°与30°角的终边相同.
(3) 390°； (4) 750°.
(3) 390°－ 30°＝360°，所以390°与30°角的终边相同. (4) 750°－30°＝720°＝360°×2，所以750°与30°角的终边相同.
3. 分别写出满足下面条件的角的集合： (1) 终边为 y 轴负轴；
(2) 终边落在坐标轴上.
4. 分别作出下列各角的终边，并指出它们是第几象限角： (1) 330°；
5. 在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角： (1) －55°；
解 －55°＝305°－ 360°， 270° ＜ 305° ＜ 360°， ∴在0°到360°的范围内与该角终边相同的角为305°，且为第四象限.
(2) 395°8′；
解 ∵ 395°8′＝35°8′ ＋360°， 0°＜ 35°8′＜90°， ∴ 在0°到360°的范围内与该角终边相同的角为35°8′，且为第一象限.
(3) 1 563°.
解 ∵ 1563°＝123°＋4×360°， 90°＜ 123°＜180°， ∴ 在0°到360°的范围内与该角终边相同的角为123°，且为第二象限.
6.下列命题中正确的是 ( ).A. 第一象限角一定不是负角B. 小于 90°的角一定是锐角C. 钝角一定是第二象限角D. 第一象限角一定是锐角
7. 求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角： (1) 1 140°；
解 与1140°终边相同的角可表示为：{α∣α＝ k·360°＋60°，k∈Z}. 则当k＝－1时， α＝－1×360°＋60°＝－300°，此时为最大的负角， 当 k＝0 时， α＝0×360°＋60°＝60°，此时为最小的正角.
解 与1680°终边相同的角可表示为：{α∣α ＝ k·360° ＋ 240°，k∈Z}. 则当k＝－1时， α＝－1×360°＋240°＝－120°， 此时为最大的负角. 当 k＝0 时， α＝0×360°＋240°＝240°，此时为最小的正角.
(3) －1290°；
解 与－1290°终边相同的角可表示为{α∣α＝k·360° －210°，k∈Z}. 则当k＝0时，α＝0×360°－210°＝－210°，此时为最大的负角. 当k＝1时， α＝1×360°－210°＝150°，此时为最小的正角.
(4) －1 510°.
解 与－1510°终边相同的角可表示为{α∣α ＝ k·360°－ 70°，k∈Z}. 则当k＝0时， α＝0×360°－70°＝－70°，此时为最大的负角. 当k＝1时， α＝1×360°－70°＝290°，此时为最小的正角.
8. 已知 α 是第四象限角，分别确定－α ，180° ＋α ， 180°－α 是第几象限角.
解 ∵ α 是第四象限角， ∴ k·360°－90°＜ α ＜ k·360°，k∈Z， ∴ －k·360°＜－α ＜－k·360°＋90°，k∈Z， 故－α 是第一象限角；
k·360°＋ 90°＜α＋180°＜k·360＋180°，k∈Z，故 180°＋α 是第二象限角；－k·360°＋180°＜180°－α ＜ k·360＋270°，k∈Z，故 180°－α 是第三象限角.
在本章引言中，我们曾考虑用有序数对 (r，α) 或 (r，l) 来表示点P，那么，
● r，l 与 α 之间具有怎样的关系呢?
(1) 弧度制①1弧度的角：长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.②表示方法：1弧度记作1 rad.
上述规定基于下面的基本事实：
上式表明，角 α 的弧度数由角 α 的大小唯一确定，而与其为圆心角所在圆的大小(半径)无关. 这种用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.
(2) 角的弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么，|α|=___.(3) 本质： 角的两种不同的度量模式，适用情况不同，而且弧度是表示角的默认单位.
(4) 应用： 角度制更容易理解和运算，与小学、初中知识更容易衔接； 弧度制表示角应用更广泛，与实数一一对应.
初中学习的角度制是怎样定义的?1°角是多少?
三、角度制与弧度制的换算
图 7-1-9 给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系.用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位. 例如l rad，2 rad，π rad，可分别写成 1，2，π.
角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间换算的关键是什么?
提示：计算时，我们要特别注意 π rad ＝ 180°，用这个公式进行互化即可.
把下列各角从弧度化为度：
把下列各角从度化为弧度：
(1) 252°； (2) 11°15′.
如图 7-1-10，设长度为 r 的线段 OA 绕端点 O 旋转形成角 α ( α 为任意角，单位为弧度).
四、扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α 为其圆心角，则(1) 弧长公式：l＝____.(2) 扇形面积公式：S＝_____＝______.
初中学过的半径为r，圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么?
已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2 rad，求该扇形的面积.
角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角.
解析：1 080°＝ 180°×6，所以1 080°化为弧度制是6π.
1.下列说法中，错误的是( )A.半圆弧所对的圆心角是π radB.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C 均正确，D错误.
5. 在直径为20 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长为________.
1. (口答) 把下列各角从度化为弧度：
(1) 180°； (2) 90°； (3) 45°；
(4) 30°； (5) 120°； (6) 270°.
2. (口答) 把下列各角从弧度化为度：
3. 把下列各角从度化为弧度：
(1) 75°；(2) －210°； (3) 135°； (4) 22°30′.
4. 把下列各角从弧度化为度：
5. 写出与下面的角终边相同的角的集合：
6. 分别用弧度制表示下列角的集合： (1) 终边落在 x 轴上的角； (2) 终边落在 y 轴上的角.
7. 若 α＝－6，则角 α 的终边在 ( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8. 已知半径为 240 mm的圆上，有一段弧的长是 500 mm， 求此弧所对的圆心角的弧度数.
1. 在0°到 360°范内，找出与下列各角终相同的角， 并指出它们是第几象限角：
(1) －265°； (2) 3 900°；(3) －840°10′； (4) 560°24′.
(1) －265°； (2) 3 900°；
解 ∵－265°＝－360°＋95°，95°是第二象限的角， ∴－265°是第二象限的角；
解 ∵3900°＝3600°＋300°，300°是第四象限的角， ∴3900°是第四象限的角；
(3) －840°10′； (4) 560°24′.
解 ∵－840°10′＝－1080°＋239°50′， 239°50′是第三象限的角， ∴ －840°10′是第三象限的角；
解 ∵560°24′＝360°＋200°24′， 200°24′是第三象限的角， ∴ 560°24′是第三象限的角；
2. 分别写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合 中适合 －360°≤α≤360°的元素α写出来：
(1) 60°； (2) －75°；
解 由题意可知： A＝{x∣x ＝ k·360°＋60°，k∈Z}， 当k＝0， －1时， α＝60°， －300°.
解 由题意可知： B＝{x∣x ＝ k·360°－75°，k∈Z}， 当k＝0， 1时， α＝－75°， 285°.
(3) 90°； (4) －180°.
解 由题意可知： C＝{x∣x ＝ k·360°＋90°，k∈Z}， 当k＝0， －1时， α＝90°， －270°.
解 由题意可知： D＝{x∣x ＝k·360°－180°，k∈Z}， 当k＝0， 1时， α＝－180°， 180°.
3. 分别把下列各角从度化为弧度：
(1) 12°30′；(2) －200°；
(3) 355°；(4) －186°45′.
4. 分别把下列各角从弧度化为度：
5. 终边落在直线 y＝x 上的角的集合如何表示?
6. 把下列各角化成 α＋2kπ (0≤α＜2，k∈Z)的形式，并 分别指出它们是第几象限角：
8. 已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 60°，求扇形的 弧长和面积.
9. 蒸汽机飞轮的直径为 1.2 m，以300 r/min(转/分)的速度 作逆时针旋转，求： (1)飞轮1s 内转过的弧度数；
解 ∵ 飞轮转速 300 r/min (转/分) ＝ 5r/s (转/秒)， 而且飞轮作逆时针旋转， ∴ 它每 1s 转过的弧度数为 5×2π＝10π.
(2) 轮周上一点 1s 内所经过的路程.
解 轮上一点每 1s 所转过的弧长为： L＝ αr ＝ 10π×0.6 ＝6π米
11. 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界).
12. 设 θ 是第一象限角，试探究： (1) 2θ 一定不是第几象限角?
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