2022-2023学年福建省福州市鼓楼区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年福建省福州市鼓楼区九年级上学期数学期中试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 做好新冠疫情常态化防控，人人都是第一责任人．下列宣传标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
2. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言
B. 任意画一个三角形，其内角和为
C. 对从疫情高风险区归来人员进行核酸检测，检测结果为阳性
D. 打开电视机，正在播放“天宫课堂”
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小进行判断即可．
【详解】解：A．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言是随机事件，故选项不符合题意；
B．任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，故选项符合题意；
C．对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性是随机事件，故选项不符合题意；
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”是随机事件，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了事件的分类，熟练掌握事件的分类是解题的关键．
3. 把函数图象向右平移1个单位，所得函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出平移后的顶点坐标即可得到答案．
【详解】∵二次函数的图象顶点坐标为，
∴向右平移1个单位后顶点坐标为，
∴所求函数解析式为．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，求出平移后的顶点坐标是解题的关键．
4. 已知的半径为5，点在外，则长度可能是（ ）
A. 2.5B. 4C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可以求得OA的范围，从而进行解答．
【详解】的半径为5，点A在外
故选：D．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OA的取值范围．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 垂直于弦的直径平分弦
B. 经过三点一定可以作圆
C. 圆的切线垂直于圆的半径
D. 内心是三角形三边垂直平分线的交点
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂径定理，切线的性质，三角形的内心的概念，逐一解析，正确判断，问题即可解决．
【详解】解：A、根据垂径定理可得垂直于弦的直径平分弦，选项符合题意；
B、经过不共线的三个点一定可以作圆，选项不符合题意；
C、圆的切线垂直于过切点的圆的半径，选项不符合题意；
D、内心是三角形条角平分线的交点，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】该题主要考查了命题与定理，垂径定理，切线的性质，三角形的内心的概念；解题的关键是深刻理解、准确分析、正确判断．
6. 一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（ ）
A. 3，―1，―2B. ―2，―1，3C. ―2，3，1D. ―2，3，―1
【答案】D
【解析】
【分析】先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案．
【详解】∵，
∴，
则a =-2，b =3，c =-1,
故选： D ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，边、相交于点，若，则的度数为（ ）
A. 65°B. 15°C. 75°D. 115°
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，将绕点顺时针旋转得到，则，，继而可得结论．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8. 在能源危机的持续影响下，中国的电热毯成为欧洲消费者最近抢购的爆款单品．距某电商平台数据显示，十月份的销量为5000条，若每个月较前一个月的增长率均为x，预计十一月份和十二月份的总销量将达到22500条．则x满足的方程是（ ）
A.
B.
C
D.
【答案】C
【解析】
【分析】每个月较前一个月的增长率均为x，根据十一月份和十二月份的总销量将达到22500条可得方程．
【详解】解：依题意有
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
9. “割圆术”是我国魏晋时期的数学家刘徽首创的计算圆周率的方法：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即随着边数增加，圆内接正多边形逐步逼近圆，进而可以用圆内接正多边形的面积近似表示圆的面积．设圆的半径为，则由圆内接正十二边形算得的圆周率约为（ ）
A. 3.14B. 3C. 3.1D. 3.141
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作，求出的面积，再表示出正十二边形的面积，最后根据可以用圆内接正多边形的面积近似表示圆的面积即可求解．
【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点C是正十二边形的中心，
过点A作，
则，，
，
，
正十二边形的面积为，
圆的面积为，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
10. 已知函数，当时，有最大值，最小值3，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数表达式可求出对称轴，再根据函数图象开口向下可得函数性质，确定最值范围即可求解．
【详解】解：，
对称轴为直线，
当时，，当时，，
因此时，，
当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小，
时，有最大值，最小值3，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，掌握性质及图象、运用数形结合思想是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
12. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_______．
【答案】m≠－1
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的定义，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵此方程是关于x的一元二次方程，
∴m+1≠0，解得m≠ -1．
故答案为m≠－1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
13. 若反比例函数的图象在每一象限内随的增大而增大，则的取值范围是________．
【答案】m＜-2
【解析】
【分析】根据反比例函数反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，即可得到反比例函数的系数小于0，由此求解即可.
【详解】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，
，
解得．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像与比例系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
14. 若一个圆锥的母线长为，它的半径为，则这个圆锥的全面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】这个圆锥的全面积为底面积与侧面积的和，底面积为半径为3的圆的面积，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求测面积．
【详解】解：这个圆锥的全面积（cm）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15. 如图，，，，，在边上取点，使得以、、为顶点的三角形与相似，则满足条件的的长为______．
【答案】或1或6
【解析】
【分析】分和两种情况计算．
【详解】设，
当时，
所以，
所以，
解得；
当时，
所以，
所以，
解得；
故答案为：或1或6．
【点睛】本题考查了三角形三角形的性质，灵活运用分类思想计算是解题的关键．
16. 如图，在⊙O中，半径，D是半径OC上一点，且．A，B是⊙O上的两个动点，，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意易得出当点F与点D运动至共线时，OF长度最大．根据垂径定理可推出△ABD是等腰直角三角形，设OF为x，则．再在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x，再舍去不合题意的值即可．
【详解】∵，
∴当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图．
∵F是AB的中点，
∴OC⊥AB，．
设OF为x，则．
∵，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴，
在中，，即
解得：或（舍去），
∴OF的长的最大值等于．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系的应用等知识．理解当点F与点D运动至共线时，OF长度最大是解题关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算出，然后代入一元二次方程的求根公式进行求解．
【详解】解：，
，
，
．
【点睛】本题解一元二次方程—公式法：一元二次方程（为常数，）的求根公式为．
18. 已如关于的一元二次方，其中，在数轴上的对应点如图所示：

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若，且方程有一根为，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据数轴上表示的点的值和根的判别式，判定根的情况有两个不相等实数根．
（2）将，，代入原方程，得到关于的一元二次方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：由数轴可得，，
是关于的一元二次方程，
，
，，
，
，
原方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：∵方程有一根为，
∴
又，
∴
解得：（舍去）或
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．
19. 如图，是的内接三角形，，经过圆心O交于点E，连接，．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线与相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
【小问2详解】
解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
20. 如图，在直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A（－1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．
【答案】（1）m＝－1，n＝－1；（2）y＝－x＋
【解析】
【分析】（1）由直线与双曲线相交于A(－1，a)、B两点可得B点横坐标为1，点C的坐标为(1，0)，再根据△AOC的面积为1可求得点A的坐标，从而求得结果；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，由图象过点A（－1，1）、C（1，0）根据待定系数法即可求的结果.
【详解】（1）∵直线与双曲线相交于A(－1，a)、B两点，
∴B点横坐标为1，即C(1，0)
∵△AOC的面积为1，
∴A(－1，1)
将A(－1，1)代入，可得m＝－1，n＝－1；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b
∵y＝kx＋b经过点A（－1，1）、C（1，0）
∴解得k＝－，b＝．
∴直线AC的解析式为y＝－x＋．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，此类问题是初中数学的重点，在中考中极为常见，熟练掌握待定系数法是解题关键.
21. 为响应我市“有福之州，乐享国庆”为主题的稳生产促经济政策的号召，某商家开展“砸金蛋赢优惠”活动，即购买商品的顾客获得一次砸金蛋的机会．小红和小明同时购买了商品，商家提供了四个金蛋，只有一个是一等奖，其余都是二等奖．
（1）若小明先砸，则小明获得一等奖的概率为_________；
（2）当商家让小明执锤先砸时，小红认为商家这种做法对她不公平．请从两人获得一等奖的概率的角度说明小红的质疑是否合理．
【答案】（1）
（2）两人获得一等奖的概率都是，小红的质疑不合理．
【解析】
【分析】（1）四个金蛋，只有一个是一等奖，其余都是二等奖，即可得到答案；
（2）画出树状图，求出小明和小红获得一等奖的概率，进行比较后即可得到结论．
【小问1详解】
解：小明先砸，则小明获得一等奖的概率为，
故答案为：
【小问2详解】
设一等奖金蛋A，二等奖金蛋分别是，，．画树状图如下：
可知小明获得一等奖的概率为，小红获得一等奖的概率为，
可见两人获得一等奖的概率相等，小红的质疑不合理．
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、概率公式等知识，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键．
22. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本．
（1）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元?
（2）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大?最大月利润是多少?
【答案】（1）60元或80元；
（2）当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元．
【解析】
【分析】（1）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；
（2）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解．
【小问1详解】
解：设每千克水果售价为x元，
由题意可得：，
解得：
答：每千克水果售价为60元或80元；
【小问2详解】
解：设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：，
因为水果销售量不少于400千克，
所以，，
解得，，
∵，当时，y随x增大而增大，
∴当时，，即y有最大值为8000元，
答：当每千克水果售价为60元时，获得月利润最大值为8000元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．
23. 如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．

（1）若，求（用表示）；
（2）如图2，过点作于，交于，若，，求直径的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由“同弧所对的圆周角相等”可得，，求出即可求解；
（2）连接，证，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点为弧中点
∴
∵为直径
∴
∵
∴
∴
∴
【小问2详解】
解：连接，如图所示：

∵
∴
由（1）可得：
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了圆中“弧、弦、角的关系”、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．熟记相关知识点即可．
24. 如图1，在中，，是过点A的直线，过点C作直线于点D，连接．
（1）求的度数；
（2）如图1，可得线段的数量关系为_________；将直线绕点A顺时针旋转到图2的位置，线段的数量关系是否发生变化，请说明理由；
（3）在直线绕点A旋转过程中，当面积取得最大值时，长为2，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）；发生变化，关系是，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）在射线上截取，证明，进一步证得是等腰直角三角形，即可得到答案；
（2）如图1，由是等腰直角三角形，得，进一步可得到答案,如图2，过点B作交与点F，，，则，，即可得到结论；
（3）由题意知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段的垂直平分线上且在的右侧时，的面积最大, 根据圆的性质进一步求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，在射线上截取，
∵于点D，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
【小问2详解】
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴,
即线段的数量关系为，
故答案为：；
直线绕点A顺时针旋转到图2的位置，线段的数量关系发生变化，关系是，理由如下：
如图2，过点B作交与点F，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
由题意知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段的垂直平分线上且在的右侧时，的面积最大,如图3，
此时，,，在上取一点H，使得，
∵，
∴，
由（2）知，，
则，
∴，
解得，
解得．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、圆的相关性质、全等三角形的判定和性质、二次根式的运算、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和构造辅助圆解决问题．
25. 如图l，抛物线与轴交于点、（在的左边），与轴交于点，且，，若直线与轴、轴分别交于点和点，直线交直线于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内的抛物线上是否存在一点，使，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）对于直线上一点，若过点总有一条直线（不和直线重合）交抛物线于、两点（在的左边），使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）存在，
（3）的取值范围为或
【解析】
【分析】（1）根据求出，再求出，从而得到点A、点B坐标，最后列方程组求解即可；
（2）过点作轴交于点，证，从而得证，进而可得点坐标，利用待定系数法求直线解析式，最后与抛物线解析式联立得方程组，求解即可；
（3）利用待定系数法求直线解析式，设，，根据可得点坐标，代入抛物线解析式得到关于m，n的关系式，最后根据得到即可求解．
【小问1详解】
解：由可知，当时，，
，
，
，
，，
，
解得，
；
【小问2详解】
如图，点为第三象限内的抛物线上一点，连接，过点作轴交于点，
，，
，
，
，
且，，
，
令，则，即，
令，则，解得，即，
，，
在和中，
，
，
，
，
设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为，
，解得或，
点在第三象限，
；
【小问3详解】
设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为，
设，，
，
，即，
在抛物线上，
，
整理得：，
，
即，
解得或，
因此的取值范围为或．
【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．