广西南宁市青秀区三美学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

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一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【解答】解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）剪纸是我国古老的民间艺术．下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
3．（3分）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（ ）
A．34B．35C．36D．40
【答案】B
【分析】把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可．
【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为30，34，36，40，
∴中位数为（34+36）÷2＝35．
故选：B．
4．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，5B．3，4，5C．2，6，9D．5，8，10
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：A、∵22+32≠52，∴不能组成直角三角形，故不符合题意；
B、∵32+42＝52，∴能组成直角三角形，故符合题意；
C、∵22+62≠92，∴不能组成直角三角形，故不符合题意；
D、∵52+82≠102，∴不能组成直角三角形，故不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判定．
【解答】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
因此选项A、C、D中的图象，y是x的函数，故A、C，D不符合题意；
选项B中的图象，y不是x的函数，故B符合题意．
故选：B．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【答案】A
【分析】根据平行四边形对角相等，求出∠BCD，再根据邻补角的定义求出∠MCD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD＝135°，
∴∠MCD＝180°﹣∠DCB＝180°﹣135°＝45°．
故选：A．
7．（3分）若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝0，那么△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形
【答案】A
【分析】根据完全平方公式，将已知等式化为（a﹣b）（b﹣c）2＝0，可得a＝b或b＝c，再由等腰三角形的定义即可判断三角形的形状．
【解答】解：（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）
＝（a﹣b）（b﹣c）2
＝0，
∴a﹣b＝0或b﹣c＝0，
∴a＝b或b＝c，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：A．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的对角互补
B．矩形的对角线相等且互相垂直
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．有一个角是90°的菱形是正方形
【答案】D
【分析】根据正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：A．平行四边形的对角互补，错误，不符合题意；应该是平行四边形的对角相等；
B．矩形的对角线相等且互相垂直，错误，不符合题意；应该是矩形的对角线相等；
C．有一组邻边相等的四边形是菱形，错误，不符合题意；应该是有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
D．有一个角是90°的菱形是正方形，正确，符合题意．
故选：D．
9．（3分）如图，圆柱形容器的底面周长是24cm，高为17cm，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（ ）
A．20cmB．8cmC．cmD．24cm
【答案】A
【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出SF的长即可．
【解答】解：如图所示，
SF＝＝20（cm）．
故选：A．
10．（3分）晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会天，然后一起跑步回家，下面能反映彤彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．
【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：散步到离家较远的公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；
第二阶段：在公园中央的休息区聊了会天，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故D错误；
第三阶段：跑步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故A错误，并且这段的速度大于第一阶段的速度，则B错误．
故选：C．
11．（3分）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM＝PE＝2，PE＝PN＝2，即可得出答案．
【解答】解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM＝PE＝2，PE＝PN＝2，
∴MN＝2+2＝4；
故选：A．
12．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，P，Q分别是直线AB，AD上的两个动点，点E在边CD上，DE＝2，将△DEQ沿EQ翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC的最小值为（ ）
A．6﹣2B．8C．10D．8﹣2
【答案】B
【分析】作点C关于AB的对称点H，连接PH，EH，由已知求出CE＝6，CH＝8，由勾股定理得出EH＝＝10，利用点C与点H关于AB对称得出CP＝PH，PF+PC＝PF+PH，当E、F、P、H四点共线时，PF+PH值最小，即可得出结果．
【解答】解：作点C关于AB的对称点H，连接PH，EH，如图所示：
∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，DE＝2，
∴CE＝CD﹣DE＝AB﹣DE＝6，CH＝2BC＝8，
∴EH＝＝＝10，
∵点C与点H关于AB对称，
∴CP＝PH，
∴PF+PC＝PF+PH，
∵EF＝DE＝2是定值，
∴当E、F、P、H四点共线时，PF+PH值最小，最小值＝10﹣2＝8，
∴PF+PC的最小值为8，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每题2分，共12分）
13．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣6 ．
【答案】x≥﹣6．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可．
【解答】解：由式子在实数范围内有意义可得x+6≥0，
解得：x≥﹣6，
故答案为：x≥﹣6．
14．（2分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是 甲 ．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵，，
∴S甲2＜S乙2，
∴射击成绩较稳定的是甲；
故答案为：甲．
15．（2分）如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为 1﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AC＝，
∵点A表示的数是1，
∴点C表示的数是﹣（﹣1）＝1﹣．
故答案为：1﹣．
16．（2分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝5，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD＝DH•AB，再解关于DH的方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝•AC•BD，
S菱形ABCD＝DH•AB，
∴DH•5＝•6•8，
∴DH＝．
故答案为．
17．（2分）已知：函数y1＝2x，y2＝﹣x+3，若x＜1，则y1 ＜ y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】＜．
【分析】根据正比例函数的性质和一次函数的性质解答即可．
【解答】解：如图所示：
联立方程组可得：，
解得：，
∴两个函数的交点坐标为（1，2），
若x＜1，则y1＜y2，
故答案为：＜．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，2），以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线于点B1，过点B1作B1A2∥y轴，交直线y＝2x于点A2，以点O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线于点B2；过点B2作B2A3∥y 轴，交直线y＝2x于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线于点于点B3；过B3点作B3A4∥y 轴，交直线y＝2x于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线于点B4，…，按照如此规律进行下去，点B2023的坐标为 （22023，22022） ．
【答案】（22023，22022）．
【分析】坐标平面内点（x，y）到原点的距离是．B1A2∥y轴，则点A2的横坐标与B1的横坐标相等．归纳推理，点Bn的横坐标是纵坐标的2倍，横坐标是2n．
【解答】解：直线y＝2x，点A1的坐标为（1，2），则OA1＝，
即OB1＝．
因为B1在直线y＝x上，
则B1点的坐标为（2，1），即（21，21﹣1），
以原点O为圆心，OA2长为半径画弧，OA2＝OB2，
因为B1A2∥y轴，
所以点A2的坐标为（2，4），
所以OA2＝＝2，
所以OB2＝2，
所以B2（4，2），即（22，22﹣1）．
•••，
依此类推，便可求出点B2023的坐标为（22023，22023﹣1），
即（22023，22022）．
故答案为：（22023，22022）．
三、解答题（共8小题，共72分）
19．（6分）计算：|﹣3|+（﹣4）2÷+（﹣1）2023．
【答案】10．
【分析】先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答．
【解答】解：|﹣3|+（﹣4）2÷+（﹣1）2023
＝3+16÷2+（﹣1）
＝3+8﹣1
＝11﹣1
＝10．
20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝3．
【答案】，原式＝．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当a＝3时，原式＝＝．
21．（10分）南宁市某中学组织全校学生参加国家禁毒知识学习，现让八年级和九年级参与学习的学生参加禁毒知识竞赛，再从中各随机选出20名同学的成绩进行析．将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．x≤70，B：70≤x＜80．C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 88 ，m＝ 40 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次禁毒知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级有700名学生参加禁毒知识学习，九年级有800名学生参加禁毒知识学习，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
【答案】（1）88；40；
（2）九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级；
（3）530人．
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出m的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数，方差作出判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数b＝88；
由题意可得m%＝1﹣10%﹣15%﹣×100%＝40%，故m＝40，
故答案为：88；40；
（2）九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级；
（3）700×+800×40%＝210+320＝530（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有530人．
22．（10分）已知点A（4，0）及在第一象限内的动点P（x，y），且x+y＝30，设△AOP的面积为S．
​（1）求出S关于x的函数解析式，并求x的取值范围；
（2）当S＝30时，求点P的坐标；
（3）在所给的平面直角坐标系中画出函数S的图象．
【答案】（1）S＝﹣2x+60，0＜x＜30；（2）（15，15）；（3）答案见解答过程．
【分析】（1）首先根据点的坐标确定OA＝4，点P到x的距离为（30﹣x），再根据三角形的面积公式即可求出S关于x的函数解析式，然后根据点P在第一象限可得，x＞0，y＞0，据此可求出x的取值范围；
（2）利用（1）中所求的函数解析式，令S＝30从而求出x，进而再求出y即可求出点P的坐标；
（2）根据（1）中所求的函数表达式和自变量x的取值范围即可画出函数的图象．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵点P的坐标为（x，y），
则点P到x轴的距离为y，
即点P到OA的距离为y，
又∵x+y＝30，
∴y＝30﹣x，
∴点P到OA的距离为：30﹣x
∴，
整理得：S＝﹣2x+60，
∵点P在第一象限，
∴x＞0，y＞0，
∴30﹣x＞0，解得：x＜30，
∴自变量x的取值范围是：0＜x＜30，
故得：S关于x的函数解析式为：S＝﹣2x+60，x的取值范围是：0＜x＜30．
（2）对于S＝﹣2x+60，当S＝30时，得：30＝﹣2x+60，
解得：x＝15，
当x＝15时，y＝30﹣x＝30﹣15＝15，
∴点P的坐标为（15，15）．
（3）对于S＝﹣2x+60，当x＝0时，x＝60，当x＝30时，y＝0，
过点（0，60），（60，0）作线段即为S关于x的函数图象（端点为空心点）．
23．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BD于点E，F．
（1）若∠BCF＝65°，求∠ABC的度数；
（2）连接CE，AF，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）50°；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得出答案；
（2）根据ASA证明△ABE≌△CDF，由全等三角形的性质得出AE＝CF，AE∥CF，则可得出结论．
【解答】（1）解：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠BCF＝65°×2＝130°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣130°＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
24．（10分）高山云雾出好茶．清明前后，三明市大田县屏山乡的万亩茶园郁郁葱葱，迎来开采季．已知1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶．
（1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘多少斤茶叶？
（2）某茶厂计划一天采摘茶叶500斤，该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使所付工资最少？
【答案】（1）1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶30斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶10斤；
（2）茶厂一天安排熟练采茶工人10名，新手采茶工人20名能使所付工资最少．
【分析】（1）根据1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到总工资与新手采茶工人人数的函数关系式，再根据一次函数的性质和该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，可以求得最低工资．
【解答】解：（1）设1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶a斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶b斤，
由题意可得：，
解得，
答：1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶30斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶10斤；
（2）设一天安排x名新手采茶工人采摘茶叶，则安排名熟练采茶工人采摘茶叶，该茶厂需要支付工资w元，
由题意可得，w＝×300+80x＝﹣20x+5000，
∴w随x的增大而减小，
∵该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，
∴当x＝20时，w取得最小值，此时w＝4600，＝10，
答：茶厂一天安排熟练采茶工人10名，新手采茶工人20名能使所付工资最少．
25．（10分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
+2×1×＝（1+）2．
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将7+2化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简；．
【变式探究】
（3）若a+2＝，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）（）2；
（2）3﹣；
（3）a＝10或22．
【分析】（1）根据所给的方法进行求解即可；
（2）利用所给的方法进行求解即可；
（3）利用所给的方法进行求解即可．
【解答】解：（1）7+2
＝（2+5）+2
＝（）2+（）2+2
＝（）2；
（2）
＝
＝
＝3﹣；
（3）∵a+2＝，a，m，n均为正整数，
∴a+2＝（）2，a+2××1＝（）2，
∴m＝3，n＝7或m＝21，n＝1，
∴a＝3+7＝10或a＝21+1＝22．
26．（10分）如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连接CG．
（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；
（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；
（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由正方形的性质得出，AB＝BC，BE＝BG，∠ABC＝∠EBG＝90°，易证∠ABE＝∠CBG，由SAS证得△BAE≌△BCG；
（2）由△BAE≌△BCG，得出AE＝CG，DE＝CD﹣CE＝6，由勾股定理得出AE＝＝10，即可得出结果；
（3）①当CG＝FG时，易证AE＝BE，由HL证得Rt△ADE≌Rt△BCE，得出DE＝CE＝DC＝4；
②当CF＝FG时，点E与点C重合，DE＝CD＝8；
③当CF＝CG时，点E与点D重合时，DE＝0，不存在；
④当CF＝CG，点E在DC延长线上时，DE＝16．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB＝BC，BE＝BG，∠ABC＝∠EBG＝90°，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBG﹣∠EBC，即∠ABE＝∠CBG，
在△BAE和△BCG中，，
∴△BAE≌△BCG（SAS）；
（2）解：∵△BAE≌△BCG，
∴AE＝CG，
∵四边形ABCD正方形，
∴AB＝AD＝CD＝8，∠D＝90°，
∴DE＝CD﹣CE＝8﹣2＝6，
∴AE＝＝＝10，
∴CG＝10；
（3）解：①当CG＝FG时，如图1所示：
∵△BAE≌△BCG，
∴AE＝CG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴FG＝BE，
∴AE＝BE，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，，
∴Rt△ADE≌Rt△BCE（HL），
∴DE＝CE＝DC＝×8＝4；
②当CF＝FG时，如图2所示：
点E与点C重合，即正方形ABCD和正方形BEFG的一条边重合，DE＝CD＝8；
③当CF＝CG时，如图3所示：
点E与点D重合，DE＝0；
∵点E与点D不重合，
∴不存在这种情况；
④CF＝CG，当点E在DC延长线上时，如图4所示：
DE＝CD+CE＝16；
综上所述，当△CFG为等腰三角形时，DE的长为4或8或16．
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
85.2
86
a
59.66
九年级
85.2
87.5
91
91.76