2022-2023学年福建省龙岩市上杭县东北区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年福建省龙岩市上杭县东北区九年级上学期数学期中试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 垃圾分类是资源，垃圾混置是垃圾．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别和轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义．
2. 抛物线y＝（x－4） 2－3的顶点坐标是（ ）
A. （－4，3）B. （－4，－3）C. （4，3）D. （4，－3）
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线顶点式，顶点坐标为()，即可确定抛物线的顶点坐标．
【详解】抛物线顶点式，顶点坐标为()，
抛物线的顶点坐标为()，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点式，顶点坐标为()是解题关键．
3. 一元二次方程配方后可化为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：，
，
则，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
所得新抛物线的解析式为．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是掌握抛物线的平移规律．
5. 如图，绕点按逆时针方向旋转56°后与重合，则（ ）
A. 58°B. 56°C. 62°D. 68°
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转性质找出旋转角，对应线段，得△AB1B是等腰三角形，求出底角即可．
【详解】∵绕点按逆时针方向旋转56°后与重合，
∴AB=AB1，∠B1AB=56°，
∴∠ABB1=∠AB1B=．
故选择：C．
【点睛】本题考查图形旋转的性质，等腰三角形性质，掌握图形旋转的性质，会根据图形确定选择角，利用旋转对应线段和旋转角构成等腰三角形是解题关键．
6. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【详解】∵一元二次方程，△=4−4×1×1=0.
∴此方程有两个相等的实数根.
故选B．
7. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线解析式得出对称轴为直线，开口向上，根据点到对称轴的距离远近即可求解．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，，都在抛物线上，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8. 若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ）
A. 2022B. 2020C. 2019D. 2021
【答案】D
【解析】
【分析】设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2021．
【详解】由得到，
对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于x一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．
9. 如图，中，，点在轴上，点坐标为，将绕点逆时针旋转，此时点的对应点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过点作轴于H．利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，即可求出点的坐标．
【详解】如图，过点作轴于H．

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，有，可设点C、B的坐标为，代入解析式，即可解得答案.
【详解】,
OB=OC，
可设点C、B的坐标为(0,c)、(c,0)，
把B(c,0)代入，得
即
故选：B
【点睛】本题考查了抛物线与x轴有交点，根据题意得到点C、B的坐标是解题的关键.
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11. 平面直角坐标系内与关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点即可解答．
【详解】解：∵平面直角坐标系内的点与关于原点对称，
∴该点的坐标为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标的横纵坐标互为相反数成为解答本题的关键．
12. 一元二次方程解是_______．
【答案】0或-2
【解析】
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0来解题．
【详解】x2+2x=0
x(x+2)=0
∴x=0或x+2=0
∴x=0或−2
故本题的答案是0，−2.
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据因式分解法解一元二次方程.
13. 如图，在中，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点在一条直线上，那么旋转角等于__________．

【答案】##度
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可求，再根据旋转的性质可得旋转角为．
【详解】解：∵，，
∴，
根据旋转的性质可得：
旋转角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14. 抛物线与轴的一个交点为，则另一个交点坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得出该抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的对称性即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
该抛物线的对称轴为直线，
设另一个交点横坐标为，
∵抛物线与轴的一个交点为，
∴，
解得：，
∴另一个交点坐标为，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是掌握二次函数图象的对称轴为直线．
15. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝_____．
【答案】
【解析】
【详解】分析：利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．（也可利用对称性解答）
详解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2）
∴-=-1则-=-2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
∴x1+x2=-
又∵x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=-2
解得x2=-3.3．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点坐标；熟悉二次函数的顶点坐标公式与一元二次方程两根之和的关系是解决问题的关键．
16. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第__________象限．

【答案】三
【解析】
【分析】由二次函数的图象可判断出b、c的符号，再进行判断一次函数的图象所在的象限，即可求解．
【详解】解：∵对称轴，
∴，
∵二次函数的图象与y轴交于正半轴，
∴
∴一次函数与y轴的交点在x轴的上方，且，经过二、四象限，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴不经过第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象的性质，掌握二次函数及一次函数图象的性质是解题关键．
三、解答题（共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单．
【详解】解：原方程变形为
∴，．
【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则．
18. 若关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值的范围；
（2）若m为正整数，求此时方程根．
【答案】（1）且；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行解答即可；
（2）先确定正整数的值，然后代入求解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
且，
且；
【小问2详解】
解：为正整数，且，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式与一元二次方程的解法是解答此题的关键．
19. 已知：抛物线y1＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．
（1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y1＝﹣x2﹣2x+3的草图，并标出点A的位置；
（2）点C是直线y2＝﹣x+1与抛物线y1＝﹣x2﹣2x+3异于B的另一交点，则点C的坐标为 ；当y1y2时x的取值范围是 ．
【答案】（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】（1）利用五点法作出二次函数的图像，然后令x=0求出A点坐标即可；
（2）将两个函数联立形成新的一元二次方程，然后求解C点坐标，最后利用图像判断x的取值范围即可．
【详解】（1）由题意得：
由上表得到下图，连接五个点后即可得到二次函数y1＝﹣x2﹣2x+3的草图，
由上图得A点坐标为；
（2）由题意得：，解得，，
当时，，
∴C点坐标为，
由上图得，当y1y2时，．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，重点是根据五点法作出二次函数的图像，然后利用数形结合思想进行判断．
20. 某服装商店计划销售一种男士衬衫，已知销售件这种男士衬衫的成本每件（元），售价每件（元），且，与的关系分别为，．（为正整数）
（1）若该商店某日销售这种男士衬衫的利润为600元，求当日销售量；
（2）求可获得的最大日利润．
【答案】（1）该商店某日销售这种男士衬衫的利润为600元，当日销售量为20件或30件；（2）625元
【解析】
【分析】（1）根据“总利润=每件的利润×销售量”列方程即可得到结论；
（2）设可获得的日利润为y元，根据“总利润=每件的利润×销售量”列函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）根据题意得，x（n-m）=600，
即x（x+120+x-70）=600，
解得：x1=20，x2=30，
答：该商店某日销售这种男士衬衫的利润为600元，当日销售量为20件或30件；
（2）设可获得的日利润为y元，
根据题意得，y=x（x+120+x-70），
∴y=-x2+50x=-（x-25）2+625，
答：可获得的最大日利润为625元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题．
21. 如图中，，先将绕着点顺时针旋转，再向上平移个单位得到．

（1）画出，并写出的坐标；
（2）可以看作是由顺时针旋转一次而来，请直接写出该旋转的旋转中心的坐标和旋转角的度数．
【答案】（1）作图见解析，
（2）旋转中心， 旋转角为
【解析】
【分析】（1）先将，向上平移个单位，再以为旋转中心顺时针方向旋转得，即可写出的坐标；
（2）连接，作垂直平分线，连解，作的垂直平分线连线交于点，点为旋转中心，连接，，由旋转，可知，由，可得是等腰直角三角形，由可求即可．
【小问1详解】
解：如图所示，先将，向上平移个单位，再以为旋转中心顺时针方向旋转得，即为所求，其中的坐标为；
【小问2详解】
解：连接，作垂直平分线，连解，作的垂直平分线连线交于点，点为旋转中心，
连接，，由旋转，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，．
如图所示，点即为旋转中心，旋转角．
【点睛】本题考查平移与旋转作图，已知图形找旋转中心问题，掌握平移与旋转的性质，会利用对应点连线的垂直平分线过旋转中心找旋转中心是解题关键．
22. 如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
（1）求证：GE＝FE；
（2）若DF＝3，求BE的长为___．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，则可得出GE＝FE；
（2）设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，根据勾股定理，可以求出BE的长．
【详解】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE；
（2）解：设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即BE＝2．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
23. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．
（1）那么运动几秒时，它们相距？
（2）的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
【答案】（1）9秒或12秒
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设运动秒时，的面积等于60平方厘米，利用三角形的面积公式可得出关于的一元二次方程，由根的判别式可得出原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米．
【小问1详解】
解：设运动秒时，，两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，，
运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米；
【小问2详解】
的面积不能等于60平方厘米，理由如下：
设运动秒时，的面积等于60平方厘米，
依题意，得：，
整理，得：，
，
原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24. 定义：若抛物线与抛物线的开口大小相同，方向相反，且抛物线经过的顶点，我们称抛物线为的“友好抛物线”．
（1）若的表达式为，求的“友好抛物线”的表达式；
（2）平面上有点，，抛物线为的“友好抛物线”，且抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线与线段没有公共点时，求的取值范围．
【答案】（1）的“友好抛物线”为：；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）设的“友好抛物线”的表达式为：，根据可得其顶点坐标，代入可得的值，进而得出的“友好抛物线”；
（2）根据“友好抛物线”的定义，得到，进而得到的顶点为．
根据抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，可得．再根据经过点，得到．根据经过点，得到．进而得出抛物线与线段没有公共点时，的取值范围．
【小问1详解】
解：依题意，可设的“友好抛物线”的表达式为：，
∵，
∴的顶点为．
∵过点，
∴，即．
∴的“友好抛物线”为：；
【小问2详解】
解：∵抛物线为的“友好抛物线”，
∴．
∴的顶点为．
∵抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，
∴，即．
当经过点时，，
∴．
当经过点时，，
∴．
由此可知：时，抛物线与线段有公共点，
∴抛物线与线段没有公共点时，或．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，读懂“友好抛物线”的定义并根据“友好抛物线”的定义解决实际问题、抛物线的顶点坐标公式和用方程思想解决问题是解决此题的关键．
25. 如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点

（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；
（2）若是第一象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与交于点，连接．设点的横坐标为．
①求线段的最大值；
②时，求值；
【答案】（1），顶点坐标为
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）将A、B、C三点的坐标代入中得一个三元一次方程组，解这个方程组求出a、b、c的值即可得二次函数的表达式，再将一般式化成顶点式，即可求得顶点坐标．
（2）①设直线的表达式为，将B、C两点的坐标代入中求得m、n的值，即可知的表达式．由P点的横坐标为t，可得P点的坐标为，M点的坐标为，用含有t的代数式表示出的长，再求出最大值即可．
②用含有t的代数式表示出和的长，由和等高，且，可得，即可求出t的值．
小问1详解】
（1）将，，代入，得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为．
，
∴二次函数图像的顶点坐标为.
【小问2详解】
①设直线的表达式为，
将代入，得：
，
解得：，
∴直线的表达式为．
∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
，
∴线段的最大值为．
②∵点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
．
和等高，，
，即，
解得：（不合题意，舍去），
∴当时，的值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数及几何图形的综合运用，综合性较强，难度较大．熟练掌握用待定系数法求函数表达式及数形结合法是解题的关键．x
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